8.6: Resolver ecuaciones radicales

Objetivos de aprendizaje

• Resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas.
• Resolver ecuaciones que involucran raíces cúbicas

Ecuaciones Radales

Una ecuación radical es cualquier ecuación que contiene uno o más radicales con una variable en el radicando. A continuación se presentan algunos ejemplos de ecuaciones radicales, todas las cuales se resolverán en esta sección:

\(\begin{array}{c}{\sqrt{x-1}=5} \\ {\sqrt{2 x-5}+4=x} \\ {\sqrt[3]{x^{2}+4}-2=0}\end{array}\)

Comenzamos con la propiedad cuadrangular de igualdad; dados los números reales a y b, tenemos lo siguiente:

Si\(a=b\), entonces\(a^{2}=b^{2}\)

En otras palabras, la igualdad se mantiene si cuadramos ambos lados de una ecuación.

\(\begin{array}{rlrl}{-3=-3} & {\Rightarrow} & {(-3)^{2}} & {=(-3)^{2}} \\ {} & {} & {9} & {=9} \:\:\color{Cerulean}{\checkmark} \end{array}\)

Lo contrario, por otro lado, no es necesariamente cierto:

Esto es importante porque usaremos esta propiedad para resolver ecuaciones radicales. Considera una ecuación radical muy simple que puede resolverse mediante inspección:

\(\sqrt{x}=3\)

Aquí podemos ver que\(x=9\) es una solución. Para resolver esta ecuación algebraicamente, hacer uso de la propiedad de cuadratura de igualdad y el hecho de que ((\ sqrt {a}) ^ {2} =\ sqrt {a^ {2}} =a\) cuando a es positivo. Elimine la raíz cuadrada al cuadrar ambos lados de la ecuación de la siguiente manera:

\(\begin{aligned}\color{Cerulean}{(}\color{black}{\sqrt{x}}\color{Cerulean}{)^{2}} &\color{black}{=}\color{Cerulean}{(}\color{black}{3}\color{Cerulean}{)^{2}} \\ x &=9 \end{aligned}\)

Como cheque, podemos ver eso\(\sqrt{9}=3\) como se esperaba. Debido a que lo contrario de la propiedad cuadrangular de la igualdad no es necesariamente cierto, las soluciones a la ecuación cuadrada pueden no ser soluciones a la original. De ahí que al cuadrar ambos lados de una ecuación se introduce la posibilidad de soluciones extrañas, o soluciones que no resuelven la ecuación original. Por ello, debemos verificar las respuestas que resultan de cuadrar ambos lados de una ecuación.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver:

\(\sqrt{x-1}=5\)

Solución:

Podemos eliminar la raíz cuadrada aplicando la propiedad de cuadratura de igualdad.

A continuación, debemos verificar.

\(\begin{aligned}\color{black}{ \sqrt{\color{OliveGreen}{26}-1}} &=5 \\ \sqrt{25} &=5 \\ 5 &=5\:\:\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es 26.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver:

Solución:

Comience por cuadrar ambos lados de la ecuación.

Te queda una ecuación cuadrática que se puede resolver factorizando.

\(\begin{array}{cc}{x+5=0} & {\text { or } \quad x-1=0} \\ {x=-5} & {x=1}\end{array}\)

Ya que cuadraste ambos lados, debes revisar tus soluciones.

Después de verificar, se puede ver que\(x=−5\) era extraño; no resolvió la ecuación radical original. Hacer caso omiso de esa respuesta. Esto deja\(x=1\) como única solución.

Respuesta:

La solución es\(x=1\).

En los dos ejemplos anteriores, observe que el radical está aislado en un lado de la ecuación. Por lo general, este no es el caso. Los pasos para resolver ecuaciones radicales que involucran raíces cuadradas se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resolver:

\(\sqrt{2 x-5}+4=x\)

Solución:

Paso 1: Aislar la raíz cuadrada. Comience restando 4 de ambos lados de la ecuación.

Paso 2: Cuadrar ambos lados. Al cuadrar ambos lados se elimina la raíz cuadrada.

Paso 3: Resolver la ecuación resultante. Aquí te queda una ecuación cuadrática que se puede resolver factorizando.

