8.E: Secciones Cónicas (Ejercicios)

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Calcular la distancia y el punto medio entre los dos puntos dados.

\((0,2)\)y\((-4,-1)\)
\((6,0)\)y\((-2,-6)\)
\((-2,4)\)y\((-6,-8)\)
\(\left(\frac{1}{2},-1\right)\)y\(\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)\)
\((0,-3 \sqrt{2})\)y\((\sqrt{5},-4 \sqrt{2})\)
\((-5 \sqrt{3}, \sqrt{6})\)y\((-3 \sqrt{3}, \sqrt{6})\)

Contestar

1. Distancia:\(5\) unidades; punto medio:\(\left(-2, \frac{1}{2}\right)\)

3. Distancia:\(4\sqrt{10}\) unidades; punto medio:\((-4,-2)\)

5. Distancia:\(\sqrt{7}\) unidades; punto medio:\(\left(\frac{\sqrt{5}}{2},-\frac{7 \sqrt{2}}{2}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Determinar el área de un círculo cuyo diámetro está definido por los dos puntos dados.

\((-3,3)\)y\((3,-3)\)
\((-2,-9)\)y\((-10,-15)\)
\(\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{2}\right)\)y\(\left(-\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)\)
\((2 \sqrt{5},-2 \sqrt{2})\)y\((0,-4 \sqrt{2})\)

Contestar

1. \(18\pi\)unidades cuadradas

3. \(\frac{5 \pi}{4}\)unidades cuadradas

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Reescribe en forma estándar y da el vértice.

\(y=x^{2}-10 x+33\)
\(y=2 x^{2}-4 x-1\)
\(y=x^{2}-3 x-1\)
\(y=-x^{2}-x-2\)
\(x=y^{2}+10 y+10\)
\(x=3 y^{2}+12 y+7\)
\(x=-y^{2}+8 y-3\)
\(x=5 y^{2}-5 y+2\)

Contestar

1. \(y=(x-5)^{2}+8 ;\)vértice:\((5,8)\)

3. \(y=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{13}{4} ;\)vértice:\(\left(\frac{3}{2},-\frac{13}{4}\right)\)

5. \(x=(y+5)^{2}-15 ;\)vértice:\((-15,-5)\)

7. \(x=-(y-4)^{2}+13 ;\)vértice:\((13,4)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Reescribir en forma estándar y gráfica. Asegúrate de encontrar el vértice y todas las intercepciones.

\(y=x^{2}-20 x+75\)
\(y=-x^{2}-10 x+75\)
\(y=-2 x^{2}-12 x-24\)
\(y=4 x^{2}+4 x+6\)
\(x=y^{2}-10 y+16\)
\(x=-y^{2}+4 y+12\)
\(x=-4 y^{2}+12 y\)
\(x=9 y^{2}+18 y+12\)
\(x=-4 y^{2}+4 y+2\)
\(x=-y^{2}-5 y+2\)

Contestar

1. \(y=(x-10)^{2}-25\);

3. \(y=-2(x+3)^{2}-6\);

5. \(x=(y-5)^{2}-9\);

7. \(x=-4\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}+9\);

9. \(x=-4\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+3\);

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Determinar el centro y el radio dada la ecuación de un círculo en forma estándar.

\((x-6)^{2}+y^{2}=9\)
\((x+8)^{2}+(y-10)^{2}=1\)
\(x^{2}+y^{2}=5\)
\(\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}+\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\)

Contestar

1. Centro:\((6,0) ;\) radio:\(r=3\)

3. Centro:\((0,0) ;\) radio:\(r=\sqrt{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Determine la forma estándar para la ecuación del círculo:

Centro\((-7,2)\) con radio\(r=10\)
Centro\(\left(\frac{1}{3},-1\right)\) con radio\(r=\frac{2}{3}\)
Centro\((0,-5)\) con radio\(r=2 \sqrt{7}\)
Centro\((1,0)\) con radio\(r=\frac{5 \sqrt{3}}{2}\)
Círculo cuyo diámetro está definido por\((-4,10)\) y\((-2,8)\)
Círculo cuyo diámetro está definido por\((3,-6)\) y\((0,-4)\)

Contestar

1. \((x+7)^{2}+(y-2)^{2}=100\)

3. \(x^{2}+(y+5)^{2}=28\)

5. \((x+3)^{2}+(y-9)^{2}=2\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra los\(x\) - y\(y\) -interceptos.

