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2.5: Aplicaciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

La solución de un problema verbal debe incorporar cada uno de los siguientes pasos.

Requisitos para soluciones de problemas de Word

  1. Configura un Diccionario de Variables. Debes dejar saber a tus lectores qué representa cada variable en tu problema. Esto se puede lograr de varias maneras:
    • Declaraciones como “Vamos aP representar el perímetro del rectángulo”.
    • Etiquetar valores desconocidos con variables en una tabla.
    • Etiquetar cantidades desconocidas en un boceto o diagrama.
  2. Configura una ecuación.Cada solución a un problema de palabras debe incluir una ecuación cuidadosamente elaborada que describa con precisión las restricciones en la declaración del problema.
  3. Resuelve la Ecuación. Siempre debes resolver la ecuación establecida en el paso anterior.
  4. Responda a la Pregunta. Este paso se pasa por alto fácilmente. Por ejemplo, el problema podría preguntar por la edad de Jane, pero la solución de tu ecuación da la edad de la hermana de Jane, Liz. Asegúrate de responder la pregunta original hecha en el problema. Su solución debe escribirse en una oración con las unidades correspondientes.
  5. Mira hacia atrás. Es importante señalar que este paso no implica que simplemente deba verificar su solución en su ecuación. Después de todo, es posible que tu ecuación modele incorrectamente la situación del problema, por lo que podrías tener una solución válida a una ecuación incorrecta. La pregunta importante es: “¿Tiene sentido tu respuesta con base en las palabras de la declaración original del problema?”

Demos una prueba de manejo a estos requisitos.

Ejemplo2.5.1

Tres veces más de cinco veces un cierto número es62. Encuentra el número.

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

  1. Configura un Diccionario de Variables. Vamos ax representar el número desconocido.
  2. Configura una Ecuación. “Tres veces más de cinco veces un cierto número es62” se convierte en:

fig 2.5.1a.png

  1. Resuelve la Ecuación. Para resolverx, primero restar3 de ambos lados de la ecuación. 3+5x=62 Original equation. 3+5x3=623 Subtract 3 from both sides. 5x=65 Simplify. 5x5=655 Divide both sides by 5x=13 Simplify. 
  2. Responda a la Pregunta. El número desconocido es13.
  3. Mira hacia atrás. Calcular “tres veces más de cinco veces”13. 3+5(13)=3+(65)=62De ahí que tres veces más de cinco veces13 sea62, según se requiera. Nuestra solución es correcta.

Ejercicio2.5.1

27 more than 5 times a certain number is 148. What is the number?

Responder

35

Ejemplo2.5.2

La suma de tres enteros consecutivos es66. Encuentra el más pequeño de estos tres enteros.

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

  1. Configura un Diccionario de Variables. Letk representa el menor de tres enteros consecutivos.
  2. Configura una Ecuación. Un ejemplo de tres enteros consecutivos es34,35, y36. Estos no son los enteros que buscamos, sino que sirven para ayudar en la comprensión del problema. Observe cómo cada entero consecutivo es uno más grande que el entero anterior. Sik es el menor de tres enteros consecutivos, entonces los siguientes dos enteros consecutivos sonk+1 yk+2. La “suma de tres enteros consecutivos es66” se convierte en:

fig 2.5.1b.png

  1. Resuelve la Ecuación. Para resolverk, primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. k+(k+1)+(k+2)=66 Original equation. 3k+3=66 Combine like terms. 3k+33=663 Subtract 3 from both sides.3k=69 Simplify. 3k3=693 Divide both sides by 3.k=23 Simplify. 
  2. Responda a la Pregunta. El más pequeño de tres enteros consecutivos es23.
  3. Mira hacia atrás. Sik=23 es el menor de tres enteros consecutivos, entonces los siguientes dos enteros consecutivos son22 y21. Comprobemos la suma de estos tres enteros consecutivos. 23+(22)+(21)=66De ahí que la suma de los tres enteros consecutivos sea66, según se requiera. Nuestra solución es correcta

Ejercicio2.5.2

La suma de tres enteros impares consecutivos es225. What are the integers?

Responder

77,75,73

Ejemplo2.5.3

Un carpintero corta una tabla que mide60 pulgadas en tres piezas. La segunda pieza es el doble de larga que la primera pieza, y la tercera es tres veces más larga que la primera pieza. Encuentra la longitud de cada pieza cortada por el carpintero.

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

  1. Configura un Diccionario de Variables. DejarL representar la longitud de la primera pieza. Entonces la segunda pieza, que es el doble de larga que la