\(\begin{array}{cc}{x-3=0} & {\text { or } \quad x-7=0} \\ {x=3} & {x=7}\end{array}\)

Paso 4: Verifique las soluciones en la ecuación original. Al cuadrar ambos lados se introduce la posibilidad de soluciones extrañas; de ahí que se requiera la verificación.

\(\begin{array}{r|r}{\text {Check } x=3} & {\text { Check } x=7} \\ {\sqrt{2 x-5}+4=x} & {\sqrt{2 x-5}+4=x}\\{\sqrt{2(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}-5}+4=\color{OliveGreen}{3}}&{\sqrt{2(\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)}-5}+4=\color{OliveGreen}{7}}\\{\sqrt{6-5}+4=3}&{\sqrt{14-5}+4=7}\\{\sqrt{1}+4=3}&{\sqrt{9}+4=7}\\{1+4=3}&{3+4=7}\\{5=3\:\:\color{red}{x}}&{7=7\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Después de verificar, podemos ver que\(x=3\) es una raíz extraña; no resuelve la ecuación radical original. Esto deja\(x=7\) como única solución.

Respuesta:

La solución es\(x=7\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver:

Solución:

Comienza aislando el término con el radical

A pesar de que el término del lado izquierdo tiene un coeficiente, todavía se considera aislado. Recordemos que los términos están separados por operadores de suma o resta.

\(\begin{aligned} 3 \sqrt{x+1} &=2 x \\(3 \sqrt{x+1})^{2} &=(2 x)^{2}\qquad\color{Cerulean}{Square\:both\:sides.} \\ 9(x+1) &=4 x^{2} \end{aligned}\)

Resolver la ecuación cuadrática resultante.

\(\begin{array}{rlrl}{4 x+3} & {=0} & {\text { or }} & {x-3=0} \\ {4 x} & {=-3} && {x=3} \\ {x} & {=-\frac{3}{4}}\end{array}\)

Ya que cuadramos ambos lados, debemos verificar nuestras soluciones.

Después de verificar, podemos ver que\(x=−\frac{3}{4}\) era extraño.

Respuesta:

La solución es 3.

A veces ambas soluciones posibles son extrañas.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resolver:

Solución:

Comience aislando al radical.

Ya que cuadramos ambos lados, debemos verificar nuestras soluciones.

Dado que ambas soluciones posibles son extrañas, la ecuación no tiene solución.

Respuesta:

Sin solución, Ø

La propiedad de cuadratura de igualdad se extiende a cualquier potencia entera positiva n. Dados los números reales a y b, tenemos los siguientes:

Si\(a=b\), entonces\(a^{n}=b^{n}\)

Esto a menudo se conoce como la propiedad de poder de la igualdad. Utilice esta propiedad, junto con el hecho de que\((\sqrt[n]{a})^{n} = \sqrt[n]{a^{n}}=a\), cuando a es positivo, para resolver ecuaciones radicales con índices mayores a 2.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resolver:

\(\sqrt[3]{x^{2}+4}-2=0\)

Solución:

Aísle el radical y luego cubo ambos lados de la ecuación.

\ (x+2) (x-2) &=0\ end {alineado}\) </p">

\(\begin{array}{rlrl}{x+2} & {=0} & {\text { or }} & {x-2=0} \\ {x} & {=-2} & {} & {x=2}\end{array}\)

Cheque.

\(\begin{array}{r|r}{\text {Check } x=-2} & {\text { Check } x=2} \\ {\sqrt[3]{x^{2}+4}-2=0} & {\sqrt[3]{x^{2}+4}-2=0}\\{\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}+4}-2=0}&{\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}^{2}+4}-2=0}\\{\sqrt[3]{4+4}-2=0}&{\sqrt[3]{4+4}-2=0}\\{\sqrt[3]{8}-2=0}&{\sqrt[3]{8}-2=0}\\{2-2=0}&{2-2=0}\\{0=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Respuesta:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resolver:

\(\sqrt{2 x-1}+2=x\)

Contestar

\(x=5\)(\(x=1\)es extraño)

Puede darse el caso de que la ecuación tenga dos expresiones radicales.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resolver:

\(\sqrt{3 x-4}=\sqrt{2 x+9}\)

Solución:

Ambos radicales se consideran aislados en lados separados de la ecuación.

