1.5: Fracciones Equivalentes

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Visión general

Fracciones Equivalentes
Reducción de fracciones a términos más bajos
Elevar fracciones a términos más altos

Definición: Fracciones Equivalentes

Las fracciones que tienen el mismo valor se denominan fracciones equivalentes

Por ejemplo,\(\dfrac{2}{3}\) y\(\dfrac{4}{6}\) representan la misma parte de una cantidad entera y por lo tanto son equivalentes. A continuación se enumeran varias colecciones más de fracciones equivalentes:

\(\dfrac{15}{25}, \dfrac{12}{20}, \dfrac{3}{5}\)

\(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{3}{9}, \dfrac{4}{12}\)

\(\dfrac{7}{6}, \dfrac{14}{12}, \dfrac{21}{18}, \dfrac{28}{24}, \dfrac{35}{30}\)

Reducción de fracciones a términos más bajos

Términos reducidos a los más bajos

A menudo es útil convertir una fracción en una fracción equivalente que tiene valores reducidos en el numerador y denominador. Cuando una fracción se convierte en una fracción equivalente que tiene el numerador y denominador más pequeños en la colección de fracciones equivalentes, se dice que se reduce a términos más bajos. El proceso de conversión se llama reducir una fracción.

Podemos reducir una fracción a los términos más bajos al

Expresando el numerador y denominador como producto de números primos. (Encuentra la factorización prima del numerador y denominador. Ver Sección 1.3 para esta técnica.)
Dividir el numerador y el denominador por todos los factores comunes. (Esta técnica se llama comúnmente “cancelación”).

Conjunto de Muestras A:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\ (\ begin {alineado}
&\ dfrac {6} {18} =\ dfrac {2\ cdot 3} {2\ cdot 3\ cdot 3}\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot\ not {3}} {\ not {2}\ cdot\ not {3}\ cdot 3}\ quad 2\ texto {y} 3\ texto {son factores comunes.}\\
&=\ dfrac {1} {3}
\ end {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {16} {20} &=\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot 2} {2\ cdot 2\ cdot 5}\\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot\ not {2}\ cdot 2\ cdot 2} {\ not {2}\ cdot\ not {2}\ cdot 5}\ quad 2\ text {es el único factor común.}\\
&=\ dfrac {4} {5}
\ end {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\ (
\ begin {alineado}
&\ dfrac {56} {70} =\ dfrac {2\ cdot 4\ cdot 7} {2\ cdot 5\ cdot 7}\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot 4\ cdot\ not {7}} {\ not {2}\ cdot 5\ cdot\ not {7}}\ 2\ text {y} 7\ text {son factores comunes.}\\
&=\ dfrac {4} {5}
\ fin {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\ (
\ dfrac {8} {15} =\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2} {3\ cdot 5}
\) No hay factores comunes.

Así,\(\dfrac{8}{15}\) se reduce a los términos más bajos.

Elevar una fracción a términos más altos

Igualmente importante ya que reducir las fracciones es elevar las fracciones a términos más altos. Elevar una fracción a términos superiores es el proceso de construir una fracción equivalente que tiene valores más altos en el numerador y denominador. La fracción equivalente superior se construye multiplicando la fracción original por 1.

Observe que\(\dfrac{3}{5}\) y\(\dfrac{9}{15}\) son equivalentes, es decir\(\dfrac{3}{5}\) =\(\dfrac{9}{15}\). Además,

\ (
\ begin {array} {l}
\ dfrac {3} {5}\ cdot 1=\ dfrac {3} {5}\ cdot\ dfrac {3} {3} =\ dfrac {3\ cdot 3} {5\ cdot 3} =\ dfrac {9} {15}\
1=\ dfrac {3} {3}
\ final {matriz}
\)

Esta observación nos ayuda a sugerir el siguiente método para elevar una fracción a términos más altos.

Elevar una fracción a términos más altos

Una fracción puede elevarse a términos más altos multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo número distinto de cero.

Por ejemplo, se\(\dfrac{3}{4}\) puede elevar a\(\dfrac{24}{32}\) multiplicando tanto el numerador como el denominador por 8, es decir, multiplicando por 1 en la forma\(\dfrac{8}{8}\).

\ (
\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {3\ cdot 8} {4\ cdot 8} =\ dfrac {24} {32}
\)

¿Cómo sabíamos elegir 8 como factor adecuado? Ya que deseamos convertir 4 a 32 multiplicándolo por algún número, sabemos que 4 debe ser un factor de 32. Esto significa que 4 se divide en 32. De hecho,\(32 \div 4=8\). Dividimos el denominador original en el nuevo denominador especificado para obtener el factor adecuado para la multiplicación.

Conjunto de Muestras B

Determinar el numerador o denominador faltante.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{3}{7}=\dfrac{?}{35} . \quad \text{Divide the original denominator, } 7, \text{ into the new denominator }35\)

\(35 \div 7=5\)

\(\text{Multiply the original numerator by } 5.\)

\(\dfrac{3}{7}=\dfrac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5}=\dfrac{15}{35}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{5}{6}=\dfrac{45}{?} . \quad \text{Divide the original denominator, } 5, \text{ into the new denominator }45\)

\(45 \div 5=9\)

\(\text{Multiply the original numerator by } 9.\)

\(\dfrac{5}{6}=\dfrac{5 \cdot 9}{6 \cdot 9}=\dfrac{45}{54}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(\dfrac{6}{8}\)

Contestar: \(\dfrac{3}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(\dfrac{5}{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(\dfrac{6}{14}\)

Contestar: \(\dfrac{3}{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{4}{14}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{18}{12}\)

Contestar: \(\dfrac{3}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{3}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(\dfrac{20}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\dfrac{10}{6}\)

Contestar: \(\dfrac{5}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\dfrac{14}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\dfrac{10}{12}\)

Contestar: \(\dfrac{5}{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(\dfrac{32}{28}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\(\dfrac{36}{10}\)

Contestar: \(\dfrac{18}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(\dfrac{26}{60}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(\dfrac{12}{18}\)

Contestar: \(\dfrac{2}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\(\dfrac{18}{27}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\(\dfrac{18}{24}\)

Contestar: \(\dfrac{3}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\(\dfrac{32}{40}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\(\dfrac{11}{22}\)

Contestar: \(\dfrac{1}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\(\dfrac{17}{51}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(\dfrac{27}{81}\)

Contestar: \(\dfrac{1}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(\dfrac{16}{42}\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\(\dfrac{6}{8}\)

Contestar: \(\dfrac{3}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(\dfrac{39}{13}\)

Contestar: 3

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(\dfrac{44}{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(\dfrac{121}{132}\)

Contestar: \(\dfrac{11}{12}\)

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

\(\dfrac{30}{105}\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

\(\dfrac{108}{76}\)

Contestar: \(\dfrac{29}{19}\)

Para los siguientes problemas, determine el numerador o denominador faltante.

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

\ (
\ dfrac {1} {3} =\ dfrac {?} {12}
\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

\ (
\ dfrac {1} {5} =\ dfrac {?} {30}
\)

Contestar: 6

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

\ (
\ dfrac {3} {3} =\ dfrac {?} {9}
\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

\ (
\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {?} {16}
\)

Contestar: 12

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

\ (
\ dfrac {5} {6} =\ dfrac {?} {18}
\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {4} {5} =\ dfrac {?} {25}
\)

Contestar: 20

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {1} {2} =\ dfrac {4} {?}
\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {9} {25} =\ dfrac {27} {?}
\)

Contestar: 75

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {3} {2} =\ dfrac {18} {?}
\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {5} {3} =\ dfrac {80} {?}
\)

Contestar: 48