6.5: Productos especiales
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Hay algunos atajos que podemos tomar al multiplicar polinomios. Si podemos reconocer cuándo usarlos, debemos para que podamos obtener los resultados aún más rápido. En futuros capítulos, habrá que ser eficientes en estas técnicas ya que multiplicar polinomios sólo será uno de los pasos en el problema.
Diferencia de Dos Cuadrados
Al primer atajo se le llama diferencia de dos cuadrados. Una suma y una diferencia se reconocen fácilmente ya que los números y variables son exactamente iguales, pero los signos en el medio son opuestos.
Multiplicar:\((a+b)(a-b)\)
Solución
Podemos multiplicar estos binomios por distribución.
\[\begin{array}{rl}(a+b)(a-b)&\text{Distribute }a\text{ and }b\text{ to }(a-b) \\ a(a-b)+b(a-b)&\text{Distribute} \\ a^2-ab+ba-b^2&\text{Combine like terms} \\ a^2\cancel{-ab}\cancel{+ba}-b^2&\text{Simplify} \\ a^2-b^2&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Observe los términos intermedios cancelados y el producto es una diferencia de dos cuadrados:\(a^2 − b^2\).
Dado un producto de dos binomios, donde los términos son los mismos pero signos medios opuestos, el producto da como resultado una diferencia de dos cuadrados, los cuadrados de los términos:\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\nonumber\]
Tan increíble, ¿verdad? Esto significa que si se nos da algún producto de dos binomios de esta forma, podemos simplemente cuadrar los términos y poner un signo de resta entre ellos. Veamos un par de ejemplos.
Multiplicar:\((3x+7)(3x-7)\)
Solución
Observe que los términos son\(3x\)\(7\) y y tienen signos medios opuestos. De ahí que podamos usar la fórmula de diferencia de dos cuadrados para llegar rápidamente al producto:
\[\begin{array}{rl}(3x+7)(3x-7)&\text{Terms are }3x\text{ and }7\\ (3x)^2-(7)^2&\text{Square the terms and put a subtraction sign in between} \\ 9x^2-49&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar:\((2x-6y)(2x+6y)\)
Solución
Observe que los términos son\(2x\)\(6y\) y y tienen signos medios opuestos. De ahí que podamos usar la fórmula de diferencia de dos cuadrados para llegar rápidamente al producto:
\[\begin{array}{rl}(2x-6y)(2x+6y)&\text{Terms are }2x\text{ and }6y \\ (2x)^2-(6y)^2&\text{Square the terms and put a subtraction sign in between} \\ 4x^2-36y^2&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Es interesante señalar que si bien podemos obtener un producto como\(a^2 − b^2\), es imposible obtener un producto como\(a^2 + b^2\). No hay dos binomios en el sistema de números reales en los que se multipliquen para obtener una suma de dos cuadrados. Sin embargo, no se deje engañar. Hay productos de dos binomios afuera en el mundo que resultarán en una suma de dos cuadrados, pero simplemente no en este curso.
Trinomios Cuadrados Perfectos
Otro atajo utilizado para multiplicar binomios se llama trinomios cuadrados perfectos. Estos son fáciles de reconocer porque este producto es el cuadrado de un binomio. Echemos un vistazo a un ejemplo.
Multiplicar:\((a+b)^2\)
Solución
Podemos multiplicar estos binomios por distribución.
\[\begin{array}{rl}(a+b)^2&\text{Rewrite as a product of two binomials} \\ (a+b)(a+b)&\text{Distribute }a\text{ and }b\text{ to }(a+b) \\ a(a+b)+b(a+b)&\text{Distribute} \\ a^2+ab+ba+b^2&\text{Combine like terms} \\ a^2+2ab+b^2&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Observe que el primer término es el cuadrado de\(a\), el término medio es\(2\) veces el producto de\(a\) y\(b\), y el último término es el cuadrado de\(b\). Es decir, cuadrar el primero, dos veces el producto, cuadrar el último. De ahí que el cuadrado de un binomio sea un trinomio cuadrado perfecto.
