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9.6: Introducción a números complejos y soluciones complejas

Última actualización

30 oct 2022
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- 9.5: Graficar Parábolas
- 9.E: Ejercicios de revisión y examen de muestra

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Objetivos de aprendizaje

Realizar operaciones con números complejos.
Resuelve ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas.

Introducción a los números complejos

Hasta este punto, la raíz cuadrada de un número negativo se ha dejado indefinida. Por ejemplo, sabemos que no $\sqrt{−9}$ es un número real.

$\sqrt{-9}=\color{Cerulean}{?} \quad \color{black}{\text { or} } \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{2}=-9$

No hay un número real que cuando se cuadra resulte en un número negativo. Comenzamos la resolución de este problema definiendo la unidad imaginaria, i, como la raíz cuadrada de −1.

$i=\sqrt{-1} \quad \text { and } \quad i^{2}=-1$

Para expresar una raíz cuadrada de un número negativo en términos de la unidad imaginaria i, utilizamos la siguiente propiedad, donde a representa cualquier número real no negativo:

Con esto podemos escribir

Si $\sqrt{-9}=3i$ , entonces esperaríamos que 3 i al cuadrado sea igual a: -9:

Por lo tanto, la raíz cuadrada de cualquier número real negativo se puede escribir en términos de la unidad imaginaria. Tales números a menudo se llaman números imaginarios.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Reescribir en términos de la unidad imaginaria i.

$\sqrt{-4}$
$\sqrt{-5}$
$\sqrt{-8}$

Solución:

a. $\sqrt{-4}=\sqrt{-1\cdot 4} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}=i\cdot 2 = 2i$

b. $\sqrt{-5}=\sqrt{-1\cdot 5} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{5}=i\cdot\sqrt{5} = i\sqrt{5}$

c. $\sqrt{-8}=\sqrt{-1\cdot 4\cdot 2} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}\sqrt{2} = i\cdot 2\cdot \sqrt{2} = 2i\sqrt{2}$

Nota

Cuando un número imaginario involucra a un radical, coloca i frente al radical. Considera lo siguiente:

$2i\sqrt{2} = 2\sqrt{2}i$

Dado que la multiplicación es conmutativa, estos números son equivalentes. Sin embargo, en la forma $2\sqrt{2}i$ , la unidad imaginaria i a menudo se malinterpreta como parte del radicando. Para evitar esta confusión, es una buena práctica colocar el i frente al radical y usar $2i\sqrt{2}$ .

Un número complejo es cualquier número del formulario

$a+bi$

donde a y b son números reales. Aquí a se llama la parte real y b se llama la parte imaginaria. Por ejemplo, $3−4i$ es un número complejo con una parte real, 3, y una parte imaginaria, −4. Es importante señalar que cualquier número real también es un número complejo. Por ejemplo, el número real 5 también es un número complejo porque se puede escribir como $5+0i$ con una parte real de 5 y una parte imaginaria de 0. De ahí que el conjunto de números reales, denotado R, es un subconjunto del conjunto de números complejos, denotado C.

Sumar y restar números complejos es similar a sumar y restar términos similares. Sumar o restar las partes reales y luego las partes imaginarias.

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Agregar:

$(3−4i)+(2+5i)$

Solución:

Agrega las partes reales y luego agrega las partes imaginarias.

Respuesta:

$5+i$

Para restar números complejos, restar las partes reales y restar las partes imaginarias. Esto es consistente con el uso de la propiedad distributiva.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Restar:

$(3−4i)−(2+5i)$

Solución:

Distribuye el negativo y luego combina términos similares

Respuesta:

$1-9i$

La propiedad distributiva también se aplica al multiplicar números complejos. Hacer uso del hecho de que $i^{2}=−1$ para resolver el resultado en forma estándar: $a+bi$ .

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Multiplicar:

$5i(3−4i)$

Solución:

Comience por aplicar la propiedad distributiva.

Respuesta:

$20+15i$

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Multiplicar:

$(3−4i)(4+5i)$

Solución

Respuesta:

$32-i$

Dado un número complejo $a+bi$ , su conjugado complejo es $a−bi$ . A continuación exploramos el producto de conjugados complejos.

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Multiplicar:

$(3−4i)(3+4i)$

Solución:

Respuesta:

$25$

En general, el producto de conjugados complejos sigue:

$\begin{aligned}(a+b i)(a-b i) &=a^{2}-a \cdot b i+b i \cdot a-b^{2} i^{2} \\ &=a^{2}-a b i+a b i-b^{2}(-1) \\ &=a^{2}+b^{2} \end{aligned}$

Obsérvese que el resultado no involucra a la unidad imaginaria; de ahí que el resultado sea real. Esto nos lleva a la propiedad muy útil:

$(a+b i)(a-b i)=a^{2}+b^{2}$

Para dividir números complejos, aplicamos la técnica utilizada para racionalizar el denominador. Multiplique el numerador y denominador (dividendo y divisor) por el conjugado del denominador. El resultado puede entonces resolverse en forma estándar, $a+bi$ .

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Dividir:

$\frac{1}{1-2i}$

Solución:

En este ejemplo, el conjugado del denominador es $1+2i$ . Multiplicar por 1 en la forma $\frac{(1+2i)}{(1+2i)}$ .

Para expresar este número complejo en forma estándar, escriba cada término sobre el denominador común 5.

$\begin{aligned} \frac{1+2 i}{5} &=\frac{1}{5}+\frac{2 i}{5} \\ &=\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac{1}{5}+\frac{2}{5} i$

Ejemplo $\PageIndex{8}$

Dividir:

$\frac{3−4i}{3+2i}$ .

Solución:

Respuesta:

$\frac{1}{13}-\frac{18}{13} i$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Dividir:

$\frac{5+5i}{1-3i}$

Contestar: $-1+2i$

Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas

Ahora que se definen números complejos, podemos completar nuestro estudio de soluciones a ecuaciones cuadráticas. Muchas veces las soluciones a las ecuaciones cuadráticas no son reales.

Ejemplo $\PageIndex{9}$

Resuelve usando la fórmula cuadrática:

$x^{2}−2x+5=0$

Solución:

Comience por identificar a, b y c. Aquí

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

Compruebe estas soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

$\begin{array}{r|r}{Check \:x=1-2i}&{Check\:x=1+2i}\\ {x^{2}-2x+5=0}&{x^{2}-2x+5=0}\\{(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1-2i}\color{black}{)}+5=0}&{(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1+2i}\color{black}{)}+5=0}\\{1-4i+4i^{2}-2+4i+5=0}&{1+4i+4i^{2}-2-4i+5=0}\\{4i^{2}+4=0}&{4i^{2}+4=0} \\{4-1+4=0}&{4-1+4=0}\\{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-4+4=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}$

Respuesta:

Las soluciones son $1−2i$ y $1+2i$ .

La ecuación no se puede dar en forma estándar. Los pasos generales para resolver usando la fórmula cuadrática se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo $\PageIndex{10}$

Resolver:

$(2x+1)(x−3)=x−8$

Solución:

Paso 1: Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

Paso 2: Identificar a, b y c para su uso en la fórmula cuadrática. Aquí

Paso 3: Sustituir los valores apropiados en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

Respuesta:

La solución es $\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} i$ . El cheque es opcional.

Ejemplo $\PageIndex{11}$

Resolver:

$x(x+2)=−19$

Solución:

Comience por reescribir la ecuación en forma estándar.

Aquí a=1, b=2 y c=19. Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática.

Respuesta:

Las soluciones son $-1 - 3 i \sqrt{2}$ y $-1 + 3 i \sqrt{2}$ .

Nota

Considera lo siguiente:

Ambos números son equivalentes y $-1+ 3\sqrt{2}i$ están en forma estándar, donde la parte real es −1 y la parte imaginaria es $3\sqrt{2}$ . Sin embargo, este número a menudo se expresa como $-1 + 3 i \sqrt{2}$ , aunque esta expresión no esté en forma estándar. Nuevamente, esto se hace para evitar la posibilidad de malinterpretar la unidad imaginaria como parte del radicando.

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Resolver:

$(2x+3)(x+5)=5x+4$

Contestar: $-4\pm6i\sqrt{2} = -2\pmi \sqrt{\frac{3}{2}}$

Claves para llevar

El resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos es un número complejo.
Utilizar números complejos para describir soluciones a ecuaciones cuadráticas que no son reales.

Ejercicio $\PageIndex{3}$ introduction to complex numbers

Reescribir en términos de i.

$\sqrt{-64}$
$\sqrt{-81}$
$\sqrt{-20}$
$\sqrt{-18}$
$\sqrt{-50}$
$\sqrt{-48}$
$\sqrt{-45}$
$\sqrt{-8}$
$\sqrt{-14}$
$\sqrt{-29}$

Contestar

1. $8i$

3. $2i\sqrt{5}$

5. $5i\sqrt{2}$

7. $-3i\sqrt{5}$

9. $i\sqrt{14}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$ introduction to complex numbers

Realizar las operaciones.

$(3+5i)+(7−4i)$
$(6−7i)+(−5−2i)$
$(−8−3i)+(5+2i)$
$(−10+15i)+(15−20i)$
$(12+34i)+(16−18i)$
$(25 −16 i ) + (110 −32 i )$
$( 5 + 2 i)−( 8 − 3 i )$
$( 7 − i)−(− 6 − 9 i )$
$(− 9 − 5 i)−( 8 +12 i )$
$(−11 + 2 i)−(13 − 7 i )$
$(114 +32 i ) − (47 −34 i )$
$(38 −13 i ) − (12 −12 i )$
$2 i ( 7 − 4 i )$
$6 i ( 1 − 2 i )$
$− 2 i ( 3 − 4 i )$
$− 5 i ( 2 − i )$
$( 2 + i)( 2 − 3 i )$
$( 3 − 5 i)( 1 − 2 i )$
$( 1 − i)( 8 − 9 i )$
$( 1 + 5 i)( 5 + 2 i )$
$( 4 + 3 i )^{2}$
$( 2 − 5 i )^{2}$
$( 4 − 2 i)( 4 + 2 i )$
$( 6 + 5 i)( 6 − 5 i )$
$(12 +23 i)(13 −12 i )$
$(23 −13 i)(12 −32 i )$
$15 + 4 i$
$13 − 4 i$
$\frac{20 i}{ 1 − 3 i}$
$\frac{10 i}{ 1 − 2 i}$
$\frac{10 − 5 i}{ 3 − i}$
$\frac{4 − 2 i}{ 2 − 2 i}$
$\frac{5 +10 i}{ 3 + 4 i}$
$\frac{2 − 4 i}{ 5 + 3 i}$
$\frac{1+2i}{2−3i}$
$\frac{3−i}{4−5i}$

Contestar

1. $10+i$

3. $−3−i$

5. $28+16i$

7. $−3+5i$

9. $−17−17i$

11. $67+66i$

13. $8+14i$

15. $−8−6i$

17. $7−4i$

19. $−1−17i$

21. $7+24i$

23. $20$

25. $-140-892i$

27. $15+4i$

29. $−6+2i$

31. $\frac{7-i}{2}$

33. $\frac{11+2i}{5}$

35. $\frac{−4+7i}{13}$

Ejercicio $\PageIndex{5}$ complex roots

Resuelve extrayendo las raíces y luego resuelve usando la fórmula cuadrática. Consulta las respuestas.

$x^{2}+9=0$
$x^{2}+1=0$
$4t^{2}+25=0$
$9t^{2}+4=0$
$4y^{2}+3=0$
$9y^{2}+5=0$
$3x^{2}+2=0$
$5x^{2}+3=0$
$(x+1)^{2}+4=0$
$(x+3)^{2}+9=0$

Contestar

1. $±3i$

3. $±\frac{5}{2}i$

5. $±i\frac{\sqrt{3}}{2}$

7. \ (±i\ sqrt {\ frac {2} {3}}

9. $−1±2i$

Ejercicio $\PageIndex{6}$ complex roots

Resuelve usando la fórmula cuadrática.

$x^{2}−2x+10=0$
$x^{2}−4x+13=0$
$x^{2}+4x+6=0$
$x^{2}+2x+9=0$
$y^{2}−6y+17=0$
$y^{2}−2y+19=0$
$t^{2}−5t+10=0$
$t^{2}+3t+4=0$
$−x^{2}+10x−29=0$
$−x^{2}+6x−10=0$
$−y^{2}−y−2=0$
$−y^{2}+3y−5=0$
$−2x^{2}+10x−17=0$
$−8x^{2}+20x−13=0$
$3y^{2}−2y+4=0$
$5y^{2}−4y+3=0$
$2x^{2}+3x+2=0$
$4x^{2}+2x+1=0$
$2x^{2}−12x+14=0$
$3x^{2}−23x+13=0$
$2x(x−1)=−1$
$x(2x+5)=3x−5$
$3t(t−2)+4=0$
$5t(t−1)=t−4$
$(2x+3)^{2}=16x+4$
$(2y+5)^{2}−12(y+1)=0$
$−3(y+3)(y−5)=5y+46$
$−2(y−4)(y+1)=3y+10$
$9x(x−1)+3(x+2)=1$
$5x(x+2)−6(2x−1)=5$
$3(t−1)−2t(t−2)=6t$
$3(t−3)−t(t−5)=7t$
$(2x+3)(2x−3)−5(x^{2}+1)=−9$
$5(x+1)(x−1)−3x^{2}=−8$

Contestar

1. $1±3i$

3. $−2±i\sqrt{2}$

5. $3±2\sqrt{2}i$

7. $\frac{5}{2}±i\frac{\sqrt{15}}{2}$

9. $5±2i$

11. $\frac{−1}{2}±i\frac{\sqrt{7}}{2}$

13. $\frac{5}{2}±i\frac{3}{2}$

15. $\frac{1}{3}±i\frac{\sqrt{11}}{3}$

17. $\frac{−3}{4}±i\frac{\sqrt{7}}{4}$

19. $3\pm\sqrt{2}$

21. $\frac{1}{2}±i\frac{1}{2}$

23. $1±i\frac{\sqrt{3}}{3}$

25. $\frac{1}{2}±i$

27. $\frac{1}{6}±i\frac{\sqrt{11}}{6}$

29. $\frac{1}{3}±i\frac{2}{3}$

31. $\frac{1}{4}±i\frac{\sqrt{23}}{4}$

33. $±i\sqrt{\frac{3}{2}}$

Ejercicio $\PageIndex{7}$ discussion board

Explora los poderes de i. Comparte tus descubrimientos en el panel de discusión.
Investigar y discutir la rica historia de los números imaginarios.
Investigue y discuta aplicaciones del mundo real que involucran números complejos.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar

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