10.5: Radicales con índices mixtos
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Saber que un radical tiene las mismas propiedades que los exponentes (escritos como ratio) nos permite manipular radicales de nuevas maneras. Una cosa que se nos permite hacer es reducir, no sólo el radicando, sino también el índice. Echemos un vistazo a un ejemplo sencillo.
Reescribir\(\sqrt[8]{x^6y^2}\) como un radical reducido con raíz\(4\).
Solución
Podemos reescribir el radical en su forma de exponente racional, luego reducir cada fracción exponente.
\[\begin{array}{rl}\sqrt[8]{x^6y^2}&\text{Rewrite the root }8\text{ as a rational exponent} \\ (x^6y^2)^{\dfrac{1}{8}}&\text{Multiply exponents} \\ x^{\dfrac{6}{8}}y^{\dfrac{2}{8}}&\text{Reduce each exponent fraction} \\ x^{\dfrac{3}{4}}y^{\dfrac{1}{4}}&\text{All exponents have denominator }4,\text{ rewrite in radical form} \\ \sqrt[4]{x^3y}&\text{Radical in reduced form with root }4\end{array}\nonumber\]
Reducir Radicales
Observe que redujimos el índice dividiendo el índice y todos los exponentes en el radicando por el mismo número, por ejemplo,\(2\) en el Ejemplo 10.5.1. Si notamos un factor común entre el índice y todos los exponentes de cada factor en el radicando, entonces podemos reducir el radical dividiéndolo por ese factor común.
Si se le da un radical con raíz\(m\cdot n\) y radicando\(a^{mp}\), entonces\[\sqrt[mn]{a^{mp}}=\sqrt[\cancel{m}n]{a^{\cancel{m}p}}=\sqrt[n]{a^p}\nonumber\]
Reducir:\(\sqrt[24]{a^6b^9c^{15}}\)
Solución
Podemos reescribir el radical con la raíz y los exponentes en el radicando como un producto con un factor común, luego reducir el radical.
\[\begin{array}{rl}\sqrt[24]{a^6b^9c^{15}}&\text{Rewrite root and each exponent as a product with the common factor }3 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 8}]{a^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}}b^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 3}}c^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 5}}}&\text{Reduce by a common factor of }3 \\ \sqrt[\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 8}]{a^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 2}}b^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 3}}c^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 5}}}&\text{Simplify} \\ \sqrt[8]{a^2b^3c^5}&\text{Radical in reduced form with root }8\end{array}\nonumber\]
Podemos usar el mismo proceso aunque haya coeficientes en el radicando. Sólo tenemos que reescribir el coeficiente con un exponente que incluya el factor común de los exponentes, para luego reducir el radical como de costumbre.
Reducir:\(\sqrt[9]{8m^6n^3}\)
Solución
Primero, tendremos que reescribir el coeficiente\(8\) con un exponente que incluya el factor común de los exponentes. Entonces podemos reducir el radical como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}\sqrt[9]{8m^6n^3}&\text{Rewrite coefficient }8\text{ with an exponent including the common factor }3 \\ \sqrt[9]{2^{\color{blue}{3}}\color{black}{m^6n^3}}&\text{Rewrite root and each exponent as a product with the common factor }3 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 3}]{2^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}m^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}}n^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}}&\text{Reduce by a common factor of }3 \\ \sqrt[\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 3}]{2^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 1}}m^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 2}}n^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 1}}}&\text{Simplify} \\ \sqrt[3]{2m^2n}&\text{Radical in reduced form with root }3\end{array}\nonumber\]
Multiplicar radicales con diferentes índices
Podemos aplicar el método de reducción de radicales para multiplicar radicales con diferentes índices. Consideremos un ejemplo usando exponentes racionales, luego identifiquemos un patrón.