Dado un cuadrado de un binomio, donde los términos son los mismos pero pueden tener signos medios de suma o resta, el producto resulta en un trinomio cuadrado perfecto:
\[\begin{array}{c}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((x-5)^2\)
Solución
Observe que este es el cuadrado del binomio\((x − 5)\). Podemos usar la fórmula perfecta del trinomio cuadrado para simplificar.
\[\begin{array}{rl}(x-5)^2&\text{Terms are }x\text{ and }5 \\ (x)^2-2(x)(5)+(5)^2&\text{Follow the formula for }(a-b)^2 \\ x^2-10x+25&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((2x+9)^2\)
Solución
Observe que este es el cuadrado del binomio\((2x + 9)\). Podemos usar la fórmula perfecta del trinomio cuadrado para simplificar.
\[\begin{array}{rl}(2x+9)^2&\text{Terms are }2x\text{ and }9 \\ (2x)^2+2(2x)(9)+(9)^2&\text{Follow the formula for }(a+b)^2 \\ 4x^2+36x+81&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((3x-7y)^2\)
Solución
Observe que este es el cuadrado del binomio\((3x − 7y)\). Podemos usar la fórmula perfecta del trinomio cuadrado para simplificar.
\[\begin{array}{rl}(3x-7y)^2&\text{Terms are }3x\text{ and }7y \\ (3x)^2-2(3x)(7y)+(7y)^2&\text{Follow the formula for }(a-b)^2 \\ 9x^2-42x+49y^2&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Ten mucho cuidado cuando estamos cuadrando un binomio. Asegúrese de evitar el error común de solo cuadrar el primer y último término. Un error común es hacer lo siguiente:\((x − 5)^2 = x^2 − 25\) (o\(x^2 + 25\)). Observe a ambos les falta el término medio,\(−10x\).
Otra observación importante es que el término medio en la respuesta siempre tiene el mismo signo que el término medio en el problema dado.
Estas dos fórmulas son importantes para comprometerse con la memoria. Cuanto más familiarizados estemos con ellos, los próximos dos capítulos serán mucho más fáciles. El último ejemplo abarca ambos tipos de problemas. Asegúrese de notar la diferencia entre los ejemplos.
Echemos un vistazo a tres ejemplos uno al lado del otro para ver la diferencia entre todas las fórmulas. Vamos a multiplicar\[(4x-7)(4x+7),\: (4x+7)^2,\: (4x-7)^2\nonumber\]
Solución
Aplicamos las fórmulas para simplificar cada producto.
| \((4x-7)(4x+7)\) | \((4x+7)^2\) | \((4x-7)^2\) |
|---|---|---|
| \ ((4x-7) (4x+7)\) ">\((4x)^2-(7)^2\) | \ ((4x+7) ^2\) ">\((4x)^2+2(4x)(7)+(7)^2\) | \ ((4x-7) ^2\) ">\((4x)^2-2(4x)(7)+(7)^2\) |
| \ ((4x-7) (4x+7)\) ">\(16x^2-49\) | \ ((4x+7) ^2\) ">\(16x^2+56x+49\) | \ ((4x-7) ^2\) ">\(16x^2-56x+49\) |
Vemos que el primer producto es una diferencia de dos cuadrados y el producto es de dos términos. El segundo y tercer producto son cuadrados de binomios que dan como resultado trinomios cuadrados perfectos y son tres términos cada uno.
También hay fórmulas para potencias superiores de binomios, como\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b+ 3ab^2 +b^3\). Mientras que el matemático francés, Blaise Pascal, a menudo recibe crédito por trabajar con estas expansiones de binomios en el\(17^{\text{th}}\) siglo, los matemáticos chinos habían estado trabajando con ellos casi 400 años antes.
Testo de Productos Especiales
Encuentra cada producto aplicando las fórmulas especiales de producto.
\((x + 8)(x − 8)\)
\((1 + 3p)(1 − 3p)\)
\((1 − 7n)(1 + 7n)\)
\((5n − 8)(5n + 8)\)
\((4x + 8)(4x − 8)\)
\((4y − x)(4y + x)\)
\((4m − 8n)(4m + 8n)\)
\((6x − 2y)(6x + 2y)\)
\((a + 5)^2\)
\((x − 8)^2\)
\((p + 7)^2\)
\((7 − 5n)^2\)
\((5m − 8)^2\)
\((5x + 7y)^2\)
\((2x + 2y)^2\)
\((5 + 2r)^2\)
\((2 + 5x)^2\)
\((4v − 7)(4v + 7)\)
\((n − 5)(n + 5)\)
\((4k + 2)^2\)
\((a − 4)(a + 4)\)
\((x − 3)(x + 3)\)
\((8m + 5)(8m − 5)\)
\((2r + 3)(2r − 3)\)
\((b − 7)(b + 7)\)
\((7a + 7b)(7a − 7b)\)
\((3y − 3x)(3y + 3x)\)
\((1 + 5n)^2\)
\((v + 4)^2\)
\((1 − 6n)^2\)
\((7k − 7)^2\)
\((4x − 5)^2\)
\((3a + 3b)^2\)
\((4m − n)^2\)
\((8x + 5y)^2\)
\((m − 7)^2\)
\((8n + 7)(8n − 7)\)
\((b + 4)(b − 4)\)
\((7x + 7)^2\)
\((3a − 8)(3a + 8)\)