2.4: Graficando las Funciones Básicas

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Objetivos de aprendizaje

Definir y graficar siete funciones básicas.
Definir y graficar funciones por tramos.
Evaluar funciones definidas por tramos.
Define la mayor función entera.

Funciones Básicas

En esta sección graficamos siete funciones básicas que serán utilizadas a lo largo de este curso. Cada función se grafica trazando puntos. Recuerda eso$f (x) = y$ y así$f (x)$ y se$y$ puede usar indistintamente.

Cualquier función de la forma$f (x) = c$, donde$c$ está cualquier número real, se llama una función constante ⁴³. Las funciones constantes son lineales y se pueden escribir$f (x) = 0x + c$. En esta forma, es claro que la pendiente es$0$ y la$y$ -intercepción es$(0, c)$. Evaluar cualquier valor para$x$, como$x = 2$, resultará en$c$.

La gráfica de una función constante es una línea horizontal. El dominio consta de todos los números reales$ℝ$ y el rango consiste en el valor único$\{c\}$.

A continuación definimos la función de identidad ⁴⁴$f (x) = x$. Evaluar cualquier valor para$x$ resultará en ese mismo valor. Por ejemplo,$f (0) = 0$ y$f (2) = 2$. La función de identidad es lineal$f (x) = 1x + 0$,, con pendiente$m = 1$ e$y$ -intercepción$(0, 0)$.

Tanto el dominio como el rango constan de todos los números reales.

La función de cuadratura ⁴⁵, definida por$f (x) = x^{2}$, es la función obtenida al cuadrar los valores en el dominio. Por ejemplo,$f (2) = (2)^{2} = 4$ y$f (−2) = (−2)^{2} = 4$ .El resultado de cuadrar valores distintos de cero en el dominio siempre será positivo.

El gráfico curvo resultante se llama parábola ⁴⁶. El dominio consta de todos los números reales$ℝ$ y el rango consiste en todos$y$ los -valores mayores o iguales a cero$[0, ∞)$.

La función de cubicación ⁴⁷, definida por$f (x) = x^{3}$, eleva todos los valores en el dominio a la tercera potencia. Los resultados pueden ser positivos, cero o negativos. Por ejemplo,$f (1) = (1)^{3} = 1, f (0) = (0)^{3} = 0$, y$f (−1) = (−1)^{3} = −1$.

Tanto el dominio como el rango constan de todos los números reales$ℝ$.

Tenga en cuenta que las funciones de constante, identidad, cuadratura y cubicación son ejemplos de funciones polinómicas básicas. Las siguientes tres funciones básicas no son polinomios.

La función de valor absoluto ⁴⁸, definida por$f (x) = |x|$, es una función donde la salida representa la distancia al origen en una recta numérica. El resultado de evaluar la función de valor absoluto para cualquier valor distinto de cero de siempre$x$ será positivo. Por ejemplo,$f (−2) = |−2| = 2$ y$f (2) = |2| = 2$.

El dominio de la función de valor absoluto consiste en todos los números reales$ℝ$ y el rango consiste en todos$y$ los -valores mayores o iguales a cero$[0, ∞)$.

La función ⁴⁹ de raíz cuadrada, definida por$f (x) = \sqrt{x}$, no se define como un número real si los$x$ valores -son negativos. Por lo tanto, el valor más pequeño en el dominio es cero. Por ejemplo,$f (0) = \sqrt{0}= 0$ y$f (4) = \sqrt{4}= 2$.

Tanto el dominio como el rango consisten en números reales mayores o iguales a cero$[0, ∞)$.

La función recíproca ⁵⁰, definida por$f (x) = \frac{1}{x}$, es una función racional con una restricción en el dominio, a saber$x ≠ 0$. El recíproco de un$x$ -valor muy cercano a cero es muy grande. Por ejemplo,

$\begin{aligned} f ( 1 / 10 ) &= \frac { 1 } { \left( \frac { 1 } { 10 } \right) } = 1 \cdot \frac { 10 } { 1 } = 10 \\ f ( 1 / 100 ) &= \frac { 1 } { \left( \frac { 1 } { 100 } \right) } = 1 \cdot \frac { 100 } { 1 } = 100 \\ f ( 1 / 1,000 )& = \frac { 1 } { \left( \frac { 1 } { 1,000 } \right) } = 1 \cdot \frac { 1,000 } { 1 } = 1,000 \end{aligned}$

En otras palabras, a medida que los$x$ -valores se acercan a cero, sus recíprocos tenderán hacia el infinito ya sea positivo o negativo. Esto describe una asíntota vertical ⁵¹ en el$y$ eje -eje. Además, donde los$x$ valores -son muy grandes el resultado de la función recíproca es muy pequeño.

