10.3: Multiplicar y dividir radicales
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Cuando multiplicamos radicales, recordamos la regla del producto para los radicales. Siempre y cuando las raíces de cada radical en el producto sean las mismas, podemos aplicar la regla del producto y luego simplificarlo como de costumbre. Al principio, uniremos a los radicales bajo un radical, luego simplificaremos al radical aplicando nuevamente la regla del producto.
Si\(a\),\(b\) son dos números reales positivos, entonces\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\nonumber\]
En general, si\(a\),\(b\) son cualesquiera dos números reales positivos, entonces\[\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\nonumber\]
donde\(n\) es un entero positivo y\(n\geq 2\).
Simplificar:\(-5\sqrt{14}\cdot 4\sqrt{6}\)
Solución
Observe que ambos radicales son raíces cuadradas y así, podemos aplicar la regla del producto. Vamos a reescribir el producto para que los coeficientes estén con coeficientes y los radicales sean con radicales:
\[\begin{array}{rl}-5\sqrt{14}\cdot 4\sqrt{6}&\text{Rewrite} \\ -5\cdot 4\cdot\sqrt{14}\cdot\sqrt{16}&\text{Apply the product rule} \\ -5\cdot 4\cdot\sqrt{14\cdot 6}&\text{Multiply} \\ -20\sqrt{84} &\text{Simplify }\sqrt{84} \\ -20\sqrt{4\cdot 21}&\text{Apply the product rule} \\ -20\cdot 2\sqrt{21}&\text{Multiply coefficients} \\ -40\sqrt{21}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(2\sqrt[3]{18}\cdot 6\sqrt[3]{15}\)
Solución
Observe que ambos radicales son de raíz cubo y así, podemos aplicar la regla del producto. Vamos a reescribir el producto para que los coeficientes estén con coeficientes y los radicales sean con radicales:
\[\begin{array}{rl}2\sqrt[3]{18}\cdot 6\sqrt[3]{15}&\text{Rewrite} \\ 2\cdot 6\cdot\sqrt[3]{18}\cdot\sqrt[3]{15}&\text{Apply the product rule} \\ 2\cdot 6\cdot\sqrt[3]{18\cdot 15}&\text{Multiply} \\ 12\sqrt[3]{270}&\text{Simplify }\sqrt[3]{270} \\ 12\sqrt[3]{27\cdot 10}&\text{Apply the product rule} \\ 12\cdot 3\sqrt[3]{10}&\text{Multiply coefficients} \\ 36\sqrt[3]{10}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar radicales con monomios
Aquí comenzamos a multiplicar radicales con variables. En esta sección, asumimos que todas las variables son positivas.
Simplificar:\(\sqrt[5]{8x^2}\cdot\sqrt[5]{4x^3}\)
Solución
Observe que ambos radicales son quintas raíces y así, podemos aplicar la regla del producto.
\[\begin{array}{rl}\sqrt[5]{8x^2}\cdot\sqrt[5]{4x^3}&\text{Apply the product rule} \\ \sqrt[5]{8x^2\cdot 4x^3}&\text{Multiply} \\ \sqrt[5]{32x^5}&\text{Simplify} \\ \sqrt[5]{2^5\cdot x^5}&\text{Apply the product rule} \\ 2x&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\sqrt{60x^4}\cdot\sqrt{6x^7}\)
Solución
Observe que ambos radicales son raíces cuadradas y así, podemos aplicar la regla del producto.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{60x^4}\cdot \sqrt{6x^7}&\text{Apply the product rule} \\ \sqrt{60x^4\cdot 6x^7}&\text{Multiply} \\ \sqrt{360x^{11}}&\text{Simplify} \\ \sqrt{36\cdot 10\cdot x^4\cdot x}&\text{Apply the product rule} \\ 6\cdot x^2\cdot\sqrt{10\cdot x}&\text{Rewrite} \\ 6x^2\sqrt{10x}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Distribuir con Radicales
Cuando hay un factor delante del paréntesis, distribuimos ese término a cada uno dentro del paréntesis. Este método se aplica a los radicales. Recordemos, los métodos nunca cambian, solo problemas. Tomemos el siguiente ejemplo:
\[\begin{array}{cc}\color{blue}{2x}\color{black}{(}5y+3)&\color{blue}{2\sqrt{7}}\color{black}{(}5\sqrt{3}+3) \\ \color{blue}{2x}\color{black}{\:\cdot\;}5y+\color{blue}{2x}\color{black}{\:\cdot\:}3&\color{blue}{2\sqrt{7}}\color{black}{\:\cdot\:}5\sqrt{3}+\color{blue}{2\sqrt{7}}\color{black}{\:\cdot\:}3 \\ 10xy+6x&10\sqrt{21}+6\sqrt{7}\end{array}\nonumber\]
Observe, distribuimos en el mismo sentido que si estuviéramos en el capítulo polinómico. Echemos un vistazo a más ejemplos. Recordemos, asumimos que todas las variables son positivas.
