1.3: Factorización Prime
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- 112202
Visión general
- Números primos y compuestos
- El principio fundamental de la aritmética
- La factorización principal de un número entero
Números primos y compuestos
Observe que los únicos factores de 7 son 1 y 7 en sí, y que los únicos factores de 23 son el 1 y el 23 mismo.
Un número entero mayor que 1 cuyo único número entero son factores en sí mismo y 1 se llama número primo.
Los primeros siete números primos son
2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17
El número 1 no se considera un número primo, y el número 2 es el primer y único número primo par.
Muchos números tienen factores distintos a ellos mismos y 1. Por ejemplo, los factores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28 (ya que cada uno de estos números enteros y solo estos números enteros se dividen en 28 sin un resto).
Un número entero que se compone de factores distintos a sí mismo y 1 se llama número compuesto. Los números compuestos no son números primos.
Algunos números compuestos son 4, 6, 8, 10, 12 y 15.
El principio fundamental de la aritmética
Los números primos son muy importantes en el estudio de las matemáticas. Pronto los usaremos en nuestro estudio de fracciones. Ahora, sin embargo, seremos introducidos a un importante principio matemático.
Excepto por el orden de los factores, cada número entero, distinto del 1, se puede factorizar de una y sólo una manera como producto de números primos.
Cuando se descompone un número para que todos sus factores sean números primos, la factorización se llama la factorización primo del número.
Conjunto de Muestras A
Encuentra la factorización prima de 10.
\(10=2 · 5\)
Tanto el 2 como el 5 son números primos. Así, 2 · 5 es la factorización primo de 10.
Encuentra la factorización prime de 60.
60 = 2 · 30 30 no es primo. 30 = 2 · 15
= 2 · 2 · 15 15 no es primo. 15 = 3 · 5
= 2 · 2 · 3 · 5 Usaremos exponentes. 2 · 2 =\(2^2\)
=\(2^2\) · 3 · 5
Los números 2, 3 y 5 son todos primos. Así, 2 2 · 3 · 5 es la factorización prima de 60.
Encuentra la factorización prima de 11.
11 es un número primo. La factorización de primos se aplica solo a los números compuestos.
La factorización principal de un número entero
El siguiente método proporciona una manera de encontrar la factorización prima de un número entero. Los ejemplos que siguen utilizarán el método y lo dejarán más claro.
- Divide el número repetidamente por el número primo más pequeño que se dividirá en el número sin un resto.
- Cuando el número primo utilizado en el paso 1 ya no se divida en el número dado sin un resto, repita el proceso con el siguiente número primo más grande.
- Continuar con este proceso hasta que el cociente sea 1.
- La descomposición como primo del número dado es el producto de todos estos divisores primos.
Conjunto de Muestras B
Encuentra la factorización prime de 60.
Dado que 60 es un número par, es divisible por 2. Vamos a dividir repetidamente por 2 hasta que ya no podamos (cuando empecemos a conseguir un resto). Dividiremos de la siguiente manera.
30 es divisible por 2 otra vez.
15 no es divisible por 2, pero es divisible por 3, el siguiente primo más grande.
5 no es divisible por 3, pero es divisible por 5, el siguiente primo más grande.
El cociente es 1 así que detenemos el proceso de división
La factorización prima de 60 es producto de todos estos divisores.
60 = 2 · 2 · 3 · 5 Utilizaremos exponentes cuando sea posible
60 =\(2^2\) · 3 · 5
Encuentra la factorización prima de 441.
Dado que 441 es un número impar, no es divisible por 2. Intentaremos 3, el próximo prime más grande.
147 es divisible por 3.
49 no es divisible por 3 ni por 5, sino por 7.
7 es divisible por 7.
El cociente es 1 así que detenemos el proceso de división.
La descomposición primo de 441 es el producto de todos los divisores.
441 = 3 · 3 · 7 · 7 Utilizaremos exponentes cuando sea posible.
441 =\(3^2\) · \(7^2\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, determine qué números enteros son primos y cuáles son compuestos.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
23
- Contestar
-
prime
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
25
- Contestar
-
compuesto
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
27
- Contestar
-
compuesto
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
2
- Contestar
-
prime
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
3
- Contestar
-
prime
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
5
- Contestar
-
prime
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
7
- Contestar
-
prime
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
9
- Contestar
-
compuesto
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
11
- Contestar
-
prime
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
34
- Contestar
-
compuesto
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
55
- Contestar
-
compuesto
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
63
- Contestar
-
compuesto
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
1044
- Contestar
-
compuesto
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
339
- Contestar
-
compuesto
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
209
- Contestar
-
compuesto
Para los siguientes problemas, encuentra la factorización prima de cada número entero. Usar exponentes en factores repetidos.
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
26
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
38
- Contestar
-
2 · 19
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
54
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
62
- Contestar
-
2 · 31
Ejercicio\(\PageIndex{20}\)
56
Ejercicio\(\PageIndex{21}\)
176
- Contestar
-
\(2^4\)·\(11\)
Ejercicio\(\PageIndex{22}\)
480
Ejercicio\(\PageIndex{23}\)
819
- Contestar
-
\(3^2\)·\(7\) · \(13\)
Ejercicio\(\PageIndex{24}\)
2025
Ejercicio\(\PageIndex{25}\)
148,225
- Contestar
-
\(5^2\)·\(7^2\) · \(11^2\)