1.5: Fracciones Equivalentes

Visión general

• Fracciones Equivalentes
• Reducción de fracciones a términos más bajos
• Elevar fracciones a términos más altos

Definición: Fracciones Equivalentes

Las fracciones que tienen el mismo valor se denominan fracciones equivalentes

Por ejemplo,$\dfrac{2}{3}$ y$\dfrac{4}{6}$ representan la misma parte de una cantidad entera y por lo tanto son equivalentes. A continuación se enumeran varias colecciones más de fracciones equivalentes:

$\dfrac{15}{25}, \dfrac{12}{20}, \dfrac{3}{5}$

$\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{3}{9}, \dfrac{4}{12}$

$\dfrac{7}{6}, \dfrac{14}{12}, \dfrac{21}{18}, \dfrac{28}{24}, \dfrac{35}{30}$

Reducción de fracciones a términos más bajos

Términos reducidos a los más bajos

A menudo es útil convertir una fracción en una fracción equivalente que tiene valores reducidos en el numerador y denominador. Cuando una fracción se convierte en una fracción equivalente que tiene el numerador y denominador más pequeños en la colección de fracciones equivalentes, se dice que se reduce a términos más bajos. El proceso de conversión se llama reducir una fracción.

Podemos reducir una fracción a los términos más bajos al

1. Expresando el numerador y denominador como producto de números primos. (Encuentra la factorización prima del numerador y denominador. Ver Sección 1.3 para esta técnica.)
2. Dividir el numerador y el denominador por todos los factores comunes. (Esta técnica se llama comúnmente “cancelación”).

Conjunto de Muestras A:

Ejemplo$\PageIndex{1}$

\ (\ begin {alineado}
&\ dfrac {6} {18} =\ dfrac {2\ cdot 3} {2\ cdot 3\ cdot 3}\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot\ not {3}} {\ not {2}\ cdot\ not {3}\ cdot 3}\ quad 2\ texto {y} 3\ texto {son factores comunes.}\\
&=\ dfrac {1} {3}
\ end {alineado}
\)

Ejemplo$\PageIndex{2}$

\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {16} {20} &=\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot 2} {2\ cdot 2\ cdot 5}\\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot\ not {2}\ cdot 2\ cdot 2} {\ not {2}\ cdot\ not {2}\ cdot 5}\ quad 2\ text {es el único factor común.}\\
&=\ dfrac {4} {5}
\ end {alineado}
\)

Ejemplo$\PageIndex{3}$

\ (
\ begin {alineado}
&\ dfrac {56} {70} =\ dfrac {2\ cdot 4\ cdot 7} {2\ cdot 5\ cdot 7}\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot 4\ cdot\ not {7}} {\ not {2}\ cdot 5\ cdot\ not {7}}\ 2\ text {y} 7\ text {son factores comunes.}\\
&=\ dfrac {4} {5}
\ fin {alineado}
\)

Ejemplo$\PageIndex{4}$

\ (
\ dfrac {8} {15} =\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2} {3\ cdot 5}
\) No hay factores comunes.

Así,$\dfrac{8}{15}$ se reduce a los términos más bajos.

Elevar una fracción a términos más altos

Igualmente importante ya que reducir las fracciones es elevar las fracciones a términos más altos. Elevar una fracción a términos superiores es el proceso de construir una fracción equivalente que tiene valores más altos en el numerador y denominador. La fracción equivalente superior se construye multiplicando la fracción original por 1.

Observe que$\dfrac{3}{5}$ y$\dfrac{9}{15}$ son equivalentes, es decir$\dfrac{3}{5}$ =$\dfrac{9}{15}$. Además,

\ (
\ begin {array} {l}
\ dfrac {3} {5}\ cdot 1=\ dfrac {3} {5}\ cdot\ dfrac {3} {3} =\ dfrac {3\ cdot 3} {5\ cdot 3} =\ dfrac {9} {15}\
1=\ dfrac {3} {3}
\ final {matriz}
\)

Esta observación nos ayuda a sugerir el siguiente método para elevar una fracción a términos más altos.

Elevar una fracción a términos más altos

Una fracción puede elevarse a términos más altos multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo número distinto de cero.

