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# 9.6: Introducción a números complejos y soluciones complejas

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Objetivos de aprendizaje

• Realizar operaciones con números complejos.
• Resuelve ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas.

## Introducción a los números complejos

Hasta este punto, la raíz cuadrada de un número negativo se ha dejado indefinida. Por ejemplo, sabemos que no$$\sqrt{−9}$$ es un número real.

$$\sqrt{-9}=\color{Cerulean}{?} \quad \color{black}{\text { or} } \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{2}=-9$$

No hay un número real que cuando se cuadra resulte en un número negativo. Comenzamos la resolución de este problema definiendo la unidad imaginaria, i, como la raíz cuadrada de −1.

$i=\sqrt{-1} \quad \text { and } \quad i^{2}=-1$

Para expresar una raíz cuadrada de un número negativo en términos de la unidad imaginaria i, utilizamos la siguiente propiedad, donde a representa cualquier número real no negativo:

Con esto podemos escribir

Si$$\sqrt{-9}=3i$$, entonces esperaríamos que 3 i al cuadrado sea igual a: -9:

Por lo tanto, la raíz cuadrada de cualquier número real negativo se puede escribir en términos de la unidad imaginaria. Tales números a menudo se llaman números imaginarios.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Reescribir en términos de la unidad imaginaria i.

1. $$\sqrt{-4}$$
2. $$\sqrt{-5}$$
3. $$\sqrt{-8}$$

Solución:

a.$$\sqrt{-4}=\sqrt{-1\cdot 4} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}=i\cdot 2 = 2i$$

b.$$\sqrt{-5}=\sqrt{-1\cdot 5} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{5}=i\cdot\sqrt{5} = i\sqrt{5}$$

c.$$\sqrt{-8}=\sqrt{-1\cdot 4\cdot 2} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}\sqrt{2} = i\cdot 2\cdot \sqrt{2} = 2i\sqrt{2}$$

Nota

Cuando un número imaginario involucra a un radical, coloca i frente al radical. Considera lo siguiente:

$$2i\sqrt{2} = 2\sqrt{2}i$$

Dado que la multiplicación es conmutativa, estos números son equivalentes. Sin embargo, en la forma$$2\sqrt{2}i$$, la unidad imaginaria i a menudo se malinterpreta como parte del radicando. Para evitar esta confusión, es una buena práctica colocar el i frente al radical y usar$$2i\sqrt{2}$$.

Un número complejo es cualquier número del formulario

$a+bi$

donde a y b son números reales. Aquí a se llama la parte real y b se llama la parte imaginaria. Por ejemplo,$$3−4i$$ es un número complejo con una parte real, 3, y una parte imaginaria, −4. Es importante señalar que cualquier número real también es un número complejo. Por ejemplo, el número real 5 también es un número complejo porque se puede escribir como$$5+0i$$ con una parte real de 5 y una parte imaginaria de 0. De ahí que el conjunto de números reales, denotado R, es un subconjunto del conjunto de números complejos, denotado C.

Sumar y restar números complejos es similar a sumar y restar términos similares. Sumar o restar las partes reales y luego las partes imaginarias.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Agregar:

$$(3−4i)+(2+5i)$$

Solución:

Agrega las partes reales y luego agrega las partes imaginarias.

Respuesta:

$$5+i$$

Para restar números complejos, restar las partes reales y restar las partes imaginarias. Esto es consistente con el uso de la propiedad distributiva.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Restar:

$$(3−4i)−(2+5i)$$

Solución:

Distribuye el negativo y luego combina términos similares

Respuesta:

$$1-9i$$

La propiedad distributiva también se aplica al multiplicar números complejos. Hacer uso del hecho de que$$i^{2}=−1$$ para resolver el resultado en forma estándar:$$a+bi$$.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Multiplicar:

$$5i(3−4i)$$

Solución:

Comience por aplicar la propiedad distributiva.

Respuesta:

$$20+15i$$

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Multiplicar:

$$(3−4i)(4+5i)$$

Solución

Respuesta:

$$32-i$$

Dado un número complejo$$a+bi$$, su conjugado complejo es$$a−bi$$. A continuación exploramos el producto de conjugados complejos.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Multiplicar:

$$(3−4i)(3+4i)$$

Solución:

Respuesta:

$$25$$

En general, el producto de conjugados complejos sigue:

\begin{aligned}(a+b i)(a-b i) &=a^{2}-a \cdot b i+b i \cdot a-b^{2} i^{2} \\ &=a^{2}-a b i+a b i-b^{2}(-1) \\ &=a^{2}+b^{2} \end{aligned}

Obsérvese que el resultado no involucra a la unidad imaginaria; de ahí que el resultado sea real. Esto nos lleva a la propiedad muy útil:

$(a+b i)(a-b i)=a^{2}+b^{2}$

Para dividir números complejos, aplicamos la técnica utilizada para racionalizar el denominador. Multiplique el numerador y denominador (dividendo y divisor) por el conjugado del denominador. El resultado puede entonces resolverse en forma estándar,$$a+bi$$.

Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Dividir:

$$\frac{1}{1-2i}$$

Solución:

En este ejemplo, el conjugado del denominador es$$1+2i$$. Multiplicar por 1 en la forma$$\frac{(1+2i)}{(1+2i)}$$.

Para expresar este número complejo en forma estándar, escriba cada término sobre el denominador común 5.

\begin{aligned} \frac{1+2 i}{5} &=\frac{1}{5}+\frac{2 i}{5} \\ &=\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i \end{aligned}

Respuesta:

$$\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i$$

Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Dividir:

$$\frac{3−4i}{3+2i}$$.

Solución:

Respuesta:

$$\frac{1}{13}-\frac{18}{13} i$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Dividir:

$$\frac{5+5i}{1-3i}$$

Contestar

$$-1+2i$$

## Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas

Ahora que se definen números complejos, podemos completar nuestro estudio de soluciones a ecuaciones cuadráticas. Muchas veces las soluciones a las ecuaciones cuadráticas no son reales.

Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

$$x^{2}−2x+5=0$$

Solución:

Comience por identificar a, b y c. Aquí

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

Compruebe estas soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

$$\begin{array}{r|r}{Check \:x=1-2i}&{Check\:x=1+2i}\\ {x^{2}-2x+5=0}&{x^{2}-2x+5=0}\\{(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}+5=0}&{(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}+5=0}\\{1-4i+4i^{2}-2+4i+5=0}&{1+4i+4i^{2}-2-4i+5=0}\\{4i^{2}+4=0}&{4i^{2}+4=0} \\{4-1+4=0}&{4-1+4=0}\\{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}$$

Respuesta:

Las soluciones son$$1−2i$$ y$$1+2i$$.

La ecuación no se puede dar en forma estándar. Los pasos generales para resolver usando la fórmula cuadrática se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

Resolver:

$$(2x+1)(x−3)=x−8$$

Solución:

Paso 1: Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

Paso 2: Identificar a, b y c para su uso en la fórmula cuadrática. Aquí

Paso 3: Sustituir los valores apropiados en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

Respuesta:

La solución es$$\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} i$$. El cheque es opcional.

Ejemplo$$\PageIndex{11}$$

Resolver:

$$x(x+2)=−19$$

Solución:

Comience por reescribir la ecuación en forma estándar.

Aquí a=1, b=2 y c=19. Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática.

Respuesta:

Las soluciones son$$-1 - 3 i \sqrt{2}$$ y$$-1 + 3 i \sqrt{2}$$.

Nota

Considera lo siguiente:

Ambos números son equivalentes y$$-1+ 3\sqrt{2}i$$ están en forma estándar, donde la parte real es −1 y la parte imaginaria es$$3\sqrt{2}$$. Sin embargo, este número a menudo se expresa como$$-1 + 3 i \sqrt{2}$$, aunque esta expresión no esté en forma estándar. Nuevamente, esto se hace para evitar la posibilidad de malinterpretar la unidad imaginaria como parte del radicando.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Resolver:

$$(2x+3)(x+5)=5x+4$$

Contestar

$$-4\pm6i\sqrt{2} = -2\pmi \sqrt{\frac{3}{2}}$$

## Claves para llevar

• El resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos es un número complejo.
• Utilizar números complejos para describir soluciones a ecuaciones cuadráticas que no son reales.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$ introduction to complex numbers

Reescribir en términos de i.

1. $$\sqrt{-64}$$
2. $$\sqrt{-81}$$
3. $$\sqrt{-20}$$
4. $$\sqrt{-18}$$
5. $$\sqrt{-50}$$
6. $$\sqrt{-48}$$
7. $$\sqrt{-45}$$
8. $$\sqrt{-8}$$
9. $$\sqrt{-14}$$
10. $$\sqrt{-29}$$
Contestar

1. $$8i$$

3. $$2i\sqrt{5}$$

5. $$5i\sqrt{2}$$

7. $$-3i\sqrt{5}$$

9. $$i\sqrt{14}$$

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$ introduction to complex numbers

Realizar las operaciones.

1. $$(3+5i)+(7−4i)$$
2. $$(6−7i)+(−5−2i)$$
3. $$(−8−3i)+(5+2i)$$
4. $$(−10+15i)+(15−20i)$$
5. $$(12+34i)+(16−18i)$$
6. $$(25 −16 i ) + (110 −32 i )$$
7. $$( 5 + 2 i)−( 8 − 3 i )$$
8. $$( 7 − i)−(− 6 − 9 i )$$
9. $$(− 9 − 5 i)−( 8 +12 i )$$
10. $$(−11 + 2 i)−(13 − 7 i )$$
11. $$(114 +32 i ) − (47 −34 i )$$
12. $$(38 −13 i ) − (12 −12 i )$$
13. $$2 i ( 7 − 4 i )$$
14. $$6 i ( 1 − 2 i )$$
15. $$− 2 i ( 3 − 4 i )$$
16. $$− 5 i ( 2 − i )$$
17. $$( 2 + i)( 2 − 3 i )$$
18. $$( 3 − 5 i)( 1 − 2 i )$$
19. $$( 1 − i)( 8 − 9 i )$$
20. $$( 1 + 5 i)( 5 + 2 i )$$
21. $$( 4 + 3 i )^{2}$$
22. $$( 2 − 5 i )^{2}$$
23. $$( 4 − 2 i)( 4 + 2 i )$$
24. $$( 6 + 5 i)( 6 − 5 i )$$
25. $$(12 +23 i)(13 −12 i )$$
26. $$(23 −13 i)(12 −32 i )$$
27. $$15 + 4 i$$
28. $$13 − 4 i$$
29. $$\frac{20 i}{ 1 − 3 i}$$
30. $$\frac{10 i}{ 1 − 2 i}$$
31. $$\frac{10 − 5 i}{ 3 − i}$$
32. $$\frac{4 − 2 i}{ 2 − 2 i}$$
33. $$\frac{5 +10 i}{ 3 + 4 i}$$
34. $$\frac{2 − 4 i}{ 5 + 3 i}$$
35. $$\frac{1+2i}{2−3i}$$
36. $$\frac{3−i}{4−5i}$$
Contestar

1. $$10+i$$

3. $$−3−i$$

5. $$28+16i$$

7. $$−3+5i$$

9. $$−17−17i$$

11. $$67+66i$$

13. $$8+14i$$

15. $$−8−6i$$

17. $$7−4i$$

19. $$−1−17i$$

21. $$7+24i$$

23. $$20$$

25. $$-140-892i$$

27. $$15+4i$$

29. $$−6+2i$$

31. $$\frac{7-i}{2}$$

33. $$\frac{11+2i}{5}$$

35. $$\frac{−4+7i}{13}$$

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$ complex roots

Resuelve extrayendo las raíces y luego resuelve usando la fórmula cuadrática. Consulta las respuestas.

1. $$x^{2}+9=0$$
2. $$x^{2}+1=0$$
3. $$4t^{2}+25=0$$
4. $$9t^{2}+4=0$$
5. $$4y^{2}+3=0$$
6. $$9y^{2}+5=0$$
7. $$3x^{2}+2=0$$
8. $$5x^{2}+3=0$$
9. $$(x+1)^{2}+4=0$$
10. $$(x+3)^{2}+9=0$$
Contestar

1. $$±3i$$

3. $$±\frac{5}{2}i$$

5. $$±i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

7. \ (±i\ sqrt {\ frac {2} {3}}

9. $$−1±2i$$

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$ complex roots

1. $$x^{2}−2x+10=0$$
2. $$x^{2}−4x+13=0$$
3. $$x^{2}+4x+6=0$$
4. $$x^{2}+2x+9=0$$
5. $$y^{2}−6y+17=0$$
6. $$y^{2}−2y+19=0$$
7. $$t^{2}−5t+10=0$$
8. $$t^{2}+3t+4=0$$
9. $$−x^{2}+10x−29=0$$
10. $$−x^{2}+6x−10=0$$
11. $$−y^{2}−y−2=0$$
12. $$−y^{2}+3y−5=0$$
13. $$−2x^{2}+10x−17=0$$
14. $$−8x^{2}+20x−13=0$$
15. $$3y^{2}−2y+4=0$$
16. $$5y^{2}−4y+3=0$$
17. $$2x^{2}+3x+2=0$$
18. $$4x^{2}+2x+1=0$$
19. $$2x^{2}−12x+14=0$$
20. $$3x^{2}−23x+13=0$$
21. $$2x(x−1)=−1$$
22. $$x(2x+5)=3x−5$$
23. $$3t(t−2)+4=0$$
24. $$5t(t−1)=t−4$$
25. $$(2x+3)^{2}=16x+4$$
26. $$(2y+5)^{2}−12(y+1)=0$$
27. $$−3(y+3)(y−5)=5y+46$$
28. $$−2(y−4)(y+1)=3y+10$$
29. $$9x(x−1)+3(x+2)=1$$
30. $$5x(x+2)−6(2x−1)=5$$
31. $$3(t−1)−2t(t−2)=6t$$
32. $$3(t−3)−t(t−5)=7t$$
33. $$(2x+3)(2x−3)−5(x^{2}+1)=−9$$
34. $$5(x+1)(x−1)−3x^{2}=−8$$
Contestar

1. $$1±3i$$

3. $$−2±i\sqrt{2}$$

5. $$3±2\sqrt{2}i$$

7. $$\frac{5}{2}±i\frac{\sqrt{15}}{2}$$

9. $$5±2i$$

11. $$\frac{−1}{2}±i\frac{\sqrt{7}}{2}$$

13. $$\frac{5}{2}±i\frac{3}{2}$$

15. $$\frac{1}{3}±i\frac{\sqrt{11}}{3}$$

17. $$\frac{−3}{4}±i\frac{\sqrt{7}}{4}$$

19. $$3\pm\sqrt{2}$$

21. $$\frac{1}{2}±i\frac{1}{2}$$

23. $$1±i\frac{\sqrt{3}}{3}$$

25. $$\frac{1}{2}±i$$

27. $$\frac{1}{6}±i\frac{\sqrt{11}}{6}$$

29. $$\frac{1}{3}±i\frac{2}{3}$$

31. $$\frac{1}{4}±i\frac{\sqrt{23}}{4}$$

33. $$±i\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$ discussion board

1. Explora los poderes de i. Comparte tus descubrimientos en el panel de discusión.
2. Investigar y discutir la rica historia de los números imaginarios.
3. Investigue y discuta aplicaciones del mundo real que involucran números complejos.
Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar

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