\((x-3)^{2}+(y+5)^{2}=16\)
\((x+5)^{2}+(y-1)^{2}=4\)
\(x^{2}+(y-2)^{2}=20\)
\((x-3)^{2}+(y+3)^{2}=8\)
\(x^{2}+y^{2}-12 y+27=0\)
\(x^{2}+y^{2}-4 x+2 y+1=0\)

Contestar

1. \(x\)-intercepta: ninguno;\(y\) -intercepta:\((0,-5 \pm \sqrt{7})\)

3. \(x\)-intercepta:\((\pm 4,0)\);\(y\) -intercepta:\((0,2 \pm 2 \sqrt{5})\)

5. \(x\)-intercepta: ninguno;\(y\) -intercepta:\((0,3),(0,9)\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Gráfica.

\((x+8)^{2}+(y-6)^{2}=4\)
\((x-20)^{2}+\left(y+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}\)
\(x^{2}+y^{2}=24\)
\((x-1)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}\)
\(x^{2}+(y-7)^{2}=27\)
\((x+1)^{2}+(y-1)^{2}=2\)

Contestar

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Reescribir en forma estándar y gráfica.

\(x^{2}+y^{2}-6 x+4 y-3=0\)
\(x^{2}+y^{2}+8 x-10 y+16=0\)
\(2 x^{2}+2 y^{2}-2 x-6 y-3=0\)
\(4 x^{2}+4 y^{2}+8 y+1=0\)
\(x^{2}+y^{2}-5 x+y-\frac{1}{2}=0\)
\(x^{2}+y^{2}+12 x-8 y=0\)

Contestar

1. \((x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16\);

3. \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=4\);

5. \(\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=7\);

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dada la ecuación de una elipse en forma estándar, determine su centro, orientación, radio mayor y radio menor.

\(\frac{(x+12)^{2}}{16}+\frac{(y-10)^{2}}{4}=1\)
\(\frac{(x+3)^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{25}=1\)
\(x^{2}+\frac{(y-5)^{2}}{12}=1\)
\(\frac{(x-8)^{2}}{5}+\frac{(y+8)}{18}=1\)

Contestar

1. Centro:\((−12, 10)\); orientación: horizontal; radio mayor:\(4\) unidades; radio menor:\(2\) unidades

3. Centro:\((0, 5)\); orientación: vertical; radio mayor:\(2\sqrt{3}\) unidades; radio menor:\(1\) unidad

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Determinar la forma estándar para la ecuación de la elipse dada la siguiente información.

Centro\((0,-4)\) con\(a=3\) y\(b=4\)
Centro\((3,8)\) con\(a=1\) y\(b=\sqrt{7}\)
Centro\((0,0)\) con\(a=5\) y\(b=\sqrt{2}\)
Centro\((-10,-30)\) con\(a=10\) y\(b=1\)

Contestar

1. \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{16}=1\)

3. \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{2}=1\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Encuentra los\(x\) - y\(y\) -interceptos.

\(\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
\(\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y+1)^{2}}{3}=1\)
\(5 x^{2}+2 y^{2}=20\)
\(5(x-3)^{2}+6 y^{2}=120\)

Contestar

1. \(x\)-intercepta:\((-4,0),(0,0) ; y\) -intercepta:\((0,0)\)

3. \(x\)-intercepta:\((\pm 2,0) ; y\) -intercepta:\((0, \pm \sqrt{10})\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Gráfica.

\(\frac{(x-10)^{2}}{25}+\frac{(y+5)^{2}}{4}=1\)
\(\frac{(x+6)^{2}}{9}+\frac{(y-8)^{2}}{36}=1\)
\(\frac{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}{4}+\left(y-\frac{7}{2}\right)^{2}=1\)
\(\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1\)
\(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{5}=1\)
\(\frac{(x+2)^{2}}{8}+\frac{(y-3)^{2}}{12}=1\)

Contestar

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Reescribir en forma estándar y gráfica.

\(4 x^{2}+9 y^{2}-8 x+90 y+193=0\)
\(9 x^{2}+4 y^{2}+108 x-80 y+580=0\)
\(x^{2}+9 y^{2}+6 x+108 y+324=0\)
\(25 x^{2}+y^{2}-350 x-8 y+1,216=0\)
\(8 x^{2}+12 y^{2}-16 x-36 y-13=0\)
\(10 x^{2}+2 y^{2}-50 x+14 y+7=0\)

Contestar

1. \(\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y+5)^{2}}{4}=1\);

3. \(\frac{(x+3)^{2}}{9}+(y+6)^{2}=1\);

5. \(\frac{(x-1)^{2}}{6}+\frac{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}{4}=1\);

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Dada la ecuación de una hipérbola en forma estándar, determinar su centro, en qué dirección se abre la gráfica, y los vértices.