Cheque\(x=13\).

\(\begin{aligned} \sqrt{3 x-4} &=\sqrt{2 x+9} \\ \sqrt{3(\color{OliveGreen}{13}\color{black}{)}-4} &=\sqrt{2(\color{OliveGreen}{13}\color{black}{)}+9} \\ \sqrt{39-4} &=\sqrt{26+9} \\ \sqrt{35} &=\sqrt{35} \quad \color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es 13.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Resolver:

\(\sqrt[3]{x^{2}+x-14}=\sqrt[3]{x+50}\)

Solución:

Elimina los radicales al cubicar ambos lados.

\ (x+8) (x-8) &=0\ end {alineado}\) </p">

\(\begin{array}{rlrl}{x+8} & {=0} & {\text { or }} & {x-8=0} \\ {x} & {=-8} && {x=8}\end{array}\)

Cheque.

\(\begin{array}{r|r}{\text { Check } x=-8}&{\text{Check }x=8} \\ {\sqrt[3]{x^{2}+x-14}=\sqrt[3]{x+50}} & {\sqrt[3]{x^{2}+x-14}=\sqrt[3]{x+50}}\\{\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}^{2}+(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}-14}=\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}+50}}&{\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{8}\color{black}{)}^{2}+(\color{OliveGreen}{8}\color{black}{)}-14}=\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{8}\color{black}{)}+50}}\\{\sqrt[3]{64-8-14}=\sqrt[3]{42}}&{\sqrt[3]{64+8-14}=\sqrt[3]{58}}\\{\sqrt[3]{42}=\sqrt[3]{42}\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{\sqrt[3]{58}=\sqrt[3]{58}\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Respuesta:

Aprenderemos a resolver algunas de las ecuaciones radicales más avanzadas en el próximo curso, Álgebra Intermedia.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver:

\(\sqrt{3 x+1}=\sqrt{2 x-3}\)

Contestar

No hay solución para x

Claves para llevar

• Resuelve ecuaciones que involucran raíces cuadradas aislando primero el radical y luego cuadrando ambos lados. Al cuadrar una raíz cuadrada se elimina el radical, dejándonos con una ecuación que se puede resolver utilizando las técnicas aprendidas anteriormente en nuestro estudio del álgebra. Sin embargo, al cuadrar ambos lados de una ecuación se introduce la posibilidad de soluciones extrañas, así que comprueba tus respuestas en la ecuación original.
• Resuelve ecuaciones que involucran raíces cúbicas aislando primero el radical y luego cubicando ambos lados. Esto elimina el radical y da como resultado una ecuación que puede resolverse con técnicas que ya hayas dominado.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) Solving Radical Equations

Resolver.

