6.6: División polinomial
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Dividir polinomios es un proceso muy similar a la división larga de números enteros. Antes de ver la división larga con polinomios, primero dominaremos dividir un polinomio por un monomio.
División Polinomial con Monomios
Dividimos un polinomio por un monomio reescribiendo la expresión como fracciones separadas en lugar de una fracción. Utilizamos el hecho
\[\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\nonumber\]
Dividir:\(\dfrac{9x^5+6x^4-18x^3-24x^2}{3x^2}\)
Solución
Observe que tenemos cuatro términos con el mismo denominador. Podemos reescribir esta expresión como\(4\) fracciones con el mismo denominador y luego simplificar.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{9x^5+6x^4-18x^3-24x^2}{3x^2}&\text{Rewrite as four fractions with the same denominator} \\ \dfrac{9x^5}{3x^2}+\dfrac{6x^4}{3x^2}-\dfrac{18x^3}{3x^2}-\dfrac{24x^2}{3x^2}&\text{Reduce and apply the quotient rule of exponents} \\ 3x^3+2x^2-6x-8&\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]
Dividir:\(\dfrac{8x^3+4x^2-2x+6}{4x^2}\)
Solución
Observe que tenemos cuatro términos con el mismo denominador. Podemos reescribir esta expresión como\(4\) fracciones con el mismo denominador y luego simplificar.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{8x^3+4x^2-2x+6}{4x^2}&\text{Rewrite as four fractions with the same denominator} \\ \dfrac{8x^3}{4x^2}+\dfrac{4x^2}{4x^2}-\dfrac{2x}{4x^2}+\dfrac{6}{4x^2}&\text{Reduce and apply the quotient rule of exponents} \\ 2x+1-\dfrac{1}{2}x^{-1}+\dfrac{3}{2}x^{-2}&\text{Rewrite with positive exponents} \\ 2x+1-\dfrac{1}{2x}+\dfrac{3}{2x^2}&\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]
Observe que a veces tenemos fracciones en el cociente. Siempre y cuando se reduzcan las fracciones, es correcto. Además, el segundo término\(\dfrac{4x^2}{4x^2}\) se redujo completamente a uno.
División de polinomios con polinomios
Se requiere una división larga cuando dividimos por un polinomio, es decir, cuando hay una suma o diferencia de términos en el denominador. La división larga con polinomios funciona de manera similar a la división larga con números enteros. Repasemos un ejemplo.
Dividir:\(631\div 4\)
Solución
Repasemos este ejemplo. El divisor es\(4\) y el dividendo es\(631\). A la respuesta se le llama cociente. Primero reescribimos la división con el divisor en el exterior, luego el símbolo de división larga y el dividendo dentro del símbolo de división larga.
\[\begin{aligned} \;\;1\;\; 5\;\; 7 \\ 4\overline{)\;\;6\;\; 3\;\; 1}&\qquad \text{How many times does }4\text{ divide into }6\text{?} \\ \underline{-4\qquad}&\qquad \text{Once. We write }1\text{ over the }6\text{, keeping place values.}\\ 2\;\;\;3\quad\; &\qquad\text{Bring down the next place value, }3\text{, and how many times does }4\text{ divide into }23\text{?} \\ \underline{-2\;\;0\quad}&\qquad 5\text{ times. We write }5\text{ over the }3\text{, keeping place values.} \\ 3\;\; 1 \\ \underline{-\;\;2\;\;8}&\qquad\text{Bring down the next place value, }1\text{, and how many times does }4\text{ divide into }31\text{?} \\ 3&\qquad 7\text{ times. We write }7\text{ over the }1\text{, keeping place values.} \end{aligned}\]
De ahí,\(3\) es el resto. Entonces, escribimos la respuesta como cociente, más el resto como fracción:
\[157+\dfrac{3}{4}\nonumber\]
Simplificando esta suma, escribimos\(157\dfrac{3}{4}\).
Este método puede parecer elemental, pero no es la aritmética que queremos revisar, es el método. Usamos el mismo método que hicimos en aritmética, pero ahora con polinomios.
Al escribir la respuesta con un resto, escribimos la respuesta como\[\text{quotient}+\dfrac{\text{remainder}}{\text{divisor}}\nonumber\]
Recordemos, si nos dan\(a\div b=c\), entonces\[\underset{\color{blue}{\text{dividend}}}{\underbrace{a}}\color{black}{}\div\underset{\color{blue}{\text{divisor}}}{\underbrace{b}}\color{black}{}=\underset{\color{blue}{\text{quotient}}}{\underbrace{c}}\nonumber\]
Dividir:\(\dfrac{3x^3-5x^2-32x+7}{x-4}\).
Solución
Empecemos por escribir la división como división larga:
\[x\; -\; 4)\overline{\;\;3x^3\;\;-5x^2\;\;-32x\;\;+7}\nonumber\]
Ahora, seguimos el mismo método que hicimos para la aritmética. Asegúrese de mantener los valores posicionales y cambiar las señales para restar.
\[\begin{aligned}3x^2\;\;\;\; +7x\;\;-4 \\ x\; -\; 4\overline{)\quad\;\; 3x^3\;\;-5x^2\;\;-32x\;\;+7}&\qquad\text{How many times does }x\text{ divide into }3x^3\text{?} \\ \underline{-\;\; (3x^3\;-12x^2)\qquad\qquad\quad}&\qquad \text{Multiply }3x^2\text{ and }(x-4)\text{, then subtract.} \\ 7x^2\;\;-32x\;\qquad &\qquad\text{Bring down the next place value} \\ \underline{-(7x^2\;\;-28x)\qquad}&\qquad\text{How many times does }x\text{ divide into }7x^2\text{?}\:\color{blue}{7x} \\ -4x\;\;+7&\qquad\text{Bring down the next place value} \\ \underline{-(-4x)\;+16)}&\qquad\text{How many times does }x\text{ divide into }-4x\text{?}\:\color{blue}{-4} \\ -9&\qquad\text{Remainder} \end{aligned}\]
Podemos ver ahora que el método simplemente se repite hasta que obtenemos un valor en el que el divisor no divide y obtenemos un resto. Como el resto es\(−9\), entonces tenemos
\[3x^2+7x-4-\dfrac{9}{x-4}\nonumber\]
Dividir:\(\dfrac{6x^3-8x^2+10x+103}{2x+4}\)
Solución
Siguiendo el mismo patrón que antes, reescribimos la división como división larga y luego completamos el proceso de división larga. No obstante, en este ejemplo, vamos a, “Dibujar una línea y cambiar las señales”, para que distribuyamos la resta enseguida.
\[\begin{aligned}3x^2\;\;\; -10x\;\;\;+25 \\ 2x\; +\; 4\overline{)\quad\;\; 6x^3\;\;-8x^2\;\;+10x\;\;+103} \\ \underline{ -6x^3\;-12x^2\qquad\qquad\qquad\;} \\ -20x^2\;\;+10x\;\;\qquad \\ \underline{20x^2\;\;+40x\qquad\;\;} \\ 50x\;\;+103 \\ \underline{-50x\;-100} \\ 3 \end{aligned}\]
Como el resto es\(3\), entonces tenemos
\[3x^2-10x+25+\dfrac{3}{2x+4}\nonumber\]
En Example 6.6.5 , en lugar de escribir el signo de resta con cada paso, cambiamos los términos a su opuesto ya que eso es esencialmente lo que hicimos en el ejemplo anterior. Nosotros decimos: “Dibuja una línea, y cambia los signos”, para dibujar la barra horizontal y la resta. De esta manera, solo podemos sumar verticalmente. Corresponde a la discreción del alumno cuál es la manera de restar, ya sea restar directamente, o sumar los opuestos
División polinomial con términos faltantes
En ocasiones al dividir con polinomios, puede haber un término faltante en el dividendo. No ignoramos el término, solo escribimos\(0\) como coeficiente.
Dividir:\(\dfrac{2x^3-4x+42}{x+3}\)
Solución
Reescribimos la división como división larga y seguimos el mismo método, pero ponemos en cero para el coeficiente. En este caso, nos falta el\(x^2\) término; de ahí que pondremos\(0x^2\) para ese término y luego dividiremos como de costumbre.
\[\begin{aligned}2x^2\;\;\; -6x\;\;\;+14 \\ x\; +\; 3\overline{)\;\; 2x^3\;\;\color{blue}{+0x^2}\;\;\;\color{black}{-4x}\;\;\:+42} \\ \underline{ -2x^3\;-6x^2\qquad\qquad\quad\;\;} \\ -6x^2\;\;-4x\;\;\qquad \\ \underline{6x^2\;\;+18x\qquad\;\;} \\ 14x\;\;+42 \\ \underline{-14x\;-42} \\ 0 \end{aligned}\]
Como el resto es\(0\), entonces tenemos
\[2x^2-6x+14\nonumber\]
Es importante tomarse un momento para revisar cada problema para verificar que los exponentes descienden y no faltan términos. Si es así, tendremos que ajustar el problema como hicimos en Ejemplo 6.6.6 . Además, este último ejemplo ilustra, al igual que en la división larga regular, a veces no tenemos resto en un problema de división larga.
División polinómica con funciones
Podemos dividir dos funciones polinómicas de la misma manera que dividimos las expresiones polinómicas, excepto que, ahora, tenemos funciones. El método es el mismo, pero la notación y los problemas cambian.
Si\(f\) y\(g\) son dos funciones de\(x\), entonces\[(f\div g)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\nonumber\] dónde\(x\) está en el dominio de\(f\) y\(g\), y\(g(x)\neq 0\).
Dejar\(f(x)=x^2-4x-5\) y\(g(x)=x-5\). Encuentra\((f\div g)(x)\).
Solución
Comenzamos por aplicar la definición, luego simplificamos completamente.
\[\begin{aligned}(f\div g)(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\ (f\div g)(x)&=\dfrac{x^2-4x-5}{x-5}\end{aligned}\]
Tomando el divisor\(x − 5\), y el dividendo para ser\(x^2 − 4x − 5\), obtenemos
\[\begin{aligned} x\;\;\;+1 \\ x\; -\; 5\overline{)\;\;x^2\;\;-4x\;\;-5} \\ \underline{-x^2\;\;+5x\qquad\;} \\ x\;\; -5 \\ \underline{-x\;\;+5} \\ 0 \end{aligned}\]
Ya que no hay resto, entonces\((f\div g)(x) = x + 1\).
División Polinomial por División Sintética
Otra forma de dividir polinomios dado un divisor binomial de la forma\(x−a\) es utilizando únicamente los coeficientes de los polinomios. La división sintética es un método para dividir polinomios sin usar las variables dadas de los polinomios, sino solo los coeficientes.
Paolo Ruffini fue un matemático italiano de principios de\(19^{\text{th}}\) siglo. En 1809, fue el primero en describir un proceso llamado división sintética, que también podría utilizarse para dividir polinomios. También se le llama división a través de la regla de Ruffini.
Tomemos Ejemplo 6.6.4 , y apliquemos división sintética para obtener los mismos resultados que hicimos con la división polinómica. Dividir:\(\dfrac{3x^3-5x^2-32x+7}{x-4}\)
Solución
Primero tomamos el valor excluido de la expresión, que es cuándo\(x = 4\). Ponemos esto en la esquina superior derecha de la tabla de división sintética:
\[\begin{aligned} 4|& \\ &\: \underline{\qquad\qquad\qquad} \end{aligned}\]
Luego, siguiendo el valor excluido, colocamos los coeficientes del dividendo en la misma fila superior, en orden estándar:
\[\begin{aligned}4|&\;\;3\;\;-5\;\;-32\;\;7 \\ &\:\underline{\qquad\qquad\qquad\quad}\end{aligned}\]
Lleve el coeficiente inicial a la fila inferior:
\[\begin{aligned}4|&\;\;3\;\;-5\;\;-32\;\;7 \\ &\:\underline{\downarrow \qquad\qquad\qquad} \\ &\;\;\color{blue}{3}\qquad\qquad\qquad \end{aligned}\]
Multiplique el valor excluido\(x = 4\) con el coeficiente inicial, es decir\(4\cdot 3 = 12\), y coloque el producto bajo el segundo coeficiente:
\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12 \\ \hline &\color{blue}{3}\end{array}\nonumber\]
Suma el coeficiente y el producto, es decir\(−5 + 12 = 7\), agregue y coloque en la fila inferior junto al coeficiente inicial:
\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}\end{array}\nonumber\]
Multiplique el valor excluido\(x = 4\) con el\(7\), es decir\(4\cdot 7 = 28\),, y ponga el producto bajo el tercer coeficiente:
\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12&28 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}\end{array}\nonumber\]
Suma el coeficiente y el producto, es decir\(−32 + 28 = −4\), agregar, y colocar en la fila inferior junto a\(7\):
\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12&28 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}&\color{blue}{-4}\end{array}\nonumber\]
Multiplique el valor excluido\(x = 4\) con el\(−4\), es decir\(4\cdot −4 = −16\),, y ponga el producto bajo el cuarto coeficiente:
\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12&28&-16 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}&\color{blue}{-4}\end{array}\nonumber\]
Suma el coeficiente y el producto, es decir\(7 + (−16) = −9\), agregar, y colocar en la fila inferior junto a\(4\):
\[\begin{array}{llll|l} 4|&3&-5&32&7 \\ &\downarrow&12&28&-16 \\ \hline &\color{blue}{3}&\color{blue}{7}&\color{blue}{-4}&\color{red}{-9}\end{array}\nonumber\]
Los tres primeros números de la última fila de nuestra tabla de división sintética son los coeficientes del polinomio cociente. Recuerde, comenzamos con un polinomio de tercer grado y dividido por un polinomio de primer grado, por lo que el cociente es un polinomio de segundo grado. De ahí que el cociente sea\(\color{blue}{3}\color{black}{}x^2+\color{blue}{7}\color{black}{}x−\color{blue}{4}\). El número en la esquina inferior extrema derecha,\(\color{red}{−9}\), es el resto. Así, la respuesta, escrita con el cociente y resto, es\[\color{blue}{3}\color{black}{}x^2+\color{blue}{7}\color{black}{}x-\color{blue}{4}\color{black}{}-\dfrac{\color{red}{9}}{\color{black}{x-4}}\nonumber\]
Si comparamos este resultado con el resultado que obtuvimos en Ejemplo 6.6.4 , podemos ver que son idénticos. Si dividimos usando división polinómica o división sintética, obtuvimos el mismo resultado.
En general, la división sintética es la herramienta de elección para dividir polinomios por divisores de la forma\(x−c\). Es importante señalar que solo funciona para este tipo de divisores. Buena división larga polinomial anticuada para divisores de grado más grandes que los que\(1\) deberían usarse en otros casos. También, toma nota que cuando un polinomio (de grado al menos\(1\)) se divide por\(x − c\), el resultado es un polinomio de exactamente un grado menos.
Tareas de División Polinomial
Dividir.
\(\dfrac{20x^4+x^3+2x^2}{4x^3}\)
\(\dfrac{20n^4+n^3+40n^2}{10n}\)
\(\dfrac{12x^4+24x^3+3x^2}{6x}\)
\(\dfrac{10n^4+50n^3+2n^2}{10n^2}\)
\(\dfrac{x^2-2x-71}{x+8}\)
\(\dfrac{n^2+13n+32}{n+5}\)
\(\dfrac{v^2-2v-89}{v-10}\)
\(\dfrac{a^2-4a-38}{a-8}\)
\(\dfrac{45p^2+56p+19}{9p+4}\)
\(\dfrac{10x^2-32x+9}{10x-2}\)
\(\dfrac{4r^2-r-1}{4r+3}\)
\(\dfrac{n^2-4}{n-2}\)
\(\dfrac{27b^2+87b+35}{3b+8}\)
\(\dfrac{4x^2-33x+28}{4x-5}\)
\(\dfrac{a^3+15a^2+49a-55}{a+7}\)
\(\dfrac{x^3-26x-41}{x+4}\)
\(\dfrac{3n^2+9n^2-64n-68}{n+6}\)
\(\dfrac{x^3-46x+22}{x+7}\)
\(\dfrac{9p^3+45p^2+27p-5}{9p+9}\)
\(\dfrac{r^3-r^2-16r+8}{r-4}\)
\(\dfrac{12n^3+12n^2-15n-4}{2n+3}\)
\(\dfrac{4v^3-21v^2+6v+19}{4v+3}\)
\(\dfrac{5x^4+45x^2+4x^2}{9x}\)
\(\dfrac{3k^3+4k^2+2k}{8k}\)
\(\dfrac{5p^4+16p^3+16p^2}{4p}\)
\(\dfrac{3m^4+18m^3+27m^2}{9m^2}\)
\(\dfrac{r^2-3r-53}{r-9}\)
\(\dfrac{b^2-10b+16}{b-7}\)
\(\dfrac{x^2+4x-26}{x+7}\)
\(\dfrac{x^2-10x+22}{x-4}\)
\(\dfrac{48k^2-70k+16}{6k-2}\)
\(\dfrac{n^2+7n+15}{n+4}\)
\(\dfrac{3m^2+9m-9}{3m-3}\)
\(\dfrac{2x^2-5x-8}{2x+3}\)
\(\dfrac{3v^2-32}{3v-9}\)
\(\dfrac{4n^2-23n-38}{4n+5}\)
\(\dfrac{8k^3-66k^2+12k+37}{k-8}\)
\(\dfrac{x^3-16x^2+71x-56}{x-8}\)
\(\dfrac{k^3-4k^2-6k+4}{k-1}\)
\(\dfrac{2n^3+21n^2+25n}{2n+3}\)
\(\dfrac{8m^3-57m^2+42}{8m+7}\)
\(\dfrac{2x^3+12x^2+4x-37}{2x+6}\)
\(\dfrac{24b^3-38b^2+29b-60}{4b-7}\)
Realizar las operaciones indicadas dado el conjunto de funciones.
Vamos\(f(x) = x^3 − 2x^2 − 4x − 5\) y\(g(x) = x + 2\), encuentra\((f\div g)(x)\).
Vamos\(f(n) = 3n + 5\) y\(k(n) = n^2 + 5\), encuentra\((k\div f)(n)\).
Usa división sintética para dividir.
\(x^3+4x^2+4x+6\)por\(x+1\)
\(x^4+4x^3-28x^2+26x-17\)por\(x-3\)
\(x^3+3x^2-2x+5\)por\(x-1\)
\(x^4+5x^3+11x^2+13x-2\)por\(x+2\)
\(x^3+x^2-4x-1\)por\(x-2\)
\(x^4-4x^3-6x^2-4x-8\)por\(x+1\)
\(x^3+4x^2-6x-5\)por\(x-2\)
\(x^4+10x^3+11x^2-15x-14\)por\(x+2\)
\(x^3+11x^2+26x+12\)por\(x+3\)
\(x^4-4x^3-3x^2+6x+19\)por\(x-2\)