6.4: Multiplicar expresiones polinómicas
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Podemos multiplicar polinomios de distintas formas, pero el método será el mismo. Primero miramos multiplicar monomios, multiplicar un monomio y polinomio, y luego terminar con polinomios multiplicadores. Estamos utilizando la regla de producto de exponentes y la propiedad distributiva.
Multiplicar una Expresión Polinómica por un Monomio
Multiplicar:\((4x^3y^4z)(2x^2y^6z^3)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}(4x^3y^4z)(2x^2y^6z^3)&\text{Rewrite without parenthesis} \\ 4x^3y^4z\cdot 2x^2y^6z^3&\text{Multiply coefficients and apply the product rule of exponents} \\ 4\cdot 2\cdot x^{3+2}y^{4+6}z^{1+3}&\text{Simplify} \\ 8x^5y^{10}z^4&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar:\(4x^3(5x^2-2x+5)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}4x^3(5x^2-2x+5)&\text{Distribute }4x^3 \\ \color{blue}{4x^3}\color{black}{}\cdot 5x^2-\color{blue}{4x^3}\color{black}{}\cdot 2x+\color{blue}{4x^3}\color{black}{}\cdot 5&\text{Multiply and apply the product rule of exponents} \\ 20x^5-8x^4+20x^3&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar:\(2a^3b(3ab^2-4a)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}2a^3b(3ab^2-4a)&\text{Distribute }2a^3b \\ \color{blue}{2a^3b}\color{black}{}\cdot 3ab^2-\color{blue}{2a^3b}\color{black}{}\cdot 4a&\text{Multiply and apply the product rule of exponents} \\ 6a^{3+1}b^{1+2}-8a^{3+1}b&\text{Simplify} \\ 6a^4b^3-8a^4b&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar con binomios
Existen varios métodos diferentes para multiplicar polinomios, todos los cuales dan como resultado la misma respuesta. Se discute la multiplicación por distribución y el método FOIL.
Multiplicar:\((3x+5)(x+13)\)
Solución
Multiplicaremos usando distribución y luego simplificaremos.
\[\begin{array}{rl}(3x+5)(x+13)&\text{Distribute }3x\text{ and }5\text{ to }(x+13) \\ \color{blue}{3x}\color{black}{}(x+13)+\color{blue}{5}\color{black}{}(x+13)&\text{Distribute} \\ 3x^2+39x+5x+65&\text{Combine like terms} \\ 3x^2+44x+65&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar:\((4x+7y)(3x-2y)\)
Solución
Multiplicaremos usando el método FOIL. FOIL es un acrónimo y representa
\[\begin{array}{ll}\text{First}&\text{-Multiply the first terms in each parenthesis} \\ \text{Outer}&\text{-Multiply the outer terms in each parenthesis} \\ \text{Inner}&\text{-Multiply the inner terms in each parenthesis} \\ \text{Last}&\text{-Multiply the last terms in each parenthesis}\end{array}\nonumber\]
\[\begin{aligned}&=12x^2-8xy+21xy-14y^2 \\ &=12x^2+13xy+14y^2\end{aligned}\]
Multiplicar con Trinomios
Un trinomio es un polinomio con tres términos. Por lo general, en Álgebra, un trinomio toma la forma de\(ax^2+bx+c\), dónde\(a,\: b,\) y\(c\) son coeficientes.
Multiplicar:\((2x-5)(4x^2-7x+3)\)
Solución
Como estamos multiplicando un binomio por un trinomio, podemos usar la distribución para multiplicar.
\[\begin{array}{rl}(2x-5)(4x^2-7x+3)&\text{Distribute }2x\text{ and }-5\text{ to }(4x^2-7x+3) \\ \color{blue}{2x}\color{black}{}\cdot (4x^2-7x+3)-\color{blue}{5}\color{black}{}(4x^2-7x+3)&\text{Distribute} \\ 8x^3-14x^2+6x-20x^2+35x-15&\text{Combine like terms} \\ 8x^3-34x^2+41x-15&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar:\((5x^2+x-10)(3x^2-10x-6)\)
Solución
Como estamos multiplicando un trinomio por un trinomio, entonces podemos usar la distribución para multiplicar.
\[\begin{array}{rl}(5x^2+x-10)(3x^2-10x-6)&\text{Distribute }5x^2,\: x,\text{ and }-10 \\ &\text{to }(3x^2-10x-6) \\ \color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot (3x^2-10x-6)+\color{blue}{x}\color{black}{}(3x^2-10x-6)-\color{blue}{10}\color{black}{}(3x^2-10x-6)&\text{Distribute} \\ 15x^4-50x^3-30x^2+3x^3-10x^2-6x-30x^2+100x+60&\text{Combine like terms} \\ 15x^4-47x^3-70x^2+94x+60&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar monomios y binomios
Multiplicar:\(3x(2x-4)(x+5)\)
Solución
Primero usamos FOIL para multiplicar los binomios y luego distribuir los\(3x\).
