2.5: Uso de transformaciones para graficar funciones

Objetivos de aprendizaje

• Definir las transformaciones rígidas y utilizarlas para bosquejar gráficas.
• Defina las transformaciones no rígidas y utilícelas para bosquejar gráficas.

Traducciones Verticales y Horizontales

Cuando la gráfica de una función se cambia en apariencia y/o ubicación la llamamos transformación. Hay dos tipos de transformaciones. Una transformación rígida ⁵⁷ cambia la ubicación de la función en un plano de coordenadas, pero deja sin cambios el tamaño y la forma de la gráfica. Una transformación no rígida ⁵⁸ cambia el tamaño y/o la forma de la gráfica.

Una traslación vertical ⁵⁹ es una transformación rígida que desplaza una gráfica hacia arriba o hacia abajo en relación con la gráfica original. Esto ocurre cuando se agrega una constante a cualquier función. Si agregamos una constante positiva a cada\(y\) coordenada, la gráfica se desplazará hacia arriba. Si agregamos una constante negativa, la gráfica se desplazará hacia abajo. Por ejemplo, considere las funciones\(g(x) = x^{2} − 3\) y\(h(x) = x^{2} + 3\). Comience evaluando para algunos valores de la variable independiente\(x\).

Figura\(\PageIndex{1}\)

Ahora grafica los puntos y compara las gráficas de las funciones\(g\) y\(h\) con la gráfica básica de\(f(x) = x^{2}\), que se muestra usando una curva gris discontinua a continuación.

Figura\(\PageIndex{2}\)

La función\(g\) desplaza la gráfica básica hacia abajo\(3\) unidades y la función\(h\) desplaza la gráfica básica hacia arriba\(3\) unidades. En general, esto describe las traducciones verticales; si\(k\) hay algún número real positivo:

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(k\)Unidades de cambio vertical hacia arriba:	\(F(x)=f(x)+k\)
\(k\)Unidades de cambio vertical hacia abajo:	\(F(x)=f(x)-k\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Esbozar la gráfica de\(g(x)=\sqrt{x}+4\).

Solución

Comience con la función básica definida por\(f(x)=\sqrt{x}\) y desplace la gráfica hacia arriba\(4\) unidades.

Respuesta:

Figura\(\PageIndex{3}\)

Una traslación horizontal ⁶⁰ es una transformación rígida que desplaza una gráfica a la izquierda o a la derecha en relación con la gráfica original. Esto ocurre cuando sumamos o restamos constantes de la\(x\) coordenada -antes de aplicar la función. Por ejemplo, considere las funciones definidas por\(g(x)=(x+3)^{2}\) y\(h(x)=(x−3)^{2}\) y cree las siguientes tablas:

Figura\(\PageIndex{4}\)

Aquí sumamos y restamos de las coordenadas x y luego cuadramos el resultado. Esto produce una traslación horizontal.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Tenga en cuenta que esto es lo contrario de lo que podría esperar. En general, esto describe las traducciones horizontales; si\(h\) hay algún número real positivo:

Mesa\(\PageIndex{2}\)

\(h\)Unidades de desplazamiento horizontal a la izquierda:	\(F(x)=f(x+h)\)
\(h\)Unidades de desplazamiento horizontal a la derecha:	\(F(x)=f(x-h)\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Esbozar la gráfica de\(g(x)=(x−4)^{3}\).

Solución

Comience con una función básica de cubo definida por\(f(x)=x^{3}\) y desplace las\(4\) unidades gráficas hacia la derecha.

Respuesta:

Figura\(\PageIndex{6}\)

A menudo ocurre que se producen combinaciones de traducciones.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Esbozar la gráfica de\(g(x)=|x+3|−5\).

Solución

Comience con la función de valor absoluto y aplique las siguientes transformaciones.

\(\begin{array} { l } { y = | x | } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Basic \:function} \\ { y = | x + 3 | } \quad\: \quad\color{Cerulean}{Horizontal \:shift \: left \:3 \:units} \\ { y = | x + 3 | - 5 } \:\:\:\color{Cerulean}{Vertical \:shift \:down \:5 \:units} \end{array}\)

Respuesta:

Figura\(\PageIndex{7}\)

El orden en el que aplicamos las traducciones horizontales y verticales no afecta a la gráfica final.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Esbozar la gráfica de\(g ( x ) = \frac { 1 } { x - 5 } + 3\).