1. \(\sqrt{x}=2\)
2. \(\sqrt{x}=7\)
3. \(\sqrt{x}+7=8\)
4. \(\sqrt{x}+4=9\)
5. \(\sqrt{x}+6=3\)
6. \(\sqrt{x}+2=1\)
7. \(5\sqrt{x}−1=0\)
8. \(3\sqrt{x}−2=0\)
9. \(\sqrt{x−3}=3\)
10. \(\sqrt{x+5}=6\)
11. \(\sqrt{3x+1}=2\)
12. \(\sqrt{5x−4}=4\)
13. \(\sqrt{7x+4}+6=11\)
14. \(\sqrt{3x−5}+9=14\)
15. \(\sqrt{2x−1}−3=0\)
16. \(\sqrt{3x+1}−2=0\)
17. \(\sqrt[3]{x}=2\)
18. \(\sqrt[3]{x}=5\)
19. \(\sqrt[3]{2x+9}=3\)
20. \(\sqrt[3]{4x−11}=1\)
21. \(\sqrt[3]{5x+7}+3=1\)
22. \(\sqrt[3]{3x−6}+5=2\)
23. \(2\sqrt[3]{x+2}−1=0\)
24. \(2\sqrt[3]{2x−3}−1=0\)
25. \(\sqrt{8x+11}=\sqrt{3x+1}\)
26. \(2 \sqrt{3 x-4}=\sqrt{2(3 x+1)}\)
27. \(\sqrt{2(x+10)}=\sqrt{7 x-15}\)
28. \(\sqrt{5(x−4)}=\sqrt{x+4}\)
29. \(\sqrt[3]{5 x-2}=\sqrt[3]{4 x}\)
30. \(\sqrt[3]{9(x−1)}=\sqrt[3]{3(x+7)}\)
31. \(\sqrt[3]{3 x+1}=\sqrt[3]{2(x-1)}\)
32. \(\sqrt[3]{9x}=\sqrt[3]{3(x−6)}\)
33. \(\sqrt{4 x+21}=x\)
34. \(\sqrt{8x+9}=x\)
35. \(\sqrt{4(2x−3)}=x\)
36. \(\sqrt{3(4x−9)}=x\)
37. \(2 \sqrt{x-1}=x\)
38. \(3\sqrt{2x−9}=x\)
39. \(\sqrt{9 x+9}=x+1\)
40. \(\sqrt{3x+10}=x+4\)
41. \(\sqrt{x−1}=x−3\)
42. \(\sqrt{2x−5}=x−4\)
43. \(\sqrt{16−3x}=x−6\)
44. \(\sqrt{7−3x}=x−3\)
45. \(3 \sqrt{2 x+10}=x+9\)
46. \(2\sqrt{2x+5}=x+4\)
47. \(3\sqrt{x−1}-1=x\)
48. \(2\sqrt{2x+2}−1=x\)
49. \(\sqrt{10x+41}−5=x\)
50. \(\sqrt{6(x+3)}−3=x\)
51. \(\sqrt{8x^{2}−4x+1}=2x\)
52. \(\sqrt{18x^{2}−6x+1}=3x\)
53. \(5\sqrt{x+2}=x+8\)
54. \(4 \sqrt{2(x+1)}=x+7\)
55. \(\sqrt{x^{2}−25}=x\)
56. \(\sqrt{x^{2}+9}=x\)
57. \(3+\sqrt{6x−11}=x\)
58. \(2+\sqrt{9x−8}=x\)
59. \(\sqrt{4x+25}-x=7\)
60. \(\sqrt{8x+73}−x=10\)
61. \(2\sqrt{4x+3}−3=2x\)
62. \(2\sqrt{6x+3}−3=3x\)
63. \(2x−4=\sqrt{14−10x}\)
64. \(3x−6=3\sqrt{3−24x}\)
65. \(\sqrt[3]{x^{2}−24}=1\)
66. \(\sqrt[3]{x^{2}−54}=3\)
67. \(\sqrt[3]{x^{2}+6x}+1=4\)
68. \(\sqrt[3]{x^{2}+2x}+5=7\)
69. \(\sqrt[3]{25x^{2}−10x−7}=−2\)
70. \(\sqrt[3]{9x^{2}−12x−23}=−3\)
71. \(\sqrt{2 x^{2}-15 x+25}=\sqrt{(x+5)(x-5)}\)
72. \(\sqrt{x^{2}−4x+4}=\sqrt{x(5−x)}\)
73. \(\sqrt[3]{2\left(x^{2}+3 x-20\right)}=\sqrt[3]{(x+3)^{2}}\)
74. \(\sqrt[3]{3x^{2}+3x+40}=\sqrt[3]{(x−5)^{2}}\)
75. \(x^{1/2}−10=0\)
76. \(x^{1/2}−6=0\)
77. \(x^{1/3}+2=0\)
78. \(x^{1/3}+4=0\)
79. \((x−1)^{1/2}−3=0\)
80. \((x+2)^{1/2}−6=0\)
81. \((2x−1)^{1/3}+3=0\)
82. \((3x−1)^{1/3}−2=0\)
83. \((4x+15)^{1/2}−2x=0\)
84. \((3x+2)^{1/2}−3x=0\)
85. \((2x+12)^{1/2}−x=6\)
86. \((4x+36)^{1/2}−x=9\)
87. \(2(5x+26)^{1/2}=x+10\)
88. \(3(x−1)^{1/2}=x+1\)
89. La raíz cuadrada de 1 menos de dos veces un número es igual a 2 menos que el número. Encuentra el número.
90. La raíz cuadrada de 4 menos de dos veces un número es igual a 6 menos que el número. Encuentra el número.
91. La raíz cuadrada de dos veces un número es igual a la mitad de ese número. Encuentra el número.
92. La raíz cuadrada de dos veces un número es igual a un tercio de ese número. Encuentra el número.
93. La distancia, d, medida en millas, una persona puede ver un objeto viene dada por la fórmula\(d=\sqrt{\frac{3h}{2}\) donde h representa la altura de la persona sobre el nivel del mar, medida en pies. ¿Qué tan alto debe estar una persona para ver un objeto a 5 millas de distancia?
94. La corriente, I, medida en amperios, viene dada por la fórmula\(I=\sqrt{\frac{P}{R}}\) donde P es el consumo de energía, medido en vatios, y R es la resistencia, medida en ohmios. Si una bombilla requiere 1/2 amperio de corriente y usa 60 watts de potencia, entonces ¿cuál es la resistencia de la bombilla?