\[\begin{aligned}&=3x(2x^2+10x-4x-20) \\ &=3x(2x^2+6x-20)\end{aligned}\]
Por último, distribuimos\(3x\):
\[\begin{array}{l} 3x(2x^2+6x-20) \\ \color{blue}{3x}\color{black}{}\cdot 2x^2+\color{blue}{3x}\color{black}{}\cdot 6x-\color{blue}{3x}\color{black}{}\cdot 20 \\ 6x^3+18x^2-60x\end{array}\nonumber\]
Así, el producto es\(6x^3+18x^2-60x\).
En Example 6.4.8 , un error común es distribuir el\(3x\) primero y entre ambos paréntesis. Si bien podemos distribuir el\(3x\) en el\((2x − 4)\) factor, no podemos distribuirlo en ambos factores. Recomendamos multiplicar primero los binomios, luego distribuir el monomio por último.
Multiplicar funciones polinomiales
Podemos multiplicar dos funciones polinómicas de la misma manera que multiplicamos expresiones polinómicas, excepto que, ahora, tenemos funciones. El método es el mismo, pero la notación y los problemas cambian.
Si\(f\) y\(g\) son dos funciones de\(x\), entonces\[(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\nonumber\] dónde\(x\) está en el dominio de\(f\) y\(g\).
Dejar\(f(x)=2x-1\) y\(g(x)=x+4\). Encontrar\((f\cdot g)(x)\).
Solución
Comenzamos por aplicar la definición, luego simplificamos completamente.
\[\begin{array}{rl}(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)&\text{Apply the definition} \\ (f\cdot g)(x)=(2x-1)\cdot (x+4)&\text{Multiply two binomials} \\ (f\cdot g)(x)=2x^2+8x-x-4&\text{Combine like terms} \\ (f\cdot g)(x)=2x^2+7x-4&\text{The product of }f\text{ and }g\end{array}\nonumber\]
Multiplicar expresiones polinomiales tarea
Multiplicar y simplificar.
\(6(p-7)\)
\(2(6x+3)\)
\(5m^4(4m+4)\)
\((4n+6)(8n+8)\)
\((8b+3)(7b-5)\)
\((4x+5)(2x+3)\)
\((3v-4)(5v-2)\)
\((6x-7)(4x+1)\)
\((5x+y)(6x-4y)\)
\((x+3y)(3x+4y)\)
\((7x+5y)(8x+3y)\)
\((r-7)(6r^2-r+5)\)
\((6n-4)(2n^2-2n+5)\)
\((6x+3y)(6x^2-7xy+4y^2)\)
\((8n^2+4n+6)(6n^2-5n+6)\)
\((5k^2+3k+3)(3k^2+3k+6)\)
\(3(3x-4)(2x+1)\)
\(3(2x+1)(4x-5)\)
\(7(x-5)(x-2)\)
\(6(4x-1)(4x+1)\)
\(4k(8k+4)\)
\(3n^2(6n+7)\)
\(3(4r-7)\)
\((2x+1)(x-4)\)
\((r+8)(4r+8)\)
\((7n-6)(n+7)\)
\((6a+4)(a-8)\)
\((5x-6)(4x-1)\)
\((2u+3v)(8u-7v)\)
\((8u+6v)(5u-8v)\)
\((5a+8b)(a-3b)\)
\((4x+8)(4x^2+3x+5)\)
\((2b-3)(4b^2+4b+4)\)
\((3m-2n)(7m^2+6mn+4n^2)\)
\((2a^2+6a+3)(7a^2-6a+1)\)
\((7u^2+8uv-6v^2)(6u^2+4uv+3v^2)\)
\(5(x-4)(2x-3)\)
\(2x(4x+1)(2x-6)\)
\(5x(2x-1)(4x+1)\)
\(3x^2(2x+3)(6x+9)\)
Realizar las operaciones indicadas dado el conjunto de funciones.
Vamos\(g(x)=4x+5\) y\(h(x)=x^2+5x\), encuentra\((g\cdot h)(x)\).
Vamos\(p(t)=t-4\) y\(r(t)=2t\), encuentra\((p\cdot r)(t)\).
Vamos\(f(n)=-2n^2-5n\) y\(k(n)=n+5\), encuentra\((f\cdot k)(n)\).