$\begin{aligned} f ( 10 ) & = \frac { 1 } { 10 } = 0.1 \\ f ( 100 ) & = \frac { 1 } { 100 } = 0.01 \\ f ( 1000 ) & = \frac { 1 } { 1,000 } = 0.001 \end{aligned}$

En otras palabras, a medida que los$x$ valores -se vuelven muy grandes,$y$ los valores -resultantes tienden hacia cero. Esto describe una asíntota horizontal ⁵² en el$x$ eje -eje. Después de trazar una serie de puntos se puede determinar la forma general de la función recíproca.

Tanto el dominio como el rango de la función recíproca consisten en todos los números reales excepto$0$, los cuales se pueden expresar usando la notación de intervalo de la siguiente manera:$(−∞, 0) ∪ (0, ∞)$.

En resumen, las funciones polinómicas básicas son:

$imageedit_30_2033746533.png$

Figura$\PageIndex{8}$

Las funciones básicas no polinómicas son:

Funciones definidas por piezas

Una función ⁵³ por tramos, o función dividida ⁵⁴, es una función cuya definición cambia dependiendo del valor en el dominio. Por ejemplo, podemos escribir la función de valor absoluto$f(x) = |x|$ como una función por partes:

$f ( x ) = | x | = \left\{ \begin{array} { c l } { x } & { \text { if } x \geq 0 } \\ { - x } & { \text { if } x < 0 } \end{array} \right.$

En este caso, la definición utilizada depende del signo del$x$ -valor. Si el$x$ -valor es positivo$x ≥ 0$, entonces la función es definida por$f(x) = x$. Y si el$x$ -valor es negativo,$x < 0$, entonces la función es definida por$f(x) = −x$.

A continuación se muestra la gráfica de las dos piezas en el mismo plano de coordenadas rectangulares:

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Gráfica:$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { x ^ { 2 } } & { \text { if } } & { x < 0 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } } & { x \geq 0 } \end{array} \right.$.

Solución

En este caso, graficamos la función de cuadratura sobre$x$ valores negativos y la función raíz cuadrada sobre$x$ valores positivos.

Observe el punto abierto utilizado en el origen para la función de cuadratura y el punto cerrado utilizado para la función de raíz cuadrada. Esto estuvo determinado por la desigualdad que define el dominio de cada pieza de la función. Toda la función consiste en cada pieza graficada en el mismo plano de coordenadas.

Respuesta:

Al evaluar, el valor en el dominio determina la definición apropiada a utilizar.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Dada la función$h$, encontrar$h(−5), h(0),$ y$h(3)$.

Solución

Usar$h(t) = 7t + 3$ donde$t$ sea negativo, como lo indica$t < 0$.

$\begin{aligned} h ( t ) & = 7 t + 5 \\ h ( \color{Cerulean}{- 5}\color{Black}{ )} & = 7 ( \color{Cerulean}{- 5}\color{Black}{)} + 3 \\ & = - 35 + 3 \\ & = - 32 \end{aligned}$

Donde$t$ sea mayor o igual a cero, use$h(t) = −16t^{2} + 32t$.

$\begin{aligned} h ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} & = - 16 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} + 32 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} h ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} = 16 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} ^ { 2 } + 32 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} \\ & = 0 + 0 \quad\quad\quad\quad\quad\:\quad = -144 +96 \\ & = 0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad = - 48 \end{aligned}$

Respuesta:

$h(−5) = −32, h(0) = 0,$y$h(3) = −48$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Gráfica:$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { 3 } x + 1 } & { \text { if } x < 0 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.$.

Contestar: Figura$\PageIndex{14}$

www.youtube.com/v/0Heunsn5BLW

La definición de una función puede ser diferente a lo largo de múltiples intervalos en el dominio.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Gráfica:$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 3 } } & { \text { if } x < 0 } \\ { x } & { \text { if } 0 \leq x \leq 4 } \\ { 6 } & { \text { if } x > 4 } \end{array} \right.$.

Solución

En este caso, grafica la función de cubo a lo largo del intervalo$(−∞,0)$. Grafique la función de identidad a lo largo del intervalo$[0,4]$. Finalmente, grafica la función constante$f(x)=6$ a lo largo del intervalo$(4,∞)$. Y porque$f(x)=6$ donde$x>4$, usamos un punto abierto en el punto$(4,6)$. Donde$x=4$, usamos$f(x)=x$ y así$(4,4)$ es un punto en la gráfica como lo indica un punto cerrado.