Simplificar:\(7\sqrt{6}(3\sqrt{10}-5\sqrt{15})\)
Solución
\[\begin{array}{rl}7\sqrt{6}(3\sqrt{10}-5\sqrt{15})&\text{Distribute} \\ \color{blue}{7\sqrt{6}}\color{black}{\:\cdot\:}3\sqrt{10}-\color{blue}{7\sqrt{6}}\color{black}{\:\cdot\:}5\sqrt{15}&\text{Apply the product rule} \\ 21\sqrt{60}-35\sqrt{90}&\text{Simplify each term as usual} \\ 21\sqrt{4\cdot 15}-35\sqrt{9\cdot 10}&\text{Apply the product rule} \\ 21\cdot 2\sqrt{15} - 35\cdot 3\sqrt{10}&\text{Multiply coefficients} \\ 42\sqrt{15}-105\sqrt{10}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Tenga en cuenta, si la expresión final tuviera como radicales, entonces combinaríamos como radicales. A pesar de que esto resultó en radicales diferentes, seguimos sumando o restando radicales como de costumbre.
Simplificar:\(\sqrt{3}(7\sqrt{15x^3}+8x\sqrt{60x})\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\sqrt{3}(7\sqrt{15x^3}+8x\sqrt{60x})&\text{Distribute} \\ \color{blue}{\sqrt{3}}\color{black}{\:\cdot\:}7\sqrt{15x^3}+\color{blue}{\sqrt{3}}\color{black}{\:\cdot\:}8x\sqrt{60x}&\text{Apply the product rule} \\ 7\sqrt{45x^3}+8x\sqrt{180x}&\text{Simplify each term as usual} \\ 7\sqrt{9\cdot 5\cdot x^2\cdot x}+8x\sqrt{36\cdot 5\cdot x}&\text{Apply the product rule} \\ 7\cdot 3x\sqrt{5x}+8x\cdot 6\sqrt{5x}&\text{Multiply coefficients} \\ 21x\color{blue}{\sqrt{5x}}\color{black}{\: +\:}48x\color{blue}{\sqrt{5x}}&\color{black}{\text{Combine like radicals}} \\ 69x\sqrt{5x}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Radicales Múltiples usando FOIL
Podemos utilizar el método de FOIL para multiplicar radicales que toman la forma del “producto de dos binomios”. A pesar de que los factores no son exactamente dos binomios, pero la expresión comparte esa forma. Recordemos, solo estamos usando el método de FOIL. Nuevamente, los métodos nunca cambian, solo los problemas. Seguimos asumiendo que todas las variables son positivas.
Simplificar:\((\sqrt{5}-2\sqrt{3})(4\sqrt{10}+6\sqrt{6})\)
Solución
\[\begin{array}{rl}(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(4\sqrt{10}+6\sqrt{6})&\text{FOIL} \\ \underset{\text{F}}{\underbrace{\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{10}}} + \underset{\text{O}}{\underbrace{\sqrt{5}\cdot 6\sqrt{6}}}-\underset{\text{I}}{\underbrace{2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{10}}}-\underset{\text{L}}{\underbrace{2\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{6}}}&\text{Simplify and apply the product rule} \\ 4\sqrt{50}+6\sqrt{30}-8\sqrt{30}-12\sqrt{18}&\text{Simplify each term as usual} \\ 4\sqrt{25\cdot 2}+6\sqrt{30}-8\sqrt{30}-12\sqrt{9\cdot 2}&\text{Apply the product rule} \\ 4\cdot 5\sqrt{2}+6\sqrt{30}-8\sqrt{30}-12\cdot 3\sqrt{2}&\text{Multiply coefficients} \\ 20\color{blue}{\sqrt{2}}\color{black}{\:+\:}6\color{red}{\sqrt{30}}\color{black}{\: -\:}8\color{red}{\sqrt{30}}\color{black}{\: -\:}36\color{blue}{\sqrt{2}}&\color{black}{\text{Combine like radicals}} \\ -16\sqrt{2}-2\sqrt{30}&\text{Simplified expression} \end{array}\nonumber\]
Se han descubierto tabletas de arcilla revelando mucho sobre las matemáticas babilónicas que datan de 1800 a 1600 a.C. En una de las tablas, hay una aproximación de\(\sqrt{2}\) precisión a cinco decimales:\(1.41421\).
Multiplicar radicales con fórmulas de productos especiales
Simplificar:\((5\sqrt{7}+\sqrt{2})^2\)
Solución
Esto debería recordarte un trinomio cuadrado perfecto:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\nonumber\]
Dado que esta expresión toma la forma de un trinomio cuadrado perfecto, podemos aplicar el mismo método que hicimos en la multiplicación de polinomios. Recordemos, solo estamos usando el método de un trinomio cuadrado perfecto.
\[\begin{array}{rl}(5\sqrt{7}+\sqrt{2})^2&\text{Apply perfect square trinomial formula} \\ (5\sqrt{7})^2+2(5\sqrt{7})(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^2&\text{Simplify each term} \\ 25\cdot \sqrt{7^2}+10\sqrt{14}+\sqrt{2^2}&\text{Notice, }(\sqrt{7})^2=\sqrt{7^2}\text{ and }(\sqrt{2})^2=\sqrt{2^2} \\ 25\cdot 7+10\sqrt{14}+2&\text{Multiply} \\ 175+10\sqrt{14}+2&\text{Combine like terms} \\ 177+10\sqrt{14}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((8-\sqrt{5})(8+\sqrt{5})\)
Solución
Esto debería recordarte una diferencia de dos cuadrados:
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\nonumber\]
Dado que estas expresiones toman la forma de una diferencia de dos cuadrados, podemos aplicar el mismo método que hicimos en la multiplicación de polinomios. Recordemos, solo estamos usando el método de una diferencia de dos cuadrados.
\[\begin{array}{rl}(8-\sqrt{5})(8+\sqrt{5})&\text{Apply difference of two squares formula} \\ (8)^2-(\sqrt{5})^2&\text{Simplify each term} \\ 64-\sqrt{5^2}&\text{Notice, }(\sqrt{5})^2=\sqrt{5^2} \\ 64-5&\text{Subtract} \\ 59&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Es interesante que la expresión original contiene radicales y la expresión simplificada no contiene radicales. Esto muestra que aunque la expresión original pueda contener radicales, en el proceso de simplificación, podemos dar como resultado la reducción de todos los radicales.
Simplifique el cociente con radicales
ls La división con radicales es muy similar a la multiplicación. Si pensamos en la división como fracciones reductoras, podemos reducir los coeficientes fuera de los radicales y reducir los valores dentro de los radicales.
Simplificar:\(\dfrac{-3+\sqrt{27}}{3}\)
Solución
Simplificamos el\(\sqrt{27}\) y luego tratamos de reducir la fracción.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{-3+\sqrt{27}}{3}&\text{Rewrite the radicand} \\ \dfrac{-3+\sqrt{9\cdot 3}}{3}&\text{Apply product rule to the numerator} \\ \dfrac{-3+3\sqrt{3}}{3}&\text{Factor the numerator} \\ \dfrac{3(-1+\sqrt{3})}{3}&\text{Reduce the fraction by a factor of }3 \\ \dfrac{\cancel{3}(-1+\sqrt{3})}{\cancel{3}}&\text{Simplify} \\ -1+\sqrt{3}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Si\(a\),\(b\) son dos números reales positivos, entonces\[\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\nonumber\]
En general, si\(a\),\(b\) son cualesquiera dos números reales positivos, entonces\[\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\nonumber\] donde\(n\) es un entero positivo y\(n\geq 2\).
