10.6: Ecuaciones radicales

Aquí nos fijamos en ecuaciones con radicales. Como cabría esperar, para despejar un radical podemos elevar ambas partes a un exponente. Recordemos, las raíces de los radicales se puede pensar en revertir un exponente. De ahí que para revertir un radical, usaremos exponentes.

Resolviendo ecuaciones radicales

Si\(x\geq 0\) y\(a\geq 0\), entonces\[\sqrt{x}=a\text{ if and only if }x=a^2\nonumber\]

En general, si\(x\geq 0\) y\(a\) es un número real, entonces\[\sqrt[n]{x}=a\text{ if and only if }x=a^n\nonumber\]

Suponemos en este capítulo que todas las variables son mayores o iguales a cero.

Recordemos, si\(n\) es par, entonces\(x\) debe ser mayor o igual a cero. Si\(n\) es impar, entonces\(x\) puede ser cualquier número real.

Podemos aplicar el siguiente método para resolver ecuaciones con radicales.

Pasos para resolver ecuaciones radicales

Paso 1. Aislar el radical.

Paso 2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia de la raíz (índice).

Paso 3. Resuelve la ecuación como de costumbre.

Paso 4. Verificar la (s) solución (es). (Recordemos, omitiremos cualquier solución extraña).

Ecuaciones Radales con Raíces Cuadradas

Ejemplo 10.6.1

Resolver para\(x\):\(\sqrt{7x+2}=4\)

Solución

Paso 1. Aislar el radical. Observe que el radical ya está aislado para nosotros a la izquierda, sin coeficientes:\[\sqrt{7x+2}=4\nonumber\]

Paso 2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia de la raíz (índice). \[\begin{array}{rl}\sqrt{7x+2}=4&\text{Raise each side to the power of }2 \\ (\sqrt{7x+2})^2=4^2 &\text{Evaluate} \\ 7x+2=16\end{array}\nonumber\]

Paso 3. Resuelve la ecuación como de costumbre. \[\begin{array}{rl}7x+2=16&\text{Isolate the variable term} \\ 7x=14&\text{Solve for }x \\ x=2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]

Paso 4. Verificar la (s) solución (es). (Recordemos, omitiremos cualquier solución extraña). \[\begin{aligned}\sqrt{7x+2}&\stackrel{?}{=}4 \\ \sqrt{7\color{blue}{(2)}\color{black}{+2}}&\stackrel{?}{=}4 \\ \sqrt{16}&\stackrel{?}{=}4 \\ 4&=4\end{aligned}\]

Así,\(x=2\) es, de hecho, una solución.

Ejemplo 10.6.2

Resolver para\(x\):\(\sqrt{x+5}=-1\)

Solución

Paso 1. Aislar el radical. Observe que el radical ya está aislado para nosotros a la izquierda, sin coeficientes:\[\sqrt{x+5}=-1\nonumber\]

Paso 2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia de la raíz (índice). \[\begin{array}{rl}\sqrt{x+5}=-1 &\text{Raise each side to the power of }2 \\ (\sqrt{x+5})^2=(-1)^2&\text{Evaluate} \\ x+5=1\end{array}\nonumber\]

Paso 3. Resuelve la ecuación como de costumbre. \[\begin{array}{rl}x+5=1&\text{Solve for }x \\ x=-4&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]

Paso 4. Verificar la (s) solución (es). (Recordemos, omitiremos cualquier solución extraña). \[\begin{aligned}\sqrt{x+5}&\stackrel{?}{=}-1 \\ \sqrt{\color{blue}{(-4)}\color{black}{+5}}&\stackrel{?}{=}-1 \\ \sqrt{1}&\stackrel{?}{=}-1 \\ 1&\neq -1\end{aligned}\]

¡Oh no! Al verificar la solución, obtuvimos una declaración falsa. Por lo tanto, esta ecuación no tiene solución y\(x = −4\) es una solución extraña

Aislar el Radical

Ejemplo 10.6.3

Resolver para\(x\):\(x+\sqrt{4x+1}=5\)

Solución

Paso 1. Aislar el radical. Aislemos el radical de la izquierda moviendo el\(x\) hacia el lado derecho. \[\begin{aligned}x+\sqrt{4x+1}&=5 \\ \sqrt{4x+1}&=5-x\end{aligned}\]

Paso 2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia de la raíz (índice). \[\begin{array}{rl}\sqrt{4x+1}=5-x &\text{Raise each side to the power of }2 \\ (\sqrt{4x+1})^2=(5-x)^2&\text{Evaluate} \\ 4x+1=25-10x+x^2\end{array}\nonumber\]

Paso 3. Resuelve la ecuación como de costumbre. \[\begin{array}{rl} 4x+1=25-10x+x^2&\text{Notice the }x^2\text{ term; solve by factoring} \\ x^2-14x+24=0&\text{Factor} \\ (x-12)(x-2)=0&\text{Apply zero product rule} \\ x-12=0\quad\text{or}\quad x-2=0&\text{Solve} \\ x=12\quad\text{or}\quad x=2&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]

Paso 4. Verificar la (s) solución (es). (Recordemos, omitiremos cualquier solución extraña).

\[\begin{array}{rl}\color{blue}{12}\color{black}{+}\sqrt{4\color{blue}{(12)}\color{black}{+1}}\stackrel{?}{=}5 &\color{blue}{5}\color{black}{+}\sqrt{4\color{blue}{(2)}\color{black}{+1}}\stackrel{?}{=} 5 \\ 12+\sqrt{49}\stackrel{?}{=}5 &2+\sqrt{9}\stackrel{?}{=}5 \\ 12+7\stackrel{?}{=}5& 2+3\stackrel{?}{=}5 \\ 19\neq 5 &5=5\end{array}\nonumber\]

Ya que\(x = 12\) da una declaración falsa, entonces\(x = 12\) es una solución extraña. Así,\(x = 2\) es, de hecho, la solución.

Nota

Los babilonios fueron la primera cultura conocida en resolver cuadrráticas en radicales ya en el 2000 a.C.

Ecuaciones Radales con Dos Raíces Cuadradas

Ejemplo 10.6.4

Resolver para\(x\):\(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}=1\)

Solución

Paso 1. Aislar el radical. Ya que hay dos radicales en la ecuación, vamos a aislar sólo uno de ellos. \[\begin{aligned}\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}&=1 \\ \sqrt{2x+1}&=1+\sqrt{x}\end{aligned}\]

Paso 2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia de la raíz (índice). \[\begin{array}{rl}\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{x}&\text{Raise each side to the power of }2 \\ (\sqrt{2x+1})^2=(1+\sqrt{x})^2&\text{Evaluate} \\ 2x+1=1+2\sqrt{x}+x\end{array}\nonumber\]Observe\(\sqrt{x}\) que hay que aún permanece en la ecuación incluso después de cuadrar cada lado. De ahí que volvamos a repetir los pasos 1 y 2 para obtener una ecuación sin radicales. \[\begin{array}{rl}2x+1=1+2\sqrt{x}+x&\text{Isolate the radical} \\ x=2\sqrt{x} \\ \dfrac{x}{2}=\sqrt{x}&\text{Raise each side to the power of }2 \\ \left(\dfrac{x}{2}\right)^2=(\sqrt{x})^2&\text{Evaluate} \\ \dfrac{x^2}{4}=x\end{array}\nonumber\]

Paso 3. Resuelve la ecuación como de costumbre. \[\begin{array}{rl}\dfrac{x^2}{4}=x&\text{Notice the }x^2\text{ term; solve by factoring} \\ \dfrac{x^2}{4}-x=0&\text{Multiply each term by LCD }4 \\ \color{blue}{4}\color{black}{\cdot}\dfrac{x^2}{4}-\color{blue}{4}\color{black}{\cdot}x=\color{blue}{4}\color{black}{\cdot }0&\text{Simplify}\end{array}\nonumber\]

\[\begin{array}{rl}x^2-4x=0&\text{Factor} \\ x(x-4)=0&\text{Apply zero product rule} \\ x=0\quad\text{or}\quad x-4=0&\text{Solve} \\ x=0\quad\text{or}\quad x=4&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]

Paso 4. Verificar la (s) solución (es). (Recordemos, omitiremos cualquier solución extraña). \[\begin{array}{rl}\sqrt{2\color{blue}{(0)}\color{black}{+1}}-\sqrt{\color{blue}{0}}\color{black}{}\stackrel{?}{=}1&\sqrt{2\color{blue}{(4)}\color{black}{+1}}-\sqrt{4}\stackrel{?}{=}1 \\ \sqrt{1}\stackrel{?}{=}1&\sqrt{9}-2\stackrel{?}{=}1 \\ 1=1&3-2\stackrel{?}{=}1 \\ 1=1&1=1\end{array}\nonumber\]

Desde\(x = 0\) y\(x = 4\) ambos dan verdaderas afirmaciones, entonces\(x = 0\) y\(x = 4\) son, de hecho, las soluciones.

Ecuaciones radicales con raíces superiores

Ejemplo 10.6.5

Resolver para\(n\):\(\sqrt[3]{n-1}=-4\)

Solución

Paso 1. Aislar el radical. Observe que el radical ya está aislado para nosotros a la izquierda, sin coeficientes:\[\sqrt[3]{n-1}=-4\nonumber\]

Paso 2. Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia de la raíz (índice). Observe que la raíz aquí es 3; de ahí que elevaremos cada lado a la tercera potencia. \[\begin{array}{rl}\sqrt[3]{n-1}=-4&\text{Raise each side to the power of }3 \\ (\sqrt[3]{n-1})^3=(-4)^3&\text{Evaluate} \\ n-1=-64 \end{array}\nonumber\]

Paso 3. Resuelve la ecuación como de costumbre. \[\begin{array}{rl}n-1=-64&\text{Isolate the variable term} \\ n=-63&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]

Paso 4. Verificar la (s) solución (es). (Recordemos, omitiremos cualquier solución extraña). \[\begin{aligned} \sqrt[3]{n-1}&\stackrel{?}{=}-4 \\ \sqrt[3]{\color{blue}{-63}\color{black}{-1}}&\stackrel{?}{=}-4 \\ \sqrt[3]{-64}&\stackrel{?}{=}-4 \\ -4&=-4\end{aligned}\]

Así,\(n=-63\) es, de hecho, una solución.

Aplicaciones con funciones radicales

Ejemplo 10.6.6

El Índice de Masa Corporal (IMC) de una persona es una medida de la grasa corporal basada en la estatura y el peso. Si el IMC de una persona está por encima\(25\) y por debajo\(30\), se clasifica como sobrepeso. La estatura de una persona en términos de su peso en libras\(w\), y el índice de masa corporal (IMC),\(b\), viene dada por\[H(w)=\sqrt{\dfrac{703w}{b}}\nonumber\]

1. ¿Qué tan alto tiene una persona que pesa\(250\) libras y tiene un IMC de\(25\)? Redondea tu respuesta a un decimal.
2. Si una persona mide\(71\) pulgadas de alto y tiene un IMC de\(25\), ¿cuál es el peso de la persona? Redondea tu respuesta a un decimal.

Solución

Aplicamos la fórmula para responder a ambas partes. Dado que esta es una función con una raíz cuadrada, utilizamos las técnicas de arriba para resolver.

1. Ya que la persona pesa\(250\) libras y tiene IMC\(25\), entonces\(w=250\) y\(b=25\). Vamos a enchufar y chug estos para encontrar la altura de la persona en pulgadas. \[\begin{aligned}H(w)&=\sqrt{\dfrac{703w}{b}} \\ H(\color{blue}{250}\color{black}{)}&=\sqrt{\dfrac{703(\color{blue}{250}\color{black}{)}}{\color{blue}{25}}} \\ H(250)&=\sqrt{7030} \\ H(250)&\approx 83.5\end{aligned}\]Así, una persona cuyo peso es\(250\) libras con un IMC de\(25\) es de aproximadamente\(83.5\) pulgadas de alto, ¡que es casi\(7\) pies de alto!
2. Ya que la persona mide\(71\) pulgadas de alto y tiene IMC\(25\), entonces\(H = 71\) y\(b = 25\). Vamos a enchufar y chug esto en la función y resolver para\(w\), el peso de la persona en libras. \[\begin{aligned}H(w)&=\sqrt{\dfrac{703w}{b}} \\ \color{blue}{71}\color{black}{}&=\sqrt{\dfrac{703w}{\color{blue}{25}}} \\ 71^2&=\dfrac{703w}{25} \\ 71^2\cdot 25&=703w \\ \dfrac{71^2\cdot 25}{703}&=w \\ w&\approx 179.3\end{aligned}\]Así, una persona cuya estatura es\(71\) pulgadas con un IMC de\(25\), pesa alrededor de\(179.3\) libras.

Ejemplo 10.6.7

El tiempo que tarda un péndulo en oscilar hacia adelante y hacia atrás una vez puede ser representado por la función\[S(x)=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}}\nonumber\] donde\(S(x)\) está el tiempo en segundos y\(x\) es la longitud del péndulo en pies.

1. ¿Cuántos segundos tardarán en que un\(7\) péndulo de pie se balancee una vez hacia adelante y hacia atrás? Redondea tu respuesta a un decimal.
2. Si un péndulo tarda\(4\) segundos en oscilar una vez hacia adelante y hacia atrás, ¿cuál es la longitud del péndulo? Redondea tu respuesta a un decimal.

Solución

Aplicamos la fórmula para responder a ambas partes. Dado que esta es una función con una raíz cuadrada, utilizamos las técnicas de arriba para resolver.

1. Ya que se da que el péndulo es\(7\) pies, entonces esto implica\(x = 7\). Vamos a enchufar y chug\(x = 7\)\(S\) para obtener el tiempo que tarda el péndulo en oscilar una vez hacia adelante y hacia atrás. \[\begin{aligned} S(x)&=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}} \\ S(\color{blue}{7}\color{black}{)}&=2\pi\sqrt{\dfrac{\color{blue}{7}}{\color{black}{32}}} \\ S(7)&\approx 2.9\end{aligned}\]Por lo tanto, tomará unos\(2.9\) segundos para que un péndulo de\(7\) -pie se balancee una vez hacia adelante y hacia atrás.
2. Si se nos da que un péndulo tarda\(4\) segundos en oscilar una vez hacia adelante y hacia atrás, entonces esto significa\(S = 4\). Vamos a enchufar y chug esto en la función para encontrar\(x\), la longitud del péndulo en pies. \[\begin{aligned}S(x)&=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}} \\ \color{blue}{4}\color{black}{}&=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}} \\ \dfrac{4}{2\pi}&=\sqrt{\dfrac{x}{32}} \\ \left(\dfrac{4}{2\pi}\right)^2&=\dfrac{x}{32} \\ 32\cdot\dfrac{16}{4\pi ^2}&=x \\ x&\approx 13.0\end{aligned}\]Así, un péndulo de\(13\) -pie tardará\(4\) segundos en oscilar una vez hacia adelante y hacia atrás.

Tareas de Ecuaciones Radales

Resolver. Asegúrese de verificar todas las soluciones.

Ejercicio 10.6.1

\(\sqrt{2x+3}-3=0\)

Ejercicio 10.6.2

\(\sqrt{6x-5}-x=0\)

Ejercicio 10.6.3

\(3+x=\sqrt{6x+13}\)

Ejercicio 10.6.4

\(\sqrt{3-3x}-1=2x\)

Ejercicio 10.6.5

\(\sqrt{4x+5}-\sqrt{x+4}=2\)

Ejercicio 10.6.6

\(\sqrt{2x+4}-\sqrt{x+3}=1\)

Ejercicio 10.6.7

\(\sqrt{2x+6}-\sqrt{x+4}=1\)

Ejercicio 10.6.8

\(\sqrt{6-2x}-\sqrt{2x+3}=3\)

Ejercicio 10.6.9

\(\sqrt{5x+1}-4=0\)

Ejercicio 10.6.10

\(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}=2\)

Ejercicio 10.6.11

\(x-1=\sqrt{7-x}\)

Ejercicio 10.6.12

\(\sqrt{2x+2}=3+\sqrt{2x-1}\)

Ejercicio 10.6.13

\(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x+2}=2\)

Ejercicio 10.6.14

\(\sqrt{7x+2}-\sqrt{3x+6}=6\)

Ejercicio 10.6.15

\(\sqrt{4x-3}-\sqrt{3x+1}=1\)

Ejercicio 10.6.16

\(\sqrt{2-3x}-\sqrt{3x+7}=3\)

Ejercicio 10.6.17

El Índice de Masa Corporal (IMC) de una persona es una medida de la grasa corporal basada en la estatura y el peso. Si el IMC de una persona está por encima\(25\) y por debajo\(30\), se clasifica como sobrepeso. La estatura de una persona en términos de su peso en libras\(w\), y el índice de masa corporal (IMC),\(b\), viene dada por\[H(w) =\sqrt{\dfrac{703w}{b}}\nonumber\]

1. ¿Qué tan alta es una persona si pesa\(225\) libras y tiene un IMC de\(25\)? Redondea tu respuesta a un decimal.
2. Si una persona mide\(64\) pulgadas de alto y tiene un IMC de\(25\), ¿cuál es su peso? Redondea tu respuesta a un decimal.

Ejercicio 10.6.18

El tiempo que tarda un péndulo en oscilar hacia adelante y hacia atrás una vez puede ser representado por la función\[S(x) = 2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}}\nonumber\] donde\(S(x)\) está el tiempo en segundos y\(x\) es la longitud del péndulo en pies.

1. ¿Cuántos segundos tardarán en que un\(5\) péndulo de pie se balancee una vez hacia adelante y hacia atrás? Redondea tu respuesta a un decimal.
2. Si un péndulo tarda\(2\) segundos en oscilar una vez hacia adelante y hacia atrás, ¿cuál es la longitud del péndulo? Redondea tu respuesta a un decimal.