Respuesta:

La mayor función entera ⁵⁵, denotada$f(x) = \left[\!\![x]\!\!\right]$, asigna el mayor número entero menor o igual a cualquier número real en su dominio. Por ejemplo,

$\begin{aligned} f ( 2.7 ) & = \left[\!\![2.7]\!\!\right] = 2 \\ f ( \pi ) & = \left[\!\![\pi]\!\!\right] = 3 \\ f ( 0.23 ) & = \left[\!\![0.23]\!\!\right] = 0 \\ f ( - 3.5 ) & = \left[\!\![-3.5]\!\!\right] = - 4 \end{aligned}$

Esta función asocia cualquier número real con el mayor número entero menor o igual a él y no debe confundirse con redondeo.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Gráfica:$f(x) = \left[\!\![x]\!\!\right]$.

Solución

Si$x$ es algún número real, entonces$y = \left[\!\![x]\!\!\right]$ es el mayor número entero menor o igual a$x$.

$\begin{aligned} \vdots\\- 1 \leq x < 0 & \color{Cerulean}{\Rightarrow}\color{Black}{ y} = \left[\!\![x]\!\!\right] = -1 \\ 0 \leq x < 1 & \color{Cerulean}{\Rightarrow} \color{Black}{y} = \left[\!\![x]\!\!\right] = 0 \\ 1 \leq x < 2 & \color{Cerulean}{\Rightarrow}\color{Black}{ y} = \left[\!\![x]\!\!\right] = 1 \\ & \vdots \end{aligned}$

Usando esto, obtenemos la siguiente gráfica.

Respuesta:

El dominio de la mayor función entera consiste en todos los números reales$\mathbb{R}$ y el rango consiste en el conjunto de enteros$\mathbb{Z}$. Esta función a menudo se llama la función de piso ⁵⁶ y tiene muchas aplicaciones en ciencias de la computación.

Claves para llevar

Trazar puntos para determinar la forma general de las funciones básicas. Se debe memorizar la forma, así como el dominio y el rango, de cada uno.
Las funciones polinómicas básicas son:$f(x) = c, f(x) = x , f(x) = x^{2}$, y$f(x) = x^{3}$.
Las funciones básicas no polinómicas son:$f(x) = |x|, f(x) = \sqrt{x}$, y$f(x) = \frac{1}{x}$.
Una función cuya definición cambia dependiendo del valor en el dominio se llama función por partes. El valor en el dominio determina la definición apropiada a utilizar.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Coincidir la gráfica con la definición de función.

$f(x) = x$
$f(x) = x^{2}$
$f(x) = x^{3}$
$f(x) = |x|$
$f(x) = x$
$f(x) = \frac{1}{x}$

Contestar

1. $b$

3. $c$

5. $a$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Evaluar.

$f(x) = x$; encontrar$f(−10), f(0)$, y$f(a)$.
$f(x) = x^{2}$; encontrar$f(−10), f(0)$, y$f(a)$.
$f(x) = x^{3}$; encontrar$f(−10), f(0)$, y$f(a)$.
$f(x) = |x|$; encontrar$f(−10), f(0)$, y$f(a)$.
$f(x) = \sqrt{x}$;$find f(25), f(0)$, y$f(a)$ dónde$a ≥ 0$.
$f(x) = \frac{1}{x}$; encontrar$f(−10), f (\frac{1}{5})$, y$f(a)$ donde$a ≠ 0$.
$f(x) = 5$; encontrar$f(−10), f(0)$, y$f(a)$.
$f(x) = −12$; encontrar$f(−12), f(0)$, y$f(a)$.
Graficar$f(x) = 5$ y exponer su dominio y rango.
Graficar$f(x) = −9$ y exponer su dominio y rango

Contestar

1. $f ( - 10 ) = - 10 , f ( 0 ) = 0 , f ( a ) = a$

3. $f ( - 10 ) = - 1,000 , f ( 0 ) = 0 , f ( a ) = a ^ { 3 }$

5. $f ( 25 ) = 5 , f ( 0 ) = 0 , f ( a ) = \sqrt { a }$

7. $f ( - 10 ) = 5 , f ( 0 ) = 5 , f ( a ) = 5$

9. Dominio:$\mathbb{R}$; rango$\{5\}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Función de raíz cubicada.

17. Encuentra puntos en la gráfica de la función definida por$f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x }$ con$x$ -valores en el conjunto$\{−8, −1, 0, 1, 8\}$.
Encuentra puntos en la gráfica de la función definida por$f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x }$ con$x$ -valores en el conjunto$\{−3, −2, 1, 2, 3\}$. Usa una calculadora y redondea a la décima más cercana.
Grafica la función de raíz cúbica definida$f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x }$ por trazando los puntos encontrados en los dos ejercicios anteriores.
Determinar el dominio y el rango de la función de raíz cúbica.

Contestar

1. $\{ ( - 8 , - 2 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 0,0 ) , ( 1,1 ) , ( 8,2 ) \}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra el par ordenado que especifica el punto$P$.

Contestar

1. $\left( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 27 } { 8 } \right)$

3. $\left( - \frac { 5 } { 2 } , - \frac { 5 } { 2 } \right)$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Grafica las funciones por tramos.

$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 } & { \text { if } x < 0 } \\ { x } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } } & { \text { if } x < 0 } \\ { 3 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.$
$h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x < 0 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.$
$h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { | x | \text { if } x < 0 } \\ { x ^ { 3 } \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { | x | \text { if } x < 2 } \\ { 4 \text { if } x \geq 2 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x < 1 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } x \geq 1 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } \text { if } x \leq - 1 } \\ { x \quad \text { if } x > - 1 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { - 3 \text { if } x \leq - 1 } \\ { x ^ { 3 } \text { if } x > - 1 } \end{array} \right.$
$h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { 0 \text { if } x \leq 0 } \\ { \frac { 1 } { x } \text { if } x > 0 } \end{array} \right.$
$h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } \text { if } x < 0 } \\ { x ^ { 2 } \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } } & { \text { if } x < 0 } \\ { x } & { \text { if } 0 \leq x < 2 } \\ { - 2 } & { \text { if } x \geq 2 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x < - 1 } \\ { x ^ { 3 } } & { \text { if } - 1 \leq x < 1 } \\ { 3 } & { \text { if } x \geq 1 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 5 } & { \text { if } x < - 2 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } - 2 \leq x < 2 } \\ { x } & { \text { if } x \geq 2 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x < - 3 } \\ { | x | } & { \text { if } - 3 \leq x < 1 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } x \geq 1 } \end{array} \right.$
$h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } \text { if } x < 0 } \\ { x ^ { 2 } \text { if } 0 \leq x < 2 } \\ { 4 \text { if } x \geq 2 } \end{array} \right.$
$h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { 0 \text { if } x < 0 } \\ { x ^ { 3 } \text { if } 0 < x \leq 2 } \\ { 8 \text { if } x > 2 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = [\left[\!\![x+0.5]\!\!\right]$
$f(x) = \left[\!\![x]\!\!\right] +1$
$f(x) = \left[\!\![0.5x]\!\!\right]$
$f(x) = 2\left[\!\![x]\!\!\right]$

Contestar

11.

13.

15.

17.

19.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Evaluar.

1. $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } } & { \text { if } x \leq 0 } \\ { x + 2 } & { \text { if } x > 0 } \end{array} \right.$

Encontrar$f(-5), f(0)$, y$f(3)$.

2. $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 3 } } & { \text { if } x < 0 } \\ { 2 x - 1 } & { \text { if } x \geq 0 } \end{array} \right.$

Encontrar$f(−3), f(0)$, y$f(2)$.

3. $g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 5 x - 2 } & { \text { if } x < 1 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } x \geq 1 } \end{array} \right.$

Encontrar$g(−1), g(1)$, y$g(4)$.

4. $g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 3 } \text { if } x \leq - 2 } \\ { | x | \text { if } x > - 2 } \end{array} \right.$

Encontrar$g(−3), g(−2)$, y$g(−1)$.

5. $h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 5 } & { \text { if } x < 0 } \\ { 2 x - 3 } & { \text { if } 0 \leq x < 2 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } x \geq 2 } \end{array} \right.$

Encontrar$h(−2), h(0)$, y$h(4)$.

6. $h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { - 3 x \text { if } x \leq 0 } \\ { x ^ { 3 } \text { if } 0 < x \leq 4 } \\ { \sqrt { x } \text { if } x > 4 } \end{array} \right.$

Encontrar$h(−5), h(4)$, y$h(25)$.

7. $f ( x ) = \left[\!\![x-0.5]\!\!\right]$

Encontrar$f(−2), f(0)$, y$f(3)$.

