10.4: Racionalizar denominadores
- Page ID
- 117487
Racionalizar el denominador es el proceso para obtener denominadores sin radicales.
Cuando se le da un cociente con radicales, es una práctica común dejar una expresión sin un radical en el denominador. Después de simplificar una expresión, si hay un radical en el denominador, la racionalizaremos para que el denominador quede sin ningún radical. Comenzamos racionalizando denominadores con raíces cuadradas, para luego extender esta idea a raíces superiores.
Racionalización de denominadores con raíces cuadradas
Para racionalizar el denominador con una raíz cuadrada, multiplique el numerador y el denominador por el radical exacto en el denominador, por ejemplo,\[\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\nonumber\]
Simplificar:\(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\)
Solución
Vemos que la expresión es irreducible y que contiene el denominador\(\sqrt{5}\). Racionalizamos el denominador para que el denominador quede sin radicales.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\cdot\color{blue}{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{\sqrt{6}\cdot\color{blue}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}\cdot\color{blue}{\sqrt{5}}}&\color{black}{\text{Apply product rule}} \\ \dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{25}}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{\sqrt{30}}{5}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Observe, la expresión se simplifica completamente y ya no hay radicales en el denominador. Este es el objetivo de estos problemas.
Simplificar:\(\dfrac{6\sqrt{14}}{12\sqrt{22}}\)
Solución
Vemos que la expresión no se reduce. Reduciremos la fracción aplicando la regla del cociente, luego racionalizaremos el denominador, si es necesario.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{6\sqrt{14}}{12\sqrt{22}}&\text{Apply quotient rule} \\ \dfrac{6}{12}\cdot\sqrt{\dfrac{14}{22}}&\text{Reduce fractions} \\ \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{11}}&\text{Rewrite as one fraction} \\ \dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{11}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{11}}\cdot \color{blue}{\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}}&\text{Multiple fractions} \\ \dfrac{\sqrt{7}\cdot\color{blue}{\sqrt{11}}}{2\cdot\sqrt{11}\cdot\color{blue}{\sqrt{11}}}&\text{Apply product rule} \\ \dfrac{\sqrt{77}}{2\cdot\sqrt{121}}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{\sqrt{77}}{2\cdot 11}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{\sqrt{77}}{22}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\dfrac{\sqrt{3}-9}{2\sqrt{6}}\)
Solución
Vemos que la expresión es irreducible y que contiene el denominador\(\sqrt{6}\). Racionalizamos el denominador para que el denominador quede sin radicales.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt{3}-9}{2\sqrt{6}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{(\sqrt{3}-9)}{2\sqrt{6}}\cdot\color{blue}{\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{\color{blue}{\sqrt{6}}\color{black}{(}\sqrt{3}-9)}{2\sqrt{6}\cdot\color{blue}{\sqrt{6}}}&\color{black}{\text{Distribute and apply product rule}} \\ \dfrac{\sqrt{18}-9\sqrt{6}}{2\cdot\sqrt{36}}&\text{Rewrite the radicand }18 \\ \dfrac{\sqrt{9\cdot 2}-9\sqrt{6}}{12}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{3\sqrt{2}-9\sqrt{6}}{12}&\text{Factor a GCF from the numerator} \\ \dfrac{\cancel{3}(\sqrt{2}-3\sqrt{6})}{\cancelto{4}{12}}&\text{Reduce by a factor of }3 \\ \dfrac{(\sqrt{2}-3\sqrt{6})}{4}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Racionalización de denominadores con raíces superiores
Los radicales con raíces superiores en los denominadores son un poco más desafiantes. Observe, racionalizar el denominador con raíces cuadradas funciona muy bien porque solo estamos tratando de obtener un radicando que sea un cuadrado perfecto en el denominador. Aquí, estamos tratando de obtener radicandos que sean cubos perfectos o superiores en el denominador. Vamos a probar un ejemplo.
