9.6: Introducción a números complejos y soluciones complejas

Objetivos de aprendizaje

• Realizar operaciones con números complejos.
• Resuelve ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas.

Introducción a los números complejos

Hasta este punto, la raíz cuadrada de un número negativo se ha dejado indefinida. Por ejemplo, sabemos que no\(\sqrt{−9}\) es un número real.

\(\sqrt{-9}=\color{Cerulean}{?} \quad \color{black}{\text { or} } \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{2}=-9\)

No hay un número real que cuando se cuadra resulte en un número negativo. Comenzamos la resolución de este problema definiendo la unidad imaginaria, i, como la raíz cuadrada de −1.

\[i=\sqrt{-1} \quad \text { and } \quad i^{2}=-1\]

Para expresar una raíz cuadrada de un número negativo en términos de la unidad imaginaria i, utilizamos la siguiente propiedad, donde a representa cualquier número real no negativo:

Con esto podemos escribir

Si\(\sqrt{-9}=3i\), entonces esperaríamos que 3 i al cuadrado sea igual a: -9:

Por lo tanto, la raíz cuadrada de cualquier número real negativo se puede escribir en términos de la unidad imaginaria. Tales números a menudo se llaman números imaginarios.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Reescribir en términos de la unidad imaginaria i.

1. \(\sqrt{-4}\)
2. \(\sqrt{-5}\)
3. \(\sqrt{-8}\)

Solución:

a.\(\sqrt{-4}=\sqrt{-1\cdot 4} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}=i\cdot 2 = 2i\)

b.\(\sqrt{-5}=\sqrt{-1\cdot 5} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{5}=i\cdot\sqrt{5} = i\sqrt{5}\)

c.\(\sqrt{-8}=\sqrt{-1\cdot 4\cdot 2} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}\sqrt{2} = i\cdot 2\cdot \sqrt{2} = 2i\sqrt{2}\)

Nota

Cuando un número imaginario involucra a un radical, coloca i frente al radical. Considera lo siguiente:

\(2i\sqrt{2} = 2\sqrt{2}i\)

Dado que la multiplicación es conmutativa, estos números son equivalentes. Sin embargo, en la forma\(2\sqrt{2}i\), la unidad imaginaria i a menudo se malinterpreta como parte del radicando. Para evitar esta confusión, es una buena práctica colocar el i frente al radical y usar\(2i\sqrt{2}\).

Un número complejo es cualquier número del formulario

\[a+bi\]

donde a y b son números reales. Aquí a se llama la parte real y b se llama la parte imaginaria. Por ejemplo,\(3−4i\) es un número complejo con una parte real, 3, y una parte imaginaria, −4. Es importante señalar que cualquier número real también es un número complejo. Por ejemplo, el número real 5 también es un número complejo porque se puede escribir como\(5+0i\) con una parte real de 5 y una parte imaginaria de 0. De ahí que el conjunto de números reales, denotado R, es un subconjunto del conjunto de números complejos, denotado C.

Sumar y restar números complejos es similar a sumar y restar términos similares. Sumar o restar las partes reales y luego las partes imaginarias.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Agregar:

\((3−4i)+(2+5i)\)

Solución:

Agrega las partes reales y luego agrega las partes imaginarias.

Respuesta:

\(5+i\)

Para restar números complejos, restar las partes reales y restar las partes imaginarias. Esto es consistente con el uso de la propiedad distributiva.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Restar:

\((3−4i)−(2+5i)\)

Solución:

Distribuye el negativo y luego combina términos similares

Respuesta:

\(1-9i\)

La propiedad distributiva también se aplica al multiplicar números complejos. Hacer uso del hecho de que\(i^{2}=−1\) para resolver el resultado en forma estándar:\(a+bi\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Multiplicar:

\(5i(3−4i)\)

Solución:

Comience por aplicar la propiedad distributiva.