Multiplicar:\(\sqrt[3]{ab^2}\cdot\sqrt[4]{a^2b}\)
Solución
Podemos reescribir los radicales en su forma de exponente racional, encontrar un denominador común, luego reducir cada fracción de exponente.
\[\begin{array}{rl}\sqrt[3]{ab^2}\sqrt[4]{a^2b}&\text{Rewrite as rational exponents} \\ (ab^2)^{\dfrac{1}{3}}(a^2b)^{\dfrac{1}{4}}&\text{Multiply exponents} \\ a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{2}{3}}a^{\dfrac{2}{4}}b^{\dfrac{1}{4}}&\text{Rewrite each exponent with common denominator }12 \\ a^{\dfrac{4}{\color{blue}{12}}}b^{\dfrac{8}{\color{blue}{12}}}a^{\dfrac{6}{\color{blue}{12}}}b^{\dfrac{3}{\color{blue}{12}}}&\text{Rewrite in radical form with index }12 \\ \sqrt[\color{blue}{12}]{\color{red}{a^4}\color{black}{\cdot b^8\cdot }\color{red}{a^6}\color{black}{\cdot b^3}}&\text{Add exponents with same base} \\ \sqrt[12]{a^{10}b^{11}}&\text{Produce with common root }12\end{array}\nonumber\]
Para multiplicar radicales con diferentes índices, necesitamos encontrar un denominador común, que es el múltiplo común más bajo (MCM) entre las raíces. Una vez que obtengamos el LCM, podemos multiplicar cada raíz y exponente en el radicando para obtener el LCM, y reescribir como un radical.
Sea\(n\),\(p\),\(m\) ser enteros distintos de cero positivos, y el múltiplo común más bajo sea\(m\), es decir,\(LCM(n, p) = m\), entonces
\[\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[p]{b}=\sqrt[m]{a^r}\cdot\sqrt[m]{b^t}=\sqrt[m]{a^rb^t},\nonumber\]
donde los exponentes\(r=\dfrac{m}{n}\) y\(t=\dfrac{m}{p}\).
Multiplicar:\(\sqrt[4]{a^2b^3}\cdot\sqrt[6]{a^2b}\)
Solución
Encontremos el\(LCM(4, 6)\) y reescribamos cada radical con el LCM. Después escribe como un radical.
\[\begin{array}{rl}\sqrt[4]{a^2b^3}\cdot\sqrt[6]{a^2b}&\text{Rewrite radicals with LCM }12 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 4}]{a^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}}b^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 3}}}\cdot\sqrt[\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 6}]{a^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 2}}b^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 1}}}&\text{Multiply }3\text{ through first radical and multiply }2\text{ through second radical} \\ \sqrt[12]{a^6b^9}\cdot\sqrt[12]{a^4b^2}&\text{Simplify and write as one radical with root }12 \\ \sqrt[12]{a^6b^9 \cdot a^4b^2}&\text{Add exponents with same base} \\ \sqrt[12]{a^{10}b^{11}}&\text{Product with common root }12\end{array}\nonumber\]
Multiplicar:\(\sqrt[5]{x^3y^4}\cdot\sqrt[3]{x^2y}\)
Solución
Encontremos el\(LCM(3, 5)\) y reescribamos cada radical con el LCM. Después escribe como un radical.