8. $f ( x ) = \left[\!\![2x]\!\!\right] + 1$

Encontrar$f(−1.2), f(0.4)$, y$f(2.6)$.

Contestar

1. $f (−5) = 25, f(0) = 0$, y$f(3) = 5$

3. $g(−1) = −7, g(1) = 1$, y$g(4) = 2$

5. $h(−2) = −5, h(0) = −3$, y$h(4) = 16$

7. $f(−2) = −3, f(0) = −1$, y$f(3) = 2$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Evaluar dada la gráfica de$f$.

1. Encontrar$f(-4), f(-2)$, y$f(0)$.

2. Encontrar$f(−3), f(0)$, y$f(1)$.

3. Encontrar$f(0), f(2)$, y$f(4)$.

4. Encontrar$f(−5), f(−2)$, y$f(2)$.

5. Encontrar$f(−3), f(−2)$, y$f(2)$.

6. Encontrar$f(−3), f(0)$, y$f(4)$.

7. Encontrar$f(−2), f(0)$, y$f(2)$.

8. Encontrar$f(−3), f(1)$, y$f(2)$.

9. El valor de un automóvil en dólares se da en términos del número de años desde que se compró nuevo en$1975$:

(1) Determinar el valor del automóvil en el año$1980$.

(2) ¿En qué año se valora el automóvil$$9,000$?

10. El costo por unidad en dólares de lámparas personalizadas depende del número de unidades producidas de acuerdo a la siguiente gráfica:

(1) ¿Cuál es el costo por unidad si se producen lámparas$250$ personalizadas?

(2) ¿Qué nivel de producción minimiza el costo por unidad?

11. Un vendedor de automóviles gana una comisión basada en las ventas totales cada mes$x$ según la función:

$( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0.03 x\quad \text { if } \quad 0 \leq x < \$ 20,000 } \\ { 0.05 x \quad\text { if } } \quad { \$ 20,000 \leq x < \$ 50,000 } \\ { 0.07 x \quad\text { if } }\quad { x \geq \$ 50,000 } \end{array} \right.$

(1) Si las ventas totales del vendedor para el mes son$$35,500$, ¿cuál es su comisión según la función?

(2) Para alcanzar el siguiente nivel en la estructura de comisiones, ¿cuánto más en ventas necesitará?

12. Un barco de alquiler cuesta$$32$ por una hora, y cada hora adicional o parcial cuesta$$8$. Grafique el costo de la embarcación de alquiler y determine el costo para rentar la embarcación por$4 \frac{1}{2}$ horas.

Contestar

1. $f(−4) = 1, f(−2) = 1$, y$f(0) = 0$

3. $f(0) = 0, f(2) = 8$, y$f(4) = 0$

5. $f(−3) = 5, f(−2) = 4$, y$f(2) = 2$

7. $f(−2) = −1, f(0) = 0$, y$f(2) = 1$

9. (1)$$3,000$; (2)$2005$

11. (1)$$1,775$; (2)$$14,500$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Explique a un estudiante principiante de álgebra qué es una asíntota.
Investigar y discutir la diferencia entre las funciones de piso y techo. ¿Qué aplicaciones puedes encontrar que utilicen estas funciones?

Contestar: 1. La respuesta puede variar

Notas al pie

⁴³ Cualquier función de la forma$f(x) = c$ donde$c$ es un número real.

⁴⁴ La función lineal definida por$f(x) = x$.

⁴⁵ La función cuadrática definida por$f(x) = x^{2}$.

⁴⁶ La gráfica curva formada por la función de cuadratura.

⁴⁷ La función cúbica definida por$f(x) = x^{3}$.

⁴⁸ La función definida por$f(x) = |x|$.

⁴⁹ La función definida por$f(x) = \sqrt{x}$.

⁵⁰ La función definida por$f(x) = \frac{1}{x}$.

⁵¹ Una línea vertical a la que una gráfica se acerca infinitamente.

⁵² Una línea horizontal a la que una gráfica se acerca infinitamente a donde tienden$x$ los valores -hacia$±∞$.

⁵³ Una función cuya definición cambia dependiendo de los valores en el dominio.

⁵⁴ Término que se usa cuando se refiere a una función por partes.

⁵⁵ La función que asigna cualquier número real$x$ al mayor entero menor o igual que$x$ denotado$f(x) = \left[\!\![x]\!\!\right]$.

⁵⁶ Un término que se usa cuando se refiere a la mayor función entera.