Solución

Empezar con la función recíproca e identificar las traducciones.

\(\begin{array} { l } { y = \frac{1}{x} } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Basic \:function} \\ { y = \frac{1}{x-5} } \quad\: \quad\:\:\:\color{Cerulean}{Horizontal \:shift \: left \:3 \:units} \\ { y = \frac{1}{x-5} +3 } \:\:\:\:\:\:\:\color{Cerulean}{Vertical \:shift \:down \:5 \:units} \end{array}\)

Tenga cuidado de desplazar la asíntota vertical del eje y 5 unidades a la derecha y desplazar la asíntota horizontal del eje x hacia arriba 3 unidades.

Respuesta:

Figura\(\PageIndex{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Esbozar la gráfica de\(g ( x ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } + 1\).

Responder

Figura\(\PageIndex{9}\)

www.youtube.com/v/6f6zkaogxte

Reflexiones

Una reflexión ⁶¹ es una transformación en la que se produce una imagen especular de la gráfica alrededor de un eje. En esta sección, consideraremos reflexiones sobre el eje\(x\) - y\(y\) -eje. La gráfica de una función se refleja alrededor del eje\(x\) - si cada\(y\) coordenada se multiplica por\(−1\). La gráfica de una función se refleja alrededor del\(y\) eje -si cada\(x\) coordenada se multiplica por\(−1\) antes de aplicar la función. Por ejemplo, considere\(g(x)=\sqrt{−x}\) y\(h(x)=−\sqrt{x}\).

Figura\(\PageIndex{10}\)

Compare la gráfica de\(g\) y\(h\) con la función básica de raíz cuadrada definida por\(f(x)=\sqrt{x}\), que se muestra discontinua en gris a continuación:

Figura\(\PageIndex{11}\)

La primera función\(g\) tiene un factor negativo que aparece “dentro” de la función; esto produce una reflexión sobre el\(y\) eje -eje. La segunda función\(h\) tiene un factor negativo que aparece “fuera” de la función; esto produce una reflexión sobre el\(x\) eje -eje. En general, es cierto que:

Mesa\(\PageIndex{3}\)

Reflexión sobre el\(y\) eje:	\(F ( x ) = f ( - x )\)
Reflexión sobre el\(x\) eje:	\(F ( x ) = - f ( x )\)

Al bosquejar gráficas que involucren una reflexión, considere primero la reflexión y luego aplique las traducciones verticales y/u horizontales.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Esbozar la gráfica de\(g ( x ) = - ( x + 5 ) ^ { 2 } + 3\).

Solución

Comience con la función de cuadratura y luego identifique las transformaciones comenzando con cualquier reflexión.

\(\begin{array} { l } { y = x ^ { 2 } } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Basic\: function.} \\ { y = - x ^ { 2 } } \quad\quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Relfection\: about\: the\: x-axis.} \\ { y = - ( x + 5 ) ^ { 2 } } \quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Horizontal\: shift\: left\: 5\: units.} \\ { y = - ( x + 5 ) ^ { 2 } + 3 } \quad\color{Cerulean}{Vertical\: shift\: up\: 3\: units.} \end{array}\)

Usa estas traducciones para bosquejar la gráfica.

Respuesta:

Figura\(\PageIndex{12}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Esbozar la gráfica de\(g ( x ) = - | x | + 3\).

Responder

Figura\(\PageIndex{13}\)

www.youtube.com/v/xsblkfwwzbc

Dilataciones

Las traducciones horizontales y verticales, así como las reflexiones, se denominan transformaciones rígidas porque la forma de la gráfica básica se deja sin cambios, o rígida. Las funciones que se multiplican por un número real distinto de\(1\), dependiendo del número real, parecen estar estiradas verticalmente u horizontalmente. Este tipo de transformación no rígida se denomina dilatación ⁶². Por ejemplo, podemos multiplicar la función de cuadratura\(f(x) = x^{2}\) por\(4\) y\(\frac{1}{4}\) ver qué pasa con la gráfica.