\[\begin{array}{rl}\sqrt[5]{x^3y^4}\cdot\sqrt[3]{x^2y}&\text{Rewrite radicals with LCM }15 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 5}]{x^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 3}}y^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 4}}}\cdot\sqrt[\color{blue}{5}\color{black}{\cdot 3}]{x^{\color{blue}{5}\color{black}{\cdot 2}}y^{\color{blue}{5}\color{black}{\cdot 1}}}&\text{Multiply }3\text{ through first radical and multiply }5\text{ through second radical} \\ \sqrt[15]{x^9y^{12}}\cdot\sqrt[15]{x^{10}y^5}&\text{Simplify and write as one radical with root }15 \\ \sqrt[15]{x^9y^{12}\cdot x^{10}y^5}&\text{Add exponents with same base} \\ \sqrt[15]{x^{19}y^{17}}&\text{Simplify by extracting out one factor of }x\text{ and }y \\ xy\sqrt[15]{x^4y^2}&\text{Product with common root }15\text{ and extracted factors }x\text{ and }y\end{array}\nonumber\]
Multiplicar:\(\sqrt{3x(y+x)}\cdot\sqrt[3]{9x(y+z)^2}\)
Solución
Encontremos el\(LCM(2, 3)\) y reescribamos cada radical con el LCM. Después escribe como un radical. Tenga en cuenta que a pesar de que hay binomios en cada radicando, el método sigue siendo el mismo. Recordemos, los métodos nunca cambian, solo los problemas.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{3x(y+z)}\cdot\sqrt[3]{9x(y+z)^2}&\text{Rewrite radicals with LCM }6 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}]{3^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}x^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}(y+z)^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}}\cdot\sqrt[\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 3}]{3^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 2}}x^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 1}}(y+z)^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 2}}} &\text{Multiply }3\text{ through first radical and multiply }2 \\ &\text{through second radical} \\ \sqrt[6]{3^3x^3(y+z)^3}\cdot\sqrt[6]{3^4x^2(y+z)^4}&\text{Simplify and write as one radical with root }6 \\ \sqrt[6]{3^3x^3(y+z)^3\cdot 3^4x^2(y+z)^4}&\text{Add exponents with same base} \\ \sqrt[6]{3^7x^5(y+z)^7}&\text{Simplify by reducing out one factor of }3\text{ and }(y+z) \\ 3(y+z)\sqrt[6]{3x^5(y+z)}&\text{Product with common root }6\text{ and extracted factors} \\ &3\text{ and }(y+z)\end{array}\nonumber\]
Originalmente, el radical era solo una marca de verificación con el resto de la expresión radical entre paréntesis. En 1637, Rene Descartes fue el primero en poner una línea sobre toda la expresión radical.
Dividir radicales con diferentes índices
Por suerte, se utiliza el mismo proceso para dividir radicales con índices mixtos como se utilizó multiplicar radicales con índices mixtos. Dado que la expresión final no puede tener radicales en el denominador, entonces puede haber un paso adicional de racionalizar el denominador.
Dividir:\(\dfrac{\sqrt[6]{x^4y^3z^2}}{\sqrt[8]{x^7y^2z}}\)
Solución
Encontremos el\(LCM(6, 8)\) y reescribamos cada radical con el LCM. Después escribe como un radical. Tenga en cuenta que a pesar de que estamos simplificando un cociente, seguimos racionalizando el denominador cuando es necesario.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt[6]{x^4y^3z^2}}{\sqrt[8]{x^7y^2z}}&\text{Rewrite radicals with LCM }24 \\ \dfrac{\sqrt[\color{blue}{4}\color{black}{\cdot 6}]{x^{\color{blue}{4}\color{black}{\cdot 4}}y^{\color{blue}{4}\color{black}{\cdot 3}}z^{\color{blue}{4}\color{black}{\cdot 2}}}}{\sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 8}]{x^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 7}}y^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}}z^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}}}&\text{Multiply }4\text{ through numerator radical and multiply }3\text{ through denominator radical} \\ \dfrac{\sqrt[24]{x^{16}y^{12}z^8}}{\sqrt[24]{x^{21}y^6z^3}}&\text{Simplify and write as one radical with root }24 \\ \sqrt[24]{\dfrac{x^{16}y^{12}z^{8}}{x^{21}y^6z^3}}&\text{Reduce factors with same base} \\ \sqrt[24]{\dfrac{y^6z^5}{x^5}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{\sqrt[24]{y^6z^5}}{\sqrt[24]{x^5}}\cdot\dfrac{\sqrt[24]{x^{19}}}{\sqrt[24]{x^{19}}}&\text{Multiply numerator and denominator by }\sqrt[24]{x^{19}} \\ \dfrac{\sqrt[24]{x^{19}y^6z^5}}{\sqrt[24]{x^{24}}}&\text{Simplify} \\ \dfrac{\sqrt[24]{x^{19}y^6z^5}}{x}&\text{Quotient with common root }24\text{ and rationalized denominator}\end{array}\nonumber\]
Radicales con Índices Mixtos
Reducir los siguientes radicales.