Simplificar:\(\dfrac{\sqrt{44y^6a^4}}{\sqrt{9y^2a^8}}\)
Solución
Aplicamos la regla del cociente de radicales y luego simplificamos el radicando:
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt{44y^6a^4}}{\sqrt{9y^2a^8}}&\text{Apply the quotient rule} \\ \sqrt{\dfrac{44y^6a^4}{9y^2a^8}}&\text{Reduce the radicand} \\ \sqrt{\dfrac{44\color{blue}{y^{\cancelto{4}{6}}}\color{black}{\cancel{a^4}}}{9\cancel{y^2}\color{blue}{a^{\cancelto{4}{8}}}}} &\text{Simplify} \\ \sqrt{\dfrac{44y^4}{9a^4}}&\text{Apply the quotient rule} \\ \dfrac{\sqrt{44y^4}}{\sqrt{9a^4}}&\text{Simplify the radicals} \\ \dfrac{\sqrt{4\cdot 11\cdot y^4}}{3a^2}&\text{Rewrite} \\ \dfrac{2y^2\sqrt{11}}{3a^2}&\text{Simplified expression} \end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\dfrac{15\sqrt[3]{108}}{20\sqrt[3]{2}}\)
Solución
Primero simplificamos los coeficientes, luego aplicamos la regla del cociente.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\cancelto{3}{15}\cdot\sqrt[3]{108}}{\cancelto{4}{20}\cdot \sqrt[3]{2}}&\text{Simplify coefficients} \\ \dfrac{3\sqrt[3]{108}}{4\sqrt[3]{2}}&\text{Apply quotient rule} \\ \dfrac{3}{4}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{108}{2}}&\text{Reduce the radicand} \\ \dfrac{3}{4}\cdot\sqrt[3]{54}&\text{Rewrite the radicand} \\ \dfrac{3}{4}\cdot\sqrt[3]{27\cdot 2}&\text{Apply product rule} \\ \dfrac{3}{4}\cdot 3\cdot\sqrt[3]{2}&\text{Rewrite as one fraction} \\ \dfrac{3\cdot 3\sqrt[3]{2}}{4}&\text{Multiply coefficients} \\ \dfrac{9\sqrt[3]{2}}{4}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar y dividir radicales tarea
Simplificar.
\(3\sqrt{5}\cdot -4\sqrt{16}\)
\(\sqrt{12m}\cdot\sqrt{15m}\)
\(\sqrt[3]{4x^3}\cdot\sqrt[3]{2x^4}\)
\(\sqrt{6}(\sqrt{2}+2)\)
\(-5\sqrt{15}(3\sqrt{3}+2)\)
\(5\sqrt{10}(5n+\sqrt{2})\)
\((2+2\sqrt{2})(-3+\sqrt{2})\)
\((\sqrt{5}-5)(2\sqrt{5}-1)\)
\((\sqrt{2a}+2\sqrt{3a})(3\sqrt{2a}+\sqrt{5a})\)
\((-5-4\sqrt{3})(-3-4\sqrt{3})\)
\(\dfrac{\sqrt{12}}{5\sqrt{100}}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}}{4\sqrt{125}}\)
\(\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{8}}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{4}}\)
\(\dfrac{5x^2}{4\sqrt{9x^4y^8}}\)
\(\dfrac{\sqrt{12p^2}}{\sqrt{3p}}\)
\(\dfrac{3\sqrt[3]{10}}{5\sqrt[3]{27}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{5}}{4\sqrt[3]{625}}\)
\(\dfrac{5\sqrt[4]{5r^4}}{\sqrt[4]{80r^2}}\)
\(-5\sqrt{10}\cdot\sqrt{15}\)
\(\sqrt{5r^3}\cdot -5\sqrt{10r^2}\)
\(3\sqrt[3]{4a^4}\cdot\sqrt[3]{10a^3}\)
\(\sqrt{10}(\sqrt{5}+\sqrt{2})\)
\(5\sqrt{15}(3\sqrt{3}+2)\)
\(\sqrt{15}(\sqrt{5}-3\sqrt{3v})\)
\((-2+\sqrt{3})(-5+2\sqrt{3})\)
\((2\sqrt{3}+\sqrt{5})(5\sqrt{3}+2\sqrt{4})\)
\((-2\sqrt{2p}+5\sqrt{5})(\sqrt{5p}+\sqrt{5p})\)
\((5\sqrt{2}-1)(-\sqrt{2m}+5)\)
\(\dfrac{\sqrt{15}}{2\sqrt{4}}\)
\(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{32}}\)
\(\dfrac{4\sqrt{30}}{\sqrt{15}}\)
\(\dfrac{4\sqrt{12xy^{10}}}{5\sqrt{3xy^4}}\)
\(\dfrac{\sqrt{8n^2}}{\sqrt{32n}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{64}}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{4}}{2\sqrt[4]{64}}\)
\(\dfrac{4m}{\sqrt[4]{81m^4n^4}}\)