\(\frac{(x-10)^{2}}{4}-\frac{(y+5)^{2}}{16}=1\)
\(\frac{(x+7)^{2}}{2}-\frac{(y-8)^{2}}{8}=1\)
\(\frac{(y-20)^{2}}{3}-(x-15)^{2}=1\)
\(3 y^{2}-12(x-1)^{2}=36\)

Contestar

1. Centro:\((10,-5)\); abre izquierda y derecha; vértices:\((8,-5),(12,-5)\)

3. Centro:\((15,20)\); se abre hacia arriba y hacia abajo; vértices:\((15,20-\sqrt{3}),(15,20+\sqrt{3})\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Determinar la forma estándar para la ecuación de la hipérbola.

El centro\((-25,10), a=3, b=\sqrt{5},\) se abre hacia arriba y hacia abajo.
El centro\((9,-12), a=5 \sqrt{3}, b=7,\) se abre a izquierda y derecha.
El centro\((-4,0), a=1, b=6,\) se abre a izquierda y derecha.
El centro\((-2,-3), a=10 \sqrt{2}, b=2 \sqrt{3},\) se abre hacia arriba y hacia abajo.

Contestar

1. \(\frac{(y-10)^{2}}{5}-\frac{(x+25)^{2}}{9}=1\)

3. \((x+4)^{2}-\frac{y^{2}}{36}=1\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Encuentra los\(x\) - y\(y\) -interceptos.

\(\frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y+3)^{2}}{9}=1\)
\(\frac{(x+4)^{2}}{8}-\frac{(y-2)^{2}}{12}=1\)
\(4(y-2)^{2}-x^{2}=16\)
\(6(y+1)^{2}-3(x-1)^{2}=18\)

Contestar

1. \(x\)-intercepta:\((1 \pm 2 \sqrt{2}, 0) ; y\) -intercepta: ninguna

3. \(x\)-intercepta:\((0,0) ; y\) -intercepta:\((0,0),(0,4)\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Gráfica.

\(\frac{(x-10)^{2}}{25}-\frac{(y+5)^{2}}{100}=1\)
\(\frac{(x-4)^{2}}{4}-\frac{(y-8)^{2}}{16}=1\)
\(\frac{(y-3)^{2}}{9}-\frac{(x-6)^{2}}{81}=1\)
\(\frac{(y+1)^{2}}{4}-\frac{(x+1)^{2}}{25}=1\)
\(\frac{y^{2}}{27}-\frac{(x-3)^{2}}{9}=1\)
\(\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\)

Contestar

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Reescribir en forma estándar y gráfica.

\(4 x^{2}-9 y^{2}-8 x-90 y-257=0\)
\(9 x^{2}-y^{2}-108 x+16 y+224=0\)
\(25 y^{2}-2 x^{2}-100 y+50=0\)
\(3 y^{2}-x^{2}-2 x-10=0\)
\(8 y^{2}-12 x^{2}+24 y-12 x-33=0\)
\(4 y^{2}-4 x^{2}-16 y-28 x-37=0\)

Contestar

1. \(\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y+5)^{2}}{4}=1\);

3. \(\frac{(y-2)^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{25}=1\);

5. \(\frac{\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}}{6}-\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}{4}=1\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Identificar las secciones cónicas y reescribir en forma estándar.

\(x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+16=0\)
\(x^{2}+2 y^{2}+4 x-24 y+74=0\)
\(x^{2}-y^{2}-6 x-4 y+3=0\)
\(x^{2}+y-10 x+22=0\)
\(x^{2}+12 y^{2}-12 x+24=0\)
\(x^{2}+y^{2}+10 y+22=0\)
\(4 y^{2}-20 x^{2}+16 y+20 x-9=0\)
\(16 x-16 y^{2}+24 y-25=0\)
\(9 x^{2}-9 y^{2}-6 x-18 y-17=0\)
\(4 x^{2}+4 y^{2}+4 x-8 y+1=0\)

Contestar

1. Círculo;\((x-1)^{2}+(y-4)^{2}=1\)

3. hipérbola;\(\frac{(x-3)^{2}}{2}-\frac{(y+2)^{2}}{2}=1\)

5. Elipse;\(\frac{(x-6)^{2}}{12}+y^{2}=1\)

7. hipérbola;\(\frac{(y+2)^{2}}{5}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1\)

9. hipérbola;\(\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}-(y+1)^{2}=1\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Dada la gráfica, escribir la ecuación en forma general.

Contestar

1. \(x^{2}+y^{2}+18 x-6 y+9=0\)

3. \(9 x^{2}-y^{2}+72 x-12 y+72=0\)

5. \(9 x^{2}+64 y^{2}+54 x-495=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Resolver.