Por ejemplo, se$\dfrac{3}{4}$ puede elevar a$\dfrac{24}{32}$ multiplicando tanto el numerador como el denominador por 8, es decir, multiplicando por 1 en la forma$\dfrac{8}{8}$.

\ (
\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {3\ cdot 8} {4\ cdot 8} =\ dfrac {24} {32}
\)

¿Cómo sabíamos elegir 8 como factor adecuado? Ya que deseamos convertir 4 a 32 multiplicándolo por algún número, sabemos que 4 debe ser un factor de 32. Esto significa que 4 se divide en 32. De hecho,$32 \div 4=8$. Dividimos el denominador original en el nuevo denominador especificado para obtener el factor adecuado para la multiplicación.

Conjunto de Muestras B

Determinar el numerador o denominador faltante.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

$\dfrac{3}{7}=\dfrac{?}{35} . \quad \text{Divide the original denominator, } 7, \text{ into the new denominator }35$

$35 \div 7=5$

$\text{Multiply the original numerator by } 5.$

$\dfrac{3}{7}=\dfrac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5}=\dfrac{15}{35}$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

$\dfrac{5}{6}=\dfrac{45}{?} . \quad \text{Divide the original denominator, } 5, \text{ into the new denominator }45$

$45 \div 5=9$

$\text{Multiply the original numerator by } 9.$

$\dfrac{5}{6}=\dfrac{5 \cdot 9}{6 \cdot 9}=\dfrac{45}{54}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$\dfrac{6}{8}$

Contestar

$\dfrac{3}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$\dfrac{5}{10}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$\dfrac{6}{14}$

Contestar

$\dfrac{3}{7}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$\dfrac{4}{14}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$\dfrac{18}{12}$

Contestar

$\dfrac{3}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$\dfrac{3}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$\dfrac{20}{8}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$\dfrac{10}{6}$

Contestar

$\dfrac{5}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$\dfrac{14}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$\dfrac{10}{12}$

Contestar

$\dfrac{5}{6}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$\dfrac{32}{28}$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$\dfrac{36}{10}$

Contestar

$\dfrac{18}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$\dfrac{26}{60}$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$\dfrac{12}{18}$

Contestar

$\dfrac{2}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$\dfrac{18}{27}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$\dfrac{18}{24}$

Contestar

$\dfrac{3}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$\dfrac{32}{40}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$\dfrac{11}{22}$

Contestar

$\dfrac{1}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$\dfrac{17}{51}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$\dfrac{27}{81}$

Contestar

$\dfrac{1}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$\dfrac{16}{42}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$\dfrac{6}{8}$

Contestar

$\dfrac{3}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$\dfrac{39}{13}$

Contestar

3

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$\dfrac{44}{11}$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$\dfrac{121}{132}$

Contestar

$\dfrac{11}{12}$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$\dfrac{30}{105}$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

$\dfrac{108}{76}$

Contestar

$\dfrac{29}{19}$

Para los siguientes problemas, determine el numerador o denominador faltante.

Ejercicio$\PageIndex{28}$

\ (
\ dfrac {1} {3} =\ dfrac {?} {12}
\)

Ejercicio$\PageIndex{29}$

\ (
\ dfrac {1} {5} =\ dfrac {?} {30}
\)

Contestar

6

Ejercicio$\PageIndex{30}$

\ (
\ dfrac {3} {3} =\ dfrac {?} {9}
\)

Ejercicio$\PageIndex{31}$

\ (
\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {?} {16}
\)

Contestar

12

Ejercicio$\PageIndex{32}$

\ (
\ dfrac {5} {6} =\ dfrac {?} {18}
\)

Ejercicio$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {4} {5} =\ dfrac {?} {25}
\)

Contestar

20

Ejercicio$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {1} {2} =\ dfrac {4} {?}
\)

Ejercicio$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {9} {25} =\ dfrac {27} {?}
\)

Contestar

75

Ejercicio$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {3} {2} =\ dfrac {18} {?}
\)

Ejercicio$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {5} {3} =\ dfrac {80} {?}
\)

Contestar

48