Figura\(\PageIndex{14}\)

Compare la gráfica de\(g\) y\(h\) con la función de cuadratura básica definida por\(f(x)=x^{2}\), que se muestra discontinua en gris a continuación:

Figura\(\PageIndex{15}\)

La función\(g\) es más pronunciada que la función básica de cuadratura y su gráfica parece haberse estirado verticalmente. La función no\(h\) es tan empinada como la función básica de cuadratura y parece haberse estirado horizontalmente.

En general, tenemos:

Mesa\(\PageIndex{4}\)

Dilatación:	\(F ( x ) = a \cdot f ( x )\)

Si el factor\(a\) es una fracción distinta de cero entre\(−1\) y\(1\), estirará la gráfica horizontalmente. De lo contrario, la gráfica se estirará verticalmente. Si el factor\(a\) es negativo, entonces también producirá una reflexión.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Esbozar la gráfica de\(g ( x ) = - 2 | x - 5 | - 3\).

Solución

Aquí comenzamos con el producto de\(−2\) y la función de valor absoluto básico:\(y=−2|x|\) Esto da como resultado una reflexión y una dilatación.

Figura\(\PageIndex{16}\)

Usa los puntos\(\{(−1, −2), (0, 0), (1, −2)\}\) para graficar la función reflejada y dilatada\(y=−2|x|\). Después traduzca esta gráfica\(5\) unidades a la derecha y\(3\) unidades hacia abajo.

\(\begin{array} { l } { y = - 2 | x | } \quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Basic\: graph\: with\: dilation\: and\: reflection\: about\: the\: x-axis.}\\ { y = - 2 | x - 5 | } \quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Shift\: right\: 5\: units.} \\ { y = - 2 | x - 5 | - 3 } \:\:\:\:\color{Cerulean}{Shift\: down\: 3\: units.} \end{array}\)

Respuesta:

Figura\(\PageIndex{17}\)

En resumen, dados los números reales positivos\(h\) y\(k\):

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(k\)Unidades de cambio vertical hacia arriba:	\(F(x)=f(x)+k\)
\(k\)Unidades de cambio vertical hacia abajo:	\(F(x)=f(x)-k\)

Mesa\(\PageIndex{2}\)

\(h\)Unidades de desplazamiento horizontal a la izquierda:	\(F(x)=f(x+h)\)
\(h\)Unidades de desplazamiento horizontal a la derecha:	\(F(x)=f(x-h)\)

Mesa\(\PageIndex{3}\)

Reflexión sobre el\(y\) eje:	\(F ( x ) = f ( - x )\)
Reflexión sobre el\(x\) eje:	\(F ( x ) = - f ( x )\)

Mesa\(\PageIndex{4}\)

Dilatación:	\(F ( x ) = a \cdot f ( x )\)

Claves para llevar

• Identificar transformaciones nos permite esbozar rápidamente la gráfica de funciones. Esta habilidad será útil a medida que avancemos en nuestro estudio de las matemáticas. A menudo, una comprensión geométrica de un problema conducirá a una solución más elegante.
• Si se agrega una constante positiva a una función,\(f(x) + k\), la gráfica se desplazará hacia arriba. Si se resta una constante positiva de una función,\(f(x) − k\), la gráfica se desplazará hacia abajo. La forma básica de la gráfica seguirá siendo la misma.
• Si se agrega una constante positiva al valor en el dominio antes de aplicar la función,\(f(x + h)\), la gráfica se desplazará hacia la izquierda. Si se resta una constante positiva del valor en el dominio antes de aplicar la función\(f(x − h)\), la gráfica se desplazará a la derecha. La forma básica seguirá siendo la misma.
• Multiplicando una función por una constante negativa,\(−f(x)\), refleja su gráfica en el\(x\) eje -eje. Multiplicando los valores en el dominio por\(−1\) antes de aplicar la función,\(f(−x)\), refleja la gráfica sobre el\(y\) eje -eje.
• Al aplicar múltiples transformaciones, primero aplique reflexiones.
• Multiplicar una función por una constante distinta de\(1\),\(a ⋅ f(x)\), produce una dilatación. Si la constante es un número positivo mayor que\(1\), la gráfica aparecerá estirarse verticalmente. Si la constante positiva es una fracción menor que\(1\), la gráfica aparecerá estirarse horizontalmente.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Haga coincidir la gráfica con la definición de la función.