Simplificar:\(\dfrac{4\sqrt[3]{2}}{7\sqrt[3]{25}}\)
Solución
Vemos que la expresión es irreducible y que contiene el denominador\(\sqrt[3]{25}\). Racionalizamos el denominador para que el denominador quede sin radicales. Observe que necesitamos un radicando que sea un cubo perfecto en el denominador.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{4\sqrt[3]{2}}{7\sqrt[3]{25}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{4\sqrt[3]{2}}{7\sqrt[3]{25}}\cdot\color{blue}{\dfrac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{4\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\color{blue}{\sqrt[3]{5}}}{7\cdot\sqrt[3]{25}\cdot\color{blue}{\sqrt[3]{5}}}&\color{black}{\text{Apply product rule}} \\ \dfrac{4\sqrt[3]{10}}{7\sqrt[3]{125}}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{4\sqrt[3]{10}}{7\cdot 5}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{4\sqrt[3]{10}}{35}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Elegimos multiplicar por\(\sqrt[3]{5}\) porque nos dimos cuenta\(\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2}\), y todo lo que necesitábamos era un factor adicional de\(5\) hacer un cubo perfecto en el denominador. Ya que\(7\) es un coeficiente y no una parte del radicando, no lo incluimos cuando se racionaliza
Simplificar:\(\dfrac{3\sqrt[4]{11}}{\sqrt[4]{2}}\)
Solución
Vemos que la expresión es irreducible y que contiene el denominador\(\sqrt[4]{2}\). Racionalizamos el denominador para que el denominador quede sin radicales. Observe que necesitamos un radicando que sea un perfecto cuarto poder en el denominador.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{3\sqrt[4]{11}}{\sqrt[4]{2}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{3\sqrt[4]{11}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\color{blue}{\dfrac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{8}}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{3\cdot\sqrt[4]{11}\cdot\color{blue}{\sqrt[4]{8}}}{\sqrt[4]{2}\cdot\color{blue}{\sqrt[4]{8}}}&\color{black}{\text{Apply product rule}} \\ \dfrac{3\sqrt[4]{88}}{\sqrt[4]{16}}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{3\sqrt[4]{88}}{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Elegimos multiplicar por\(\sqrt[4]{8}\) porque nos dimos cuenta\(\sqrt[4]{2}\), y todo lo que necesitábamos eran tres factores adicionales\(2\) para hacer un perfecto cuarto poder en el denominador.
Racionalizar denominadores usando el conjugado
Hay momentos en los que el denominador dado no es sólo un término. Muchas veces, en el denominador, tenemos una diferencia o suma de dos términos en los que uno o ambos términos son raíces cuadradas. Para racionalizar estos denominadores, utilizamos la idea a partir de una diferencia de dos cuadrados:
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\nonumber\]
Observe, con la diferencia de dos cuadrados, nos quedamos sin ningún término externo o interno del producto, solo los cuadrados del primer y último término. Dado que estos denominadores toman la forma de un binomio, tenemos un nombre especial para el factor que utilizamos al racionalizar el denominador. El factor se llama conjugado.
Racionalizamos denominadores del tipo\(a\pm\sqrt{b}\) multiplicando el numerador y denominador por sus conjugados, e.g.
\[\dfrac{1}{a+\sqrt{b}}\cdot\dfrac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}\nonumber\]
El conjugado para
- \(a+\sqrt{b}\)es\(a-\sqrt{b}\)
- \(a-\sqrt{b}\)es\(a+\sqrt{b}\)
El caso es similar para cuando hay algo así como\(\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\) en el denominador.
Armando todas estas ideas, probemos un ejemplo.