Respuesta:

\(20+15i\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Multiplicar:

\((3−4i)(4+5i)\)

Solución

Respuesta:

\(32-i\)

Dado un número complejo\(a+bi\), su conjugado complejo es\(a−bi\). A continuación exploramos el producto de conjugados complejos.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Multiplicar:

\((3−4i)(3+4i)\)

Solución:

Respuesta:

\(25\)

En general, el producto de conjugados complejos sigue:

\(\begin{aligned}(a+b i)(a-b i) &=a^{2}-a \cdot b i+b i \cdot a-b^{2} i^{2} \\ &=a^{2}-a b i+a b i-b^{2}(-1) \\ &=a^{2}+b^{2} \end{aligned}\)

Obsérvese que el resultado no involucra a la unidad imaginaria; de ahí que el resultado sea real. Esto nos lleva a la propiedad muy útil:

\[(a+b i)(a-b i)=a^{2}+b^{2}\]

Para dividir números complejos, aplicamos la técnica utilizada para racionalizar el denominador. Multiplique el numerador y denominador (dividendo y divisor) por el conjugado del denominador. El resultado puede entonces resolverse en forma estándar,\(a+bi\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Dividir:

\(\frac{1}{1-2i}\)

Solución:

En este ejemplo, el conjugado del denominador es\(1+2i\). Multiplicar por 1 en la forma\(\frac{(1+2i)}{(1+2i)}\).

Para expresar este número complejo en forma estándar, escriba cada término sobre el denominador común 5.

\(\begin{aligned} \frac{1+2 i}{5} &=\frac{1}{5}+\frac{2 i}{5} \\ &=\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Dividir:

\(\frac{3−4i}{3+2i}\).

Solución:

Respuesta:

\(\frac{1}{13}-\frac{18}{13} i\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dividir:

\(\frac{5+5i}{1-3i}\)

Contestar

\(-1+2i\)

Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas

Ahora que se definen números complejos, podemos completar nuestro estudio de soluciones a ecuaciones cuadráticas. Muchas veces las soluciones a las ecuaciones cuadráticas no son reales.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Resuelve usando la fórmula cuadrática:

\(x^{2}−2x+5=0\)

Solución:

Comience por identificar a, b y c. Aquí

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

Compruebe estas soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

\(\begin{array}{r|r}{Check \:x=1-2i}&{Check\:x=1+2i}\\ {x^{2}-2x+5=0}&{x^{2}-2x+5=0}\\{(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}+5=0}&{(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}+5=0}\\{1-4i+4i^{2}-2+4i+5=0}&{1+4i+4i^{2}-2-4i+5=0}\\{4i^{2}+4=0}&{4i^{2}+4=0} \\{4-1+4=0}&{4-1+4=0}\\{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(1−2i\) y\(1+2i\).

La ecuación no se puede dar en forma estándar. Los pasos generales para resolver usando la fórmula cuadrática se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Resolver:

\((2x+1)(x−3)=x−8\)

Solución:

Paso 1: Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

Paso 2: Identificar a, b y c para su uso en la fórmula cuadrática. Aquí

Paso 3: Sustituir los valores apropiados en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

Respuesta:

La solución es\(\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} i\). El cheque es opcional.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Resolver:

\(x(x+2)=−19\)

Solución:

Comience por reescribir la ecuación en forma estándar.

Aquí a=1, b=2 y c=19. Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática.

Respuesta:

Las soluciones son\(-1 - 3 i \sqrt{2}\) y\(-1 + 3 i \sqrt{2}\).