Figura\(\PageIndex{18}\)

Figura\(\PageIndex{19}\)

Figura\(\PageIndex{20}\)

Figura\(\PageIndex{21}\)

Figura\(\PageIndex{22}\)

Figura\(\PageIndex{23}\)

1. \(f(x) = \sqrt{x + 4}\)
2. \(f(x) = |x − 2| − 2\)
3. \(f(x) = \sqrt{x + 1} -1\)
4. \(f(x) = |x − 2| + 1\)
5. \(f(x) = \sqrt{x + 4} + 1\)
6. \(f(x) = |x + 2| − 2\)

Responder

1. e

3. d

5. f

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Grafica la función dada. Identificar la función básica y las traducciones utilizadas para bosquejar la gráfica. Después, indique el dominio y el rango.

1. \(f(x) = x + 3\)
2. \(f(x) = x − 2\)
3. \(g(x) = x^{2} + 1\)
4. \(g(x) = x^{2} − 4\)
5. \(g(x) = (x − 5)^{2}\)
6. \(g(x) = (x + 1)^{2}\)
7. \(g(x) = (x − 5)^{2} + 2\)
8. \(g(x) = (x + 2)^{2} − 5\)
9. \(h(x) = |x + 4|\)
10. \(h(x) = |x − 4|\)
11. \(h(x) = |x − 1| − 3\)
12. \(h(x) = |x + 2| − 5\)
13. \(g(x) = \sqrt{x} − 5\)
14. \(g(x) = \sqrt{x − 5}\)
15. \(g(x) = \sqrt{x − 2} + 1\)
16. \(g(x) = \sqrt{x + 2} + 3\)
17. \(h(x) = (x − 2)^{3}\)
18. \(h(x) = x^{3} + 4\)
19. \(h(x) = (x − 1)^{3} − 4\)
20. \(h(x) = (x + 1)^{3} + 3\)
21. \(f(x) = \frac{1}{x−2}\)
22. \(f(x) = \frac{1}{x+3}\)
23. \(f(x) = \frac{1}{x} + 5\)
24. \(f(x) = \frac{1}{x} − 3\)
25. \(f(x) = \frac{1}{x+1} − 2\)
26. \(f(x) = \frac{1}{x−3} + 3\)
27. \(g(x) = −4\)
28. \(g(x) = 2\)
29. \(f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 2 } + 6\)
30. \(f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 8 } - 4\)

Responder

1. \(y = x\);\(3\) Unidades de cambio hacia arriba; dominio:\(\mathbb{R}\); rango:\(\mathbb{R}\)

Figura\(\PageIndex{24}\)

3. \(y = x^{2}\);\(1\) Unidad de cambio hacia arriba; dominio:\(ℝ\); rango:\([1, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{25}\)

5. \(y = x^{2}\);\(5\) Unidades de desplazamiento a la derecha; dominio:\(ℝ\); rango:\([0, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{26}\)

7. \(y = x^{2}\); Desplazar\(5\) unidades a la derecha y\(2\) unidades ascendentes; dominio:\(ℝ\); rango:\([2, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{27}\)

9. \(y = |x|\); Desplazar\(4\) unidades a la izquierda; dominio:\(ℝ\); rango:\([0, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{28}\)

11. \(y = |x|\);\(1\) Unidad de desplazamiento a la derecha y\(3\) unidades descendentes; dominio:\(ℝ\); rango:\([−3, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{29}\)

13. \(y = \sqrt{x}\);\(5\) Unidades de desplazamiento hacia abajo; dominio:\([0, ∞)\); rango:\([−5, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{30}\)

15. \(y = \sqrt{x}\);\(2\) Unidades de desplazamiento a la derecha y\(1\) unidad hacia arriba; dominio:\([2, ∞)\); rango:\([1, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{31}\)