\(\sqrt[8]{16x^4y^6}\)
\(\sqrt[12]{64x^4y^6z^8}\)
\(\sqrt[6]{\dfrac{16x^2}{9y^4}}\)
\(\sqrt[12]{x^6y^9}\)
\(\sqrt[8]{x^6y^4z^2}\)
\(\sqrt[9]{8x^3y^6}\)
\(\sqrt[4]{9x^2y^6}\)
\(\sqrt[4]{\dfrac{25x^3}{16x^5}}\)
\(\sqrt[15]{x^9y^{12}z^6}\)
\(\sqrt[10]{64x^8y^4}\)
\(\sqrt[4]{25y^2}\)
\(\sqrt[16]{81x^8y^{12}}\)
Multiplicar o dividir y simplificar por completo.
\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt{6}\)
\(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{7y}\)
\(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x-2}\)
\(\sqrt[5]{x^2y}\cdot\sqrt{xy}\)
\(\sqrt[4]{xy^2}\cdot\sqrt[3]{x^2y}\)
\(\sqrt[4]{a^2bc^2}\cdot\sqrt[5]{a^2b^3c}\)
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt[4]{a^3}\)
\(\sqrt[5]{b^2}\cdot\sqrt{b^3}\)
\(\sqrt{xy^3}\cdot\sqrt[3]{x^2y}\)
\(\sqrt[4]{9ab^3}\cdot\sqrt{3a^4b}\)
\(\sqrt[3]{3xy^2z}\cdot\sqrt[4]{9x^3yz^2}\)
\(\sqrt{27a^5(b+1)}\cdot\sqrt[3]{81a(b+1)^4}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[4]{a}}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{x^2y^3}}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{ab^3c}}{\sqrt[5]{a^2b^3c^{-1}}}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{(3x-1)^3}}{\sqrt[5]{(3x-1)^3}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{(2x+1)^2}}{\sqrt[5]{(2x+1)^2}}\)
\(\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[4]{5}\)
\(\sqrt[3]{y}\cdot\sqrt[5]{3z}\)
\(\sqrt[4]{3x}\cdot\sqrt{y+4}\)
\(\sqrt{ab}\cdot\sqrt[5]{2a^2b^2}\)
\(\sqrt[5]{a^2b^3}\cdot\sqrt[4]{a^2b}\)
\(\sqrt[6]{x^2yz^3}\cdot\sqrt[5]{x^2yz^2}\)
\(\sqrt[3]{x^2}\cdot\sqrt[6]{x^5}\)
\(\sqrt[4]{a^3}\cdot\sqrt[3]{a^2}\)
\(\sqrt[5]{a^3b}\cdot\sqrt{ab}\)
\(\sqrt{2x^3y^3}\cdot\sqrt[3]{4xy^2}\)
\(\sqrt{a^4b^3c^4}\cdot\sqrt[3]{ab^2c}\)
\(\sqrt{8x(y+z)^5}\cdot\sqrt[3]{4x^2(y+z)^2}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x}}\)
\(\dfrac{\sqrt[5]{a^4b^2}}{\sqrt[3]{ab^2}}\)
\(\dfrac{\sqrt[5]{x^3y^4z^9}}{\sqrt{xy^{-2}z}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{(2+5x)^2}}{\sqrt[4]{(2+5x)}}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{(5-3x)^3}}{\sqrt[3]{(5-3x)^2}}\)