7.5: Factoring, una estrategia general
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Paso 1. Factorizar el mayor factor común, si es posible. Esto incluye factorizar un negativo si el coeficiente principal es negativo.
Paso 2. Determinar el número de términos en el polinomio.
Paso 3.
- Dos Términos
- Diferencia de dos cuadrados:\(a^2 − b^2 = (a + b)(a − b)\)
- Diferencia de dos cubos:\(a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)\)
- Suma de dos cubos:\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2)\)
- Diferencia de dos cuartos poderes:\(a^4 − b^4 = (a^2 + b^2)(a + b)(a − b)\)
- Tres Términos
- Trinomio cuadrado perfecto:\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) o\(a^2 − 2ab + b^2 = (a − b)^2\)
- Manera antigua:
- \(x^2 + (p + q)x + p\cdot q = (x + p)(x + q)\)
- \(ax^2 + bx + c\)→ Factorizar por agrupación o por prueba y error.
- Cuatro Términos
- Factorizar agrupando, reordenando términos, si es necesario.
Paso 4. Revisa tu trabajo por FOIL o multiplicando el producto de factores
Factor completamente:\(4x^2+56xy+196y^2\)
Solución
Primero factoricemos el GCF. Recordemos, hay tres términos. Así podemos usar ya sea la fórmula del trinomio cuadrado perfecto o factor como de costumbre agrupando o prueba-y-error.
\[\begin{array}{rl}4x^2+56xy+196y^2&\text{Factor a GCF }4 \\ \color{blue}{4}\color{black}{}(x^2+14xy+49y^2)&\text{Perfect square trinomial} \\ \color{blue}{4}\color{black}{}((x)^2+2(x)(7y)+(7y)^2)&\text{Factor, where }a=x\text{ and }b=7y \\ \color{blue}{4}\color{black}{}(x+7y)^2&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Factor completamente:\(5x^2y+15xy-35x^2-105x\)
Solución
Primero factoricemos el GCF. Recordemos, hay cuatro términos. Entonces podemos usar factor agrupando.
\[\begin{array}{rl}5x^2y+15xy-35x^2-105x&\text{Factor a GCF }5x \\ \color{blue}{5x}\color{black}{}(xy+3y-7x-21)&\text{Factor by grouping} \\ \color{blue}{5x}\color{black}{}((xy+3y)+(-7x-21))&\text{Factor the GCF from each group} \\ \color{blue}{5x}\color{black}{}(y(x+3)-7(x+3))&\text{Factor the GCF }(x+3) \\ \color{blue}{5x}\color{black}{}(x+3)(y-7)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Factor completamente:\(100x^2-400\)
Solución
Primero factoricemos el GCF. Recordemos, hay una diferencia de dos términos. Ya que la variable\(x\) es cuadrada, veamos si podemos usar la fórmula de diferencia de dos cuadrados.
\[\begin{array}{rl}100x^2-400&\text{Factor a GCF }100 \\ \color{blue}{100}\color{black}{}(x^2-4)&\text{Difference of two squares} \\ \color{blue}{100}\color{black}{}((x)^2-(2)^2)&\text{Factor} \\ \color{blue}{100}\color{black}{}(x+2)(x-2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Factor:\(108x^3y^2-39x^2y^2+3xy^2\)
Solución
Observe que los tres términos tienen un factor común de\(3y^2\). \(3y^2\)Primero factorizamos, luego factorizamos como de costumbre o usando un producto especial.
\[\begin{array}{rl}108x^3y^2-39x^2y^2+3xy^2&\text{Factor the GCF} \\ \color{blue}{3xy^2}\color{black}{}(36x^2-13x+1)\end{array}\nonumber\]
A continuación, sólo nos concentramos en la expresión entre paréntesis. Vamos a factorizar por prueba y error. Sabemos que el primer producto es\(36x^2\) y el último es el producto\(1\). Dado que los signos de los dos últimos términos son negativos y positivos, respectivamente, entonces los factores binomiales tendrán signos negativos.
| binomios | FOIL | ¿Sí o no? |
|---|---|---|
| \((6x-1)(6x-1)\) | \(36x^2-12x+1\) | NO |
| \((18x-1)(2x-1)\) | \(36x^2-20x+1\) | NO |
| \((9x-1)(4x-1)\) | \(36x^2-13x+1\) | SI |
Hemos encontrado la forma factorizada de la expresión original:
\[\color{blue}{3xy^2}\color{black}{}(9x-1)(4x-1)\nonumber\]
Las variables se originaron en la antigua Grecia donde Aristóteles usaría una sola letra mayúscula para representar un número.
Factor completamente:\(5+625y^3\)
Solución
Vamos a factorizar el GCF. Recordemos, hay una suma de dos términos. Dado que la única fórmula con una suma de dos términos es la suma de dos cubos, entonces lo más probable es que estemos usando esta fórmula de producto especial.
\[\begin{array}{rl}5+625y^3&\text{Rewrite in standard form} \\ 625y^3+5&\text{Factor a GCF }5 \\ \color{blue}{5}\color{black}{}(125y^3+1)&\text{Sum of two cubes} \\ \color{blue}{5}\color{black}{}((5y)^3+(1)^3)&\text{Factor, where }a=5y\text{ and }b=1 \\ \color{blue}{5}\color{black}{}(5y+1)((5y)^2-(5y)(1)+(1)^2)&\text{Simplify} \\ \color{blue}{5}\color{black}{}(5y+1)(25y^2-5y+1)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Factoring, una tarea de estrategia general
Factorizar completamente.
\(24az − 18ah + 60yz − 45yh\)
\(5u^2 − 9uv + 4v^2\)
\(−2x^3 + 128y^3\)
\(5n^3 + 7n^2 − 6n\)
\(54u^3 − 16\)
\(n^2-n\)
\(x^2 − 4xy + 3y^2\)
\(9x^2 − 25y^2\)
\(m^2 − 4n^2\)
\(36b^2 c − 16xd − 24b^2d +24xc\)
\(128 + 54x^3\)
\(2x^3 + 6x^2y − 20y^2x\)
\(n^3 + 7n^2 + 10n\)
\(27x^3 − 64\)
\(5x^2+2x\)
\(3k^3 − 27k^2 + 60k\)
\(mn − 12x + 3m − 4xn\)
\(16x^2 − 8xy + y^2\)
\(27m^2 − 48n^2\)
\(9x^3 + 21x^2y − 60y^2x\)
\(2m^2 + 6mn − 20n^2\)
\(2x^2 − 11x + 15\)
\(16x^2 + 48xy + 36y^2\)
\(20uv − 60u^3 − 5xv + 15xu^2\)
\(2x^3 + 5x^2y + 3y^2x\)
\(54 − 128x^3\)
\(5x^2 − 22x − 15\)
\(45u^2 − 150uv + 125v^2\)
\(x^3 − 27y^3\)
\(12ab − 18a + 6nb − 9n\)
\(3m^3 − 6m^2n − 24n^2m\)
\(64m^3 + 27n^3\)
\(3ac + 15ad^2 + x^2c + 5x^2d^2\)
\(64m^3 − n^3\)
\(16a^2 − 9b^2\)
\(2x^2 − 10x + 12\)
\(32x^2 − 18y^2\)
\(2k^2 + k − 10\)
\(v^2+v\)
\(x^3+4x^2\)
\(9n^3 − 3n^2\)
\(2u^2v^2 − 11uv^3 + 15v^4\)