17. \(y = x^{3}\);\(2\) Unidades de desplazamiento a la derecha; dominio:\(ℝ\); rango:\(ℝ\)

Figura\(\PageIndex{32}\)

19. \(y = x^{3}\);\(1\) Unidad de desplazamiento a la derecha y\(4\) unidades descendentes; dominio:\(ℝ\); rango:\(ℝ\)

Figura\(\PageIndex{33}\)

21. \(y = \frac{1}{x}\);\(2\) Unidades de desplazamiento a la derecha; dominio:\((−∞, 2) ∪ (2, ∞)\); rango:\((−∞, 0) ∪ (0, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{34}\)

23. \(y = \frac{1}{x}\);\(5\) Unidades de cambio hacia arriba; dominio:\((−∞, 0) ∪ (0, ∞)\); rango:\((−∞, 1) ∪ (1, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{35}\)

25. \(y = \frac{1}{x}\);\(1\) Unidad de desplazamiento a la izquierda y\(2\) unidades descendentes; dominio:\((−∞, −1) ∪ (−1, ∞)\); rango:\((−∞, −2) ∪ (−2, ∞)\)

Figura\(\PageIndex{36}\)

27. Gráfica básica\(y = −4\); dominio:\(ℝ\); rango:\(\{−4\}\)

Figura\(\PageIndex{37}\)

29. \(y = \sqrt [ 3 ] { x }\);\(6\) Unidades de desplazamiento hacia arriba y\(2\) unidades derechas; dominio:\(ℝ\); rango:\(ℝ\)

Figura\(\PageIndex{38}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Grafica las funciones por partes.

1. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } + 2 } & { \text { if } x < 0 } \\ { x + 2 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
2. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } - 3 \text { if } x < 0 } \\ { \sqrt { x } - 3 \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
3. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 3 } - 1 } & { \text { if } x < 0 } \\ { | x - 3 | - 4 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
4. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } { x ^ { 3 } } & { \text { if } x < 0 } \\ { ( x - 1 ) ^ { 2 } - 1 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
5. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } - 1 } & { \text { if } x < 0 } \\ { 2 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
6. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x + 2 } & { \text { if } x < 0 } \\ { ( x - 2 ) ^ { 2 } } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.\)
7. \(h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x + 10 ) ^ { 2 } - 4 } & { \text { if } x < - 8 } \\ { x + 4 } & { \text { if } - 8 \leq x < - 4 } \\ { \sqrt { x + 4 } } & { \text { if } x \geq - 4 } \end{array} \right.\)
8. \(f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x + 10 } & { \text { if } x \leq - 10 } \\ { | x - 5 | - 15 } & { \text { if } - 10 < x \leq 20 } \\ { 10 } & { \text { if } x > 20 } \end{array} \right.\)

Responder

1.

Figura\(\PageIndex{39}\)

3.

Figura\(\PageIndex{40}\)

5.

Figura\(\PageIndex{41}\)

7.

Figura\(\PageIndex{42}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Escribe una ecuación que represente la función cuya gráfica se da.

1.

Figura\(\PageIndex{43}\)

2.

Figura\(\PageIndex{44}\)

3.

Figura\(\PageIndex{45}\)

4.

Figura\(\PageIndex{46}\)

5.

Figura\(\PageIndex{47}\)

6.

Figura\(\PageIndex{48}\)

7.

Figura\(\PageIndex{49}\)

8.

Figura\(\PageIndex{50}\)

Responder

1. \(f ( x ) = \sqrt { x - 5 }\)

3. \(f ( x ) = ( x - 15 ) ^ { 2 } - 10\)

5. \(f ( x ) = \frac { 1 } { x + 8 } + 4\)

7. \(f ( x ) = \sqrt { x + 16 } - 4\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Haga coincidir la gráfica con la definición de función dada.