Nota

Considera lo siguiente:

Ambos números son equivalentes y\(-1+ 3\sqrt{2}i\) están en forma estándar, donde la parte real es −1 y la parte imaginaria es\(3\sqrt{2}\). Sin embargo, este número a menudo se expresa como\(-1 + 3 i \sqrt{2} \), aunque esta expresión no esté en forma estándar. Nuevamente, esto se hace para evitar la posibilidad de malinterpretar la unidad imaginaria como parte del radicando.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver:

\((2x+3)(x+5)=5x+4\)

Contestar

\(-4\pm6i\sqrt{2} = -2\pmi \sqrt{\frac{3}{2}}\)

Claves para llevar

• El resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos es un número complejo.
• Utilizar números complejos para describir soluciones a ecuaciones cuadráticas que no son reales.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) introduction to complex numbers

Reescribir en términos de i.

1. \(\sqrt{-64}\)
2. \(\sqrt{-81}\)
3. \(\sqrt{-20}\)
4. \(\sqrt{-18}\)
5. \(\sqrt{-50}\)
6. \(\sqrt{-48}\)
7. \(\sqrt{-45}\)
8. \(\sqrt{-8}\)
9. \(\sqrt{-14}\)
10. \(\sqrt{-29}\)

Contestar

1. \(8i\)

3. \(2i\sqrt{5}\)

5. \(5i\sqrt{2}\)

7. \(-3i\sqrt{5}\)

9. \(i\sqrt{14}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) introduction to complex numbers

Realizar las operaciones.

1. \((3+5i)+(7−4i)\)
2. \((6−7i)+(−5−2i)\)
3. \((−8−3i)+(5+2i)\)
4. \((−10+15i)+(15−20i)\)
5. \((12+34i)+(16−18i)\)
6. \((25 −16 i ) + (110 −32 i )\)
7. \(( 5 + 2 i)−( 8 − 3 i )\)
8. \(( 7 − i)−(− 6 − 9 i )\)
9. \((− 9 − 5 i)−( 8 +12 i )\)
10. \((−11 + 2 i)−(13 − 7 i )\)
11. \((114 +32 i ) − (47 −34 i )\)
12. \((38 −13 i ) − (12 −12 i )\)
13. \(2 i ( 7 − 4 i )\)
14. \(6 i ( 1 − 2 i )\)
15. \(− 2 i ( 3 − 4 i )\)
16. \(− 5 i ( 2 − i )\)
17. \(( 2 + i)( 2 − 3 i )\)
18. \(( 3 − 5 i)( 1 − 2 i )\)
19. \(( 1 − i)( 8 − 9 i )\)
20. \(( 1 + 5 i)( 5 + 2 i )\)
21. \(( 4 + 3 i )^{2}\)
22. \(( 2 − 5 i )^{2}\)
23. \(( 4 − 2 i)( 4 + 2 i )\)
24. \(( 6 + 5 i)( 6 − 5 i )\)
25. \((12 +23 i)(13 −12 i )\)
26. \((23 −13 i)(12 −32 i )\)
27. \(15 + 4 i\)
28. \(13 − 4 i\)
29. \(\frac{20 i}{ 1 − 3 i}\)
30. \(\frac{10 i}{ 1 − 2 i}\)
31. \(\frac{10 − 5 i}{ 3 − i}\)
32. \(\frac{4 − 2 i}{ 2 − 2 i}\)
33. \(\frac{5 +10 i}{ 3 + 4 i}\)
34. \(\frac{2 − 4 i}{ 5 + 3 i}\)
35. \(\frac{1+2i}{2−3i}\)
36. \(\frac{3−i}{4−5i}\)

Contestar

1. \(10+i\)

3. \(−3−i\)

5. \(28+16i\)

7. \(−3+5i\)

9. \(−17−17i\)

11. \(67+66i\)

13. \(8+14i\)

15. \(−8−6i\)

17. \(7−4i\)

19. \(−1−17i\)

21. \(7+24i\)

23. \(20\)

25. \(-140-892i\)

27. \(15+4i\)

29. \(−6+2i\)

31. \(\frac{7-i}{2}\)

33. \(\frac{11+2i}{5}\)

35. \(\frac{−4+7i}{13}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) complex roots

Resuelve extrayendo las raíces y luego resuelve usando la fórmula cuadrática. Consulta las respuestas.