Simplificar:\(\dfrac{2}{\sqrt{3}-5}\)
Solución
Notamos la diferencia en el denominador y así sabemos que usaremos el conjugado para racionalizar el denominador.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{2}{\sqrt{3}-5}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{2}{(\sqrt{3}-5)}\cdot\color{blue}{\dfrac{(\sqrt{3}+5)}{(\sqrt{3}+5)}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{2\color{blue}{(\sqrt{3}+5)}}{(\sqrt{3}-5)\color{blue}{(\sqrt{3}+5)}}&\color{black}{\text{Distribute and FOIL}} \\ \dfrac{2\sqrt{3}+10}{\sqrt{9}+\cancel{5\sqrt{3}}-\cancel{5\sqrt{3}}-25}&\text{Simplify} \\ \dfrac{2\sqrt{3}+10}{3-25}&\text{Subtract} \\ \dfrac{2\sqrt{3}+10}{-22}&\text{Factor a GCF from the numerator} \\ \dfrac{2(\sqrt{3}+5)}{-22}&\text{Reduce by a factor of }2 \\ \dfrac{\sqrt{3}+5}{-11}&\text{Rewrite} \\ -\dfrac{\sqrt{3}+5}{11}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2-\sqrt{3}}\)
Solución
Notamos la diferencia en el denominador y así sabemos que usaremos el conjugado para racionalizar el denominador.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{3-\sqrt{5}}{2-\sqrt{3}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{(3-\sqrt{5})}{(2-\sqrt{3})}\cdot\color{blue}{\dfrac{(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{(3-\sqrt{5})\color{blue}{(2+\sqrt{3})}}{(2-\sqrt{3})\color{blue}{(2+\sqrt{3})}}&\color{black}{\text{FOIL}} \\ \dfrac{6+3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{4+\cancel{2\sqrt{3}}-\cancel{2\sqrt{3}}-\sqrt{9}}&\text{Simplify} \\ \dfrac{6+3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{4-3}&\text{Subtract} \\ \dfrac{6+3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{1}&\text{Rewrite} \\ 6+3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Durante el\(5^{\text{th}}\) siglo antes de Cristo en la India, Aryabhata publicó un tratado sobre astronomía. Su trabajo incluyó un método para encontrar la raíz cuadrada de números que tienen muchos dígitos.
Simplificar:\(\dfrac{2\sqrt{5}-3\sqrt{7}}{5\sqrt{6}+4\sqrt{2}}\)
Solución
Notamos la suma en el denominador y así sabemos que usaremos el conjugado para racionalizar el denominador.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{2\sqrt{5}-3\sqrt{7}}{5\sqrt{6}+4\sqrt{2}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{(2\sqrt{5}-3\sqrt{7})}{(5\sqrt{6}+4\sqrt{2})}\cdot\color{blue}{\dfrac{(5\sqrt{6}-4\sqrt{2})}{(5\sqrt{6}-4\sqrt{2})}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{(2\sqrt{5}-3\sqrt{7})\color{blue}{(5\sqrt{6}-4\sqrt{2})}}{(5\sqrt{6}+4\sqrt{2})\color{blue}{(5\sqrt{6}-4\sqrt{2})}}&\color{black}{\text{FOIL}} \\ \dfrac{10\sqrt{30}-8\sqrt{10}-15\sqrt{42}-12\sqrt{14}}{25\sqrt{36}-\cancel{20\sqrt{12}}+\cancel{20\sqrt{12}}-16\sqrt{4}}&\text{Simplify} \\ \dfrac{10\sqrt{30}-8\sqrt{10}-15\sqrt{42}-12\sqrt{14}}{25\cdot 6-16\cdot 2}&\text{Subtract} \\ \dfrac{10\sqrt{30}-8\sqrt{10}-15\sqrt{42}-12\sqrt{14}}{118}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Racionalizar la tarea de los denominadores
Simplificar.
\(\dfrac{2\sqrt{4}}{3\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{5}}{4\sqrt[3]{4}}\)
\(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{15}}\)
\(\dfrac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{9}}\)
\(\dfrac{4+2\sqrt{3}}{5\sqrt{4}}\)
\(\dfrac{2-5\sqrt{5}}{4\sqrt{13}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{5}{3\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{2}{5+\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{3}{4-3\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}\)
\(-\dfrac{4}{4-4\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{14}-2}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}-a}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\)
\(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(\dfrac{2+\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{a-\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}\)
\(\dfrac{6}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{a-b}{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}\)
\(\dfrac{2-\sqrt{5}}{-3+\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{-4+\sqrt{3}}{4\sqrt{9}}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{16}}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}+4}{4\sqrt{17}}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{3}+4\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{5}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{2}-2}\)
\(\dfrac{2}{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{4}{4\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\)
\(\dfrac{2+\sqrt{10}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{\sqrt{14}+\sqrt{7}}\)
\(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(\dfrac{2\sqrt{5}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(\dfrac{ab}{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}\)
\(\dfrac{4\sqrt{2}+3}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{3}}{5+5\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)