Figura\(\PageIndex{51}\)

Figura\(\PageIndex{52}\)

Figura\(\PageIndex{53}\)

Figura\(\PageIndex{54}\)

Figura\(\PageIndex{55}\)

Figura\(\PageIndex{56}\)

1. \(f ( x ) = - 3 | x |\)
2. \(f ( x ) = - ( x + 3 ) ^ { 2 } - 1\)
3. \(f ( x ) = - | x + 1 | + 2\)
4. \(f ( x ) = - x ^ { 2 } + 1\)
5. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { 3 } | x |\)
6. \(f ( x ) = - ( x - 2 ) ^ { 2 } + 2\)

Responder

1. b

3. d

5. f

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Utilice las transformaciones para graficar las siguientes funciones.

1. \(f ( x ) = - x + 5\)
2. \(f ( x ) = - | x | - 3\)
3. \(g ( x ) = - | x - 1 |\)
4. \(f ( x ) = - ( x + 2 ) ^ { 2 }\)
5. \(h ( x ) = \sqrt { - x } + 2\)
6. \(g ( x ) = - \sqrt { x } + 2\)
7. \(g ( x ) = - ( x + 2 ) ^ { 3 }\)
8. \(h ( x ) = - \sqrt { x - 2 } + 1\)
9. \(g ( x ) = - x ^ { 3 } + 4\)
10. \(f ( x ) = - x ^ { 2 } + 6\)
11. \(f ( x ) = - 3 | x |\)
12. \(g ( x ) = - 2 x ^ { 2 }\)
13. \(h ( x ) = \frac { 1 } { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 }\)
14. \(h ( x ) = \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ^ { 2 }\)
15. \(g ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { x - 3 }\)
16. \(f ( x ) = - 5 \sqrt { x + 2 }\)
17. \(f ( x ) = 4 \sqrt { x - 1 } + 2\)
18. \(h ( x ) = - 2 x + 1\)
19. \(g ( x ) = - \frac { 1 } { 4 } ( x + 3 ) ^ { 3 } - 1\)
20. \(f ( x ) = - 5 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 3\)
21. \(h ( x ) = - 3 | x + 4 | - 2\)
22. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { x }\)
23. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { x + 2 }\)
24. \(f ( x ) = - \frac { 1 } { x + 1 } + 2\)

Responder

1.

Figura\(\PageIndex{57}\)

3.

Figura\(\PageIndex{58}\)

5.

Figura\(\PageIndex{59}\)

7.

Figura\(\PageIndex{60}\)

9.

Figura\(\PageIndex{61}\)

11.

Figura\(\PageIndex{62}\)

13.

Figura\(\PageIndex{63}\)

15.

Figura\(\PageIndex{64}\)

17.

Figura\(\PageIndex{65}\)

19.

Figura\(\PageIndex{66}\)

21.

Figura\(\PageIndex{67}\)

23.

Figura\(\PageIndex{68}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

1. Utilice diferentes colores para graficar la familia de gráficas definidas por\(y=kx^{2}\), donde\(k \in \left\{ 1 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } \right\}\). ¿Qué pasa con la gráfica cuando el denominador de\(k\) es muy grande? Comparta sus hallazgos en el panel de discusión.
2. Gráfica\(f ( x ) = \sqrt { x }\) y\(g ( x ) = - \sqrt { x }\) en el mismo conjunto de ejes de coordenadas. ¿Qué aspecto tiene la forma general? Intenta encontrar una sola ecuación que describa la forma. Comparte tus hallazgos.
3. Explora lo que sucede con la gráfica de una función cuando los valores de dominio se multiplican por un factor\(a\) antes de que se aplique la función,\(f(ax)\). Elaborar algunas reglas para esta situación y compartirlas en el panel de discusión.

Responder

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

⁵⁷ Un conjunto de operaciones que cambian la ubicación de una gráfica en un plano de coordenadas pero dejan el tamaño y la forma sin cambios.

⁵⁸ Un conjunto de operaciones que cambian el tamaño y/o la forma de una gráfica en un plano de coordenadas.

⁵⁹ Una transformación rígida que desplaza una gráfica hacia arriba o hacia abajo.

⁶⁰ Una transformación rígida que desplaza una gráfica hacia la izquierda o hacia la derecha.

⁶¹ Una transformación que produce una imagen especular de la gráfica alrededor de un eje.

⁶² Una transformación no rígida, producida multiplicando funciones por un número real distinto de cero, que parece estirar la gráfica vertical u horizontalmente.