1. \(x^{2}+9=0\)
2. \(x^{2}+1=0\)
3. \(4t^{2}+25=0\)
4. \(9t^{2}+4=0\)
5. \(4y^{2}+3=0\)
6. \(9y^{2}+5=0\)
7. \(3x^{2}+2=0\)
8. \(5x^{2}+3=0\)
9. \((x+1)^{2}+4=0\)
10. \((x+3)^{2}+9=0\)

Contestar

1. \(±3i\)

3. \(±\frac{5}{2}i\)

5. \(±i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

7. \ (±i\ sqrt {\ frac {2} {3}}

9. \(−1±2i\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) complex roots

Resuelve usando la fórmula cuadrática.

1. \(x^{2}−2x+10=0\)
2. \(x^{2}−4x+13=0\)
3. \(x^{2}+4x+6=0\)
4. \(x^{2}+2x+9=0\)
5. \(y^{2}−6y+17=0\)
6. \(y^{2}−2y+19=0\)
7. \(t^{2}−5t+10=0\)
8. \(t^{2}+3t+4=0\)
9. \(−x^{2}+10x−29=0\)
10. \(−x^{2}+6x−10=0\)
11. \(−y^{2}−y−2=0\)
12. \(−y^{2}+3y−5=0\)
13. \(−2x^{2}+10x−17=0\)
14. \(−8x^{2}+20x−13=0\)
15. \(3y^{2}−2y+4=0\)
16. \(5y^{2}−4y+3=0\)
17. \(2x^{2}+3x+2=0\)
18. \(4x^{2}+2x+1=0\)
19. \(2x^{2}−12x+14=0\)
20. \(3x^{2}−23x+13=0\)
21. \(2x(x−1)=−1\)
22. \(x(2x+5)=3x−5\)
23. \(3t(t−2)+4=0\)
24. \(5t(t−1)=t−4\)
25. \((2x+3)^{2}=16x+4\)
26. \((2y+5)^{2}−12(y+1)=0\)
27. \(−3(y+3)(y−5)=5y+46\)
28. \(−2(y−4)(y+1)=3y+10\)
29. \(9x(x−1)+3(x+2)=1\)
30. \(5x(x+2)−6(2x−1)=5\)
31. \(3(t−1)−2t(t−2)=6t\)
32. \(3(t−3)−t(t−5)=7t\)
33. \((2x+3)(2x−3)−5(x^{2}+1)=−9\)
34. \(5(x+1)(x−1)−3x^{2}=−8\)

Contestar

1. \(1±3i\)

3. \(−2±i\sqrt{2}\)

5. \(3±2\sqrt{2}i\)

7. \(\frac{5}{2}±i\frac{\sqrt{15}}{2}\)

9. \(5±2i\)

11. \(\frac{−1}{2}±i\frac{\sqrt{7}}{2}\)

13. \(\frac{5}{2}±i\frac{3}{2}\)

15. \(\frac{1}{3}±i\frac{\sqrt{11}}{3}\)

17. \(\frac{−3}{4}±i\frac{\sqrt{7}}{4}\)

19. \(3\pm\sqrt{2}\)

21. \(\frac{1}{2}±i\frac{1}{2}\)

23. \(1±i\frac{\sqrt{3}}{3}\)

25. \(\frac{1}{2}±i\)

27. \(\frac{1}{6}±i\frac{\sqrt{11}}{6}\)

29. \(\frac{1}{3}±i\frac{2}{3}\)

31. \(\frac{1}{4}±i\frac{\sqrt{23}}{4}\)

33. \(±i\sqrt{\frac{3}{2}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) discussion board

1. Explora los poderes de i. Comparte tus descubrimientos en el panel de discusión.
2. Investigar y discutir la rica historia de los números imaginarios.
3. Investigue y discuta aplicaciones del mundo real que involucran números complejos.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar