4.1: Resolver sistemas lineales mediante gráficos

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Objetivos de aprendizaje

Verificar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales.
Resolver sistemas lineales utilizando el método de graficación.
Identificar sistemas dependientes e inconsistentes.

Definición de un Sistema Lineal

Las aplicaciones del mundo real a menudo se modelan usando más de una variable y más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. En esta sección, estudiaremos sistemas lineales consistentes en dos ecuaciones lineales cada una con dos variables. Por ejemplo,

Una solución a un sistema lineal, o solución simultánea, a un sistema lineal es un par ordenado\((x, y)\) que resuelve ambas ecuaciones. En este caso,\((3, 2)\) es la única solución. Para verificar que un par ordenado es una solución, sustituya los\(y\) valores\(x\) -y -correspondientes en cada ecuación y luego simplifique para ver si obtiene una declaración verdadera para ambas ecuaciones.

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\color{black}{(3,2)}\)

\(\begin{array} {c|c}{Equation\:1:\:\:2x-37=0}&{Equation\:2\:\:-4x+2y=-8}\\{2(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)-3(}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)=0}}&{-4(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)+2(}\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)=-8}}\\{6-6=0}&{-12+4=-8}\\{0=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-8=-8\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Determinar si\((1, 0)\) es una solución para el sistema

\(\left\{\begin{aligned} x−y&=1 \\ −2x+3y&=5 \end{aligned}\right.\).

Solución:

Sustituir los valores apropiados en ambas ecuaciones.

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\color{black}{(1,0)}\)

\(\begin{array}{c|c} {Equation\:1:\:\:x-y=1}&{Equation\:2:\:\:-2x+3y=5}\\{(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)-(}\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)=1}}&{-2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+3(}\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)=5}}\\{1-0=1}&{-2+0=5}\\{1=1\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-2=5\quad\color{red}{x}} \end{array}\)

Respuesta:

Dado que\((1, 0)\) no satisface ambas ecuaciones, no es una solución.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Es\((−2, 4)\) una solución al sistema

\(\begin{aligned} x−y&=−6\\−2x+3y&=16\end{aligned}\)?

Contestar: Sí

Resolver graficando

Geométricamente, un sistema lineal consta de dos líneas, donde una solución es un punto de intersección. Para ilustrar esto, graficaremos el siguiente sistema lineal con una solución de\((3, 2)\):

Primero, reescribir las ecuaciones en forma de pendiente-intersección para que podamos graficarlas fácilmente.

\(\begin{array}{c|c}{2x-3y=0}&{-4x+2y=-8}\\{2x-3y\color{Cerulean}{-2x}\color{black}{=0}\color{Cerulean}{-2x}}&{-4x+2y\color{Cerulean}{+4x}\color{black}{=-8}\color{Cerulean}{+4x}}\\{-3y=-2x}&{2y=4x-8}\\{\frac{-3y}{\color{Cerulean}{-3}}\color{black}{=\frac{-2x}{\color{Cerulean}{-3}}}}&{\frac{2y}{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{=\frac{4x-8}{\color{Cerulean}{2}}}}\\{y=\frac{2}{3}x}&{y=2x-4} \end{array}\)

A continuación, sustituir estas formas de las ecuaciones originales en el sistema para obtener lo que se llama un sistema equivalente. Los sistemas equivalentes comparten el mismo conjunto de soluciones.

\(\color{Cerulean}{Original\:system}\qquad\color{Cerulean}{Equivalent\:system}\)

Si graficamos ambas líneas en un mismo conjunto de ejes, entonces podemos ver que el punto de intersección es efectivamente\((3, 2)\), la solución al sistema.

Captura de pantalla (391) .png — Figura\(\PageIndex{1}\)

Captura de pantalla (395) .png — Figura\(\PageIndex{1}\)

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Sistemas dependientes e inconsistentes

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