1.6: Operaciones con Fracciones

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Visión general

Multiplicación de Fracciones
División de Fracciones
Suma y resta de fracciones

Multiplicación de Fracciones

Para multiplicar dos fracciones, multiplicar los numeradores juntos y multiplicar los denominadores juntos. Reducir a los términos más bajos si es posible.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Por ejemplo, multiplique\(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{6}\):

\ (
\ begin {alineado}
&\ begin {alineado}\ dfrac {3} {4}\ cdot\ dfrac {1} {6} &=\ dfrac {3\ cdot 1} {4\ cdot 6}\\
&=\ dfrac {3} {24}\ quad\ text {Ahora reduce.}\\
&=\ dfrac {3\ cdot 1} {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot 3}
\ final {alineado}\\
&=\ dfrac {\ not {3}\ cdot 1} {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot\ cdot\ not 3}\\
&\ text {3 es el único factor común.}\\
&=\ dfrac {1} {8}
\ end {alineado}
\)

Observe que desde entonces tuvimos que reducir, casi comenzamos de nuevo con las dos fracciones originales. Si facetamos primero, luego cancelamos, luego multiplicamos, ahorraremos tiempo y energía y aún así obtendremos el producto correcto.

Conjunto de Muestras A

Realiza las siguientes multiplicaciones:

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\ (
\ begin {alineado}
&\ dfrac {1} {4}\ cdot\ dfrac {8} {9} =\ dfrac {1} {2\ cdot 2}\ cdot\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2} {3\ cdot 3}\\ &\ begin {array} {l}
=\ dfrac {1} {\ not 2\ cdot\ not 2}\ cdot\ dfrac {\ not 2\ cdot\ not 2\ cdot 2} {3\ cdot 3}\ text {2 es un factor común}\\
=\ dfrac {1} {1}\ cdot\ dfrac {2} {3\ cdot 3}\\
=\ dfrac {1\ cdot 2} {1\ cdot 3\ cdot 3}\\
=\ dfrac {2} {9}
\ end {array}\
\ final {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {3} {4}\ cdot\ dfrac {8} {9}\ cdot\ dfrac {5} {12} &=\ dfrac {3} {2\ cdot 2}\ cdot\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2} {3\ cdot 3}\ cdot\ dfrac {5} {2\ cdot 2\ cdot 3}\\
&=\ dfrac {\ not {3}} {\ no 2\ cdot\ no 2}\ cdot\ dfrac {\ no 2\ cdot\ no 2\ cdot\ no 2} { \ not {3}\ cdot 3}\ cdot\ dfrac {5} {\ not 2\ cdot 2\ cdot 3}\ quad 2\ text {y} 3\ text {son factores comunes.}\\
&=\ dfrac {1\ cdot 1\ cdot 5} {3\ cdot 2\ cdot 3}\\
&=\ dfrac {5} {18}
\ end {alineado}
\)

División de Fracciones

Reciprocales

Dos números cuyo producto es 1 son recíprocos entre sí. Por ejemplo, ya que\(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{4}=1, \dfrac{4}{5} \text { and } \dfrac{5}{4}\) son recíprocos entre sí. Algunos otros pares de reciprocas se enumeran a continuación.

\( \dfrac{2}{7}, \dfrac{7}{2} \quad \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{3} \quad \dfrac{6}{1}, \dfrac{1}{6} \)

Los recíprocos se utilizan en la división de fracciones.

División de Fracciones

Para dividir una primera fracción por una segunda fracción, multiplique la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. Reducir si es posible.

A este método se le llama a veces el método de “invertir y multiplicar”.

Conjunto de Muestras B

Realizar las siguientes divisiones:

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{3}{4} . \quad \text{ The divisor is } \dfrac{3}{4} . \text{ Its reciprocal is } \dfrac{4}{3}\)
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {1} {3}\ div\ dfrac {3} {4} &=\ dfrac {1} {3}\ cdot\ dfrac {4} {3}\\
&=\ dfrac {1\ cdot 4} {3\ cdot 3}\\
&=\ dfrac {4} {9}
\ fin alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\ (
\ begin {alineado}
&\ dfrac {3} {8}\ div\ dfrac {5} {4}. \ quad\ text {El divisor es}\ dfrac {5} {4}. \ text {Su recíproco es}\ dfrac {4} {5}\
&\ begin {alineado}
\ dfrac {3} {8}\ div\ dfrac {5} {4} &=\ dfrac {3} {8}\ cdot\ dfrac {4} {5}\\
&=\ dfrac {3} {\ no 2\ cdot\ no 2\ cdot 2}\ cdot\ dfrac {\ not 2\ cdot\ not 2} {5}
\ end {alineado}\\
& =\ dfrac {3\ cdot 1} {2\ cdot 5}\\
&=\ dfrac {3} {10}
\ final {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

\ (
\ begin {alineado}
&\ dfrac {5} {6}\ div\ dfrac {5} {12}. \ quad\ text {El divisor es}\ dfrac {5} {12}. \ text {Su recíproco es}\ dfrac {12} {5}\
&\ begin {alineado}
\ dfrac {5} {6}\ div\ dfrac {5} {12} &=\ dfrac {5} {6}\ cdot\ dfrac {12} {5}\\
&=\ dfrac {5} {2\ cdot 3}\ cdot\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 3} {5}\\
&=\ dfrac {\ no 5} {\ no 2\ cdot\ no {3}}\ cdot\ dfrac {\ not 2\ cdot 2\ cdot\ not {3}} {\ not 5}\\
&=\ dfrac {1\ cdot 2} {1}\\
&=2
\ end {alineado}
\ end {alineado}
\)

Suma y resta de fracciones

Fracciones con denominadores similares

Para sumar (o restar) dos o más fracciones que tengan los mismos denominadores, sumar (o restar) los numeradores y colocar la suma resultante sobre el denominador común. Reducir si es posible.

Precaución

Sumar o restar sólo los numeradores. ¡No sumar ni restar los denominadores!

Conjunto de Muestras C

Encuentra las siguientes sumas.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

\ (
\ begin {alineado}
&\ dfrac {3} {7} +\ dfrac {2} {7}\ texto {. Los denominadores son los mismos. Agrega los numeradores y coloca la suma sobre} 7. \\
&\ dfrac {3} {7} +\ dfrac {2} {7} =\ dfrac {3+2} {7} =\ dfrac {5} {7}
\ final {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

\ (
\ begin {alineado}
&\ dfrac {7} {9} -\ dfrac {4} {9}. \ quad\ text {Los denominadores son los mismos. Restar} 4\ text {de} 7\ text {y coloca la diferencia sobre} 9. \\
&\ dfrac {7} {9} -\ dfrac {4} {9} =\ dfrac {7-4} {9} =\ dfrac {3} {9} =\ dfrac {1} {3}
\ end {alineado}
\)

Fracciones con Denominadores Distintivos

Para sumar o restar fracciones que tengan denominadores distintos, convierta cada fracción en una fracción equivalente teniendo como denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores originales.

El múltiplo menos común de los denominadores originales se conoce comúnmente como el mínimo denominador común (LCD). Consulte la Sección 3.4 para conocer la técnica de encontrar el múltiplo menos común de varios números.

Conjunto de Muestras D

Encuentra cada suma o diferencia

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Los denominadores no son iguales. Encuentra la pantalla LCD de 6 y 4.

\(\begin{array}{ll}\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{4} . & \text { The denominators are not alike. } \\ \left\{\begin{array}{l}6=2 \cdot 3 \\ 4=2^{2}\end{array}\right. & \text { The LCD is } 2^{2} \cdot 3=4 \cdot 3=12 \text { . }\end{array}\)
Convertir cada una de las fracciones originales en fracciones equivalentes que tengan el denominador común 12.

\(\dfrac{1}{6}=\dfrac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2}=\dfrac{2}{12} \quad \dfrac{3}{4}=\dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}=\dfrac{9}{12}\)

Ahora podemos proceder con la adición.

\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {1} {6} +\ dfrac {3} {4} &=\ dfrac {2} {12} +\ dfrac {9} {12}\\
&=\ dfrac {2+9} {12}\\
&=\ dfrac {11} {12}
\ end {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Los denominadores no son iguales. Encuentra la pantalla LCD de 9 y 12.

\(\begin{array}{ll}\dfrac{5}{9}-\dfrac{5}{12} . & \text { The denominators are not alike. } \\ \left\{\begin{array}{l}9=3^{2} \\ 12=2^{2} \cdot 3\end{array}\right. & \text { The LCD is } 2^{2} \cdot 3^{2}=4 \cdot 9=36 .\end{array}\)
Convertir cada una de las fracciones originales en fracciones equivalentes que tengan el denominador común 36.

\(\dfrac{5}{9}=\dfrac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4}=\dfrac{20}{36} \quad \dfrac{5}{12}=\dfrac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3}=\dfrac{15}{36}\)
Ahora podemos proceder con la resta.
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {5} {9} -\ dfrac {5} {12} &=\ dfrac {20} {36} -\ dfrac {15} {36}\\
&=\ dfrac {20-15} {36}\\
&=\ dfrac {5} {36}
\ end {alineado}
\)

Ejercicios

Para cada uno de los siguientes problemas, realice cada operación indicada

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3}\)

Responder: \(\dfrac{4}{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{6}\)

Responder: \(\dfrac{1}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3}\)

Responder: \(\dfrac{4}{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{14}{15}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{20}{27}\)

Responder: \(\dfrac{5}{12}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(\dfrac{35}{36} \cdot \dfrac{48}{55}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\dfrac{21}{25} \cdot \dfrac{15}{14}\)

Responder: \(\dfrac{9}{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\dfrac{76}{99} \cdot \dfrac{66}{38}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{14}{18} \cdot \dfrac{6}{2}\)

Responder: 1

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(\dfrac{14}{15} \cdot \dfrac{21}{28} \cdot \dfrac{45}{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\(\dfrac{5}{9} \div \dfrac{5}{6}\)

Responder: \(\dfrac{2}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(\dfrac{9}{16} \div \dfrac{15}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(\dfrac{4}{9} \div \dfrac{6}{15}\)

Responder: \(\dfrac{10}{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\(\dfrac{25}{49} \div \dfrac{4}{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\(\dfrac{15}{4} \div \dfrac{27}{8}\)

Responder: \(\dfrac{10}{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\(\dfrac{24}{75} \div \dfrac{8}{15}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\(\dfrac{57}{8} \div \dfrac{7}{8}\)

Responder: \(\dfrac{57}{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\(\dfrac{7}{10} \div \dfrac{10}{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}\)

Responder: \(\dfrac{5}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(\dfrac{3}{11} + \dfrac{4}{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\(\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12}\)

Responder: 1

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(\dfrac{11}{16} - \dfrac{2}{16}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(\dfrac{15}{23} - \dfrac{2}{23}\)

Responder: \(\dfrac{13}{23}\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(\dfrac{3}{11} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{5}{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

\(\dfrac{16}{20} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{2}{20}\)

Responder: \(\dfrac{19}{20}\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} - \dfrac{1}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

\(\dfrac{11}{16} + \dfrac{9}{16} - \dfrac{5}{16}\)

Responder: \(\dfrac{15}{16}\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

\(\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2}\)

Responder: \(\dfrac{5}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

\(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

\(\dfrac{5}{8} + \dfrac{2}{3}\)

Responder: \(\dfrac{31}{24}\)

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

\(\dfrac{6}{7} - \dfrac{1}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

\(\dfrac{8}{15} - \dfrac{3}{10}\)

Responder: \(\dfrac{5}{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

\(\dfrac{1}{15} + \dfrac{5}{12}\)

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

\(\dfrac{25}{36} - \dfrac{7}{10}\)

Responder: \(\dfrac{-1}{180}\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

\(\dfrac{9}{28} - \dfrac{4}{45}\)

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

\(\dfrac{8}{15} - \dfrac{3}{10}\)

Responder: \(\dfrac{7}{30}\)

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

\(\dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

\(\dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{36}\)

Responder: \(\dfrac{47}{18}\)

Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

\(\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{22} + \dfrac{5}{24}\)