\(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=8} \\ {x-y=4}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {x+2 y=1}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+3 y^{2}=4} \\ {2 x-y=1}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=5} \\ {x+y=3}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{3 x^{2}-2 y^{2}=1} \\ {x-y=2}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{x^{2}-3 y^{2}=10} \\ {x-2 y=1}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{2 x^{2}+y^{2}=11} \\ {4 x+y^{2}=5}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+4 y^{2}=1} \\ {2 x^{2}+4 y=5}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{5 x^{2}-y^{2}=10} \\ {x^{2}+y=2}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{2 x^{2}+y^{2}=1} \\ {2 x-4 y^{2}=-3}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+4 y^{2}=10} \\ {x y=2}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{y+x^{2}=0} \\ {x y-8=0}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10} \\ {\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=6}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1} \\ {y-x=2}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{x-2 y^{2}=3} \\ {y=\sqrt{x-4}}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{(x-1)^{2}+y^{2}=1} \\ {y-\sqrt{x}=0}\end{array}\right.\)

Contestar

1. \((2,-2)\)

3. \(\left(-\frac{1}{13},-\frac{15}{13}\right),(1,1)\)

5. \((-9,-11),(1,-1)\)

7. \((-1,-3),(-1,3)\)

9. \((-\sqrt{2}, 0),(\sqrt{2}, 0),(-\sqrt{7},-5),(\sqrt{7},-5)\)

11. \((\sqrt{2}, \sqrt{2}) \cdot(-\sqrt{2},-\sqrt{2}) \cdot\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot\left(-2 \sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

13. \(\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right)\)

15. \((5,1)\)

Examen de muestra

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Teniendo en cuenta dos puntos\((-4,-6)\) y\((2,-8)\):
1. Calcula la distancia entre ellos.
2. Encuentra el punto medio entre ellos.
Determinar el área de un círculo cuyo diámetro está definido por los puntos\((4, −3)\) y\((−1, 2)\).

Contestar: 1. (1)\(2\sqrt{10}\) unidades; (2)\((-1,-7)\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Reescribir en forma estándar y gráfica. Encuentra el vértice y todas las intercepciones si las hay.

\(y=-x^{2}+6 x-5\)
\(x=2 y^{2}+4 y-6\)
\(x=-3 y^{2}+3 y+1\)
Encuentra la ecuación de un círculo en forma estándar con\(2 \sqrt{5}\) unidades de centro\((−6, 3)\) y radio.

Contestar

1. \(y=-(x-3)^{2}+4\);

3. \(x=-3\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}\);

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Esbozar la gráfica de la sección cónica dada su ecuación en forma estándar.

\((x-4)^{2}+(y+1)^{2}=45\)
\(\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
\(\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{9}=1\)
\(\frac{x^{2}}{16}-(y-2)^{2}=1\)

Contestar

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Reescribir en forma estándar y gráfica.

\(9 x^{2}+4 y^{2}-144 x+16 y+556=0\)
\(x-y^{2}+6 y+7=0\)
\(x^{2}+y^{2}+20 x-20 y+100=0\)
\(4 y^{2}-x^{2}+40 y-30 x-225=0\)

Contestar

1. \(\frac{(x-8)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1\);

3. \((x+10)^{2}+(y-10)^{2}=100\);

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Encuentra los\(x\) - y\(y\) -interceptos.

\(x=-2(y-4)^{2}+9\)
\(\frac{(y-1)^{2}}{12}-(x+1)^{2}=1\)

Contestar: 1. \(x\)-interceptar:\((-23,0) ; y\) -intercepta:\(\left(0, \frac{8 \pm 3 \sqrt{2}}{2}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Resolver.

\(\left\{\begin{array}{l}{x+y=2} \\ {y=-x^{2}+4}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{y-x^{2}=-3} \\ {x^{2}+y^{2}=9}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{2 x-y=1} \\ {(x+1)^{2}+2 y^{2}=1}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{c}{x^{2}+y^{2}=6} \\ {x y=3}\end{array}\right.\)

Contestar

1. \((-1,3),(2,0)\)

3. \(\emptyset\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Encuentra la ecuación de una elipse en forma estándar con vértices\((−3, −5)\)\((5, −5)\) y un radio menor\(2\) unidades de longitud.
Encuentra la ecuación de una hipérbola en forma estándar abriendo izquierda y derecha con vértices\((\pm \sqrt{5}, 0)\) y un eje conjugado que mide\(10\) unidades.
Dada la gráfica de la elipse, determinar su ecuación en forma general.

4. Una cubierta rectangular tiene un área de pies\(80\) cuadrados y un perímetro que mide\(36\) pies. Encuentra las dimensiones de la cubierta.

5. La diagonal de un rectángulo mide\(2\sqrt{13}\) centímetros y el perímetro mide\(20\) centímetros. Encuentra las dimensiones del rectángulo.

Contestar

1. \(\frac{(x-1)^{2}}{16}+\frac{(y+5)^{2}}{4}=1\)

3. \(4 x^{2}+25 y^{2}-24 x-100 y+36=0\)

5. \(6\)centímetros por\(4\) centímetros