Contestar

1. \(4\)

3. \(1\)

5. \(Ø\)

7. \(\frac{1}{25}\)

9. \(12\)

11. \(1\)

13. \(3\)

15. \(5\)

17. \(8\)

19. \(9\)

21. \(−3\)

23. \(−\frac{15}{8}\)

25. \(Ø\)

27. \(7\)

29. \(2\)

31. \(−3\)

33. \(7\)

35. \(2, 6\)

37. \(2\)

39. \(−1, 8\)

41. \(5\)

43. \(Ø\)

45. \(−3, 3\)

47. \(2, 5\)

49. \(4, −4\)

51. \(\frac{1}{2}\)

53. \(2, 7\)

55. \(Ø\)

57. \(10\)

59. \(−6, −4\)

61. \(−\frac{1}{2},\frac{3}{2}\)

63. \(Ø\)

65. \(−5, 5\)

67. \(−9, 3\)

69. \(\frac{1}{5}\)

71. \(5, 10\)

73. \(−7, 7\)

75. \(100\)

77. \(−8\)

79. \(10\)

81. \(−13\)

83. \(\frac{5}{2}\)

85. \(−6, −4\)

87. \(−2, 2\)

89. \(5\)

91. \(8\)

93. \(16 \frac{2}{3}\)pies

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Solving Radical Equations

El periodo, T, de un péndulo en segundos viene dado por la fórmula

\(T=2π\sqrt{L/32}\)

donde L representa la longitud en pies. Para cada problema a continuación, calcule la longitud de un péndulo, dado el periodo. Dar el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de pie más cercana.

1. \(1\)segundo
2. \(2\)segundos
3. \(\frac{1}{2}\)segundo
4. \(\frac{1}{3}\)segundo

Contestar

1. \(\frac{8}{\pi^{2}} ≈0.8\)pie

3. \(\frac{2}{\pi^{2}} ≈0.2\)pie

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Solving Radical Equations

El tiempo, t, en segundos que un objeto está en caída libre viene dado por la fórmula

\(s=16\cdot t^{2}\)

donde s representa la distancia en pies que ha caído el objeto. Para cada problema a continuación, calcule la distancia que cae un objeto, dada la cantidad de tiempo.

1. 1 segundo
2. 2 segundos
3. \(\frac{1}{2}\)segundo
4. \(\frac{1}{4}\)segundo

Contestar

1. 16 pies

3. 4 pies

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Solving Radical Equations

Las intercepciones x para cualquier gráfica tienen la forma\((x, 0)\), donde x es un número real. Por lo tanto, para encontrar x -intercepciones, establecer\(y = 0\) y resolver para x. Encuentra las intercepciones x para cada una de las siguientes.

1. \(y=\sqrt{x−3}−1\)
2. \(y=\sqrt{x+2}−3\)
3. \(y=\sqrt[3]{x−1}+2\)
4. \(y=\sqrt[3]{x+1}−3\)

Contestar

1. \((4, 0)\)

3. \((−7, 0)\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Discussion Board

1. Discutir razones por las que a veces obtenemos soluciones extrañas al resolver ecuaciones radicales. ¿Alguna vez hay condiciones en las que no necesitamos verificar soluciones extrañas? ¿Por qué?

Contestar

1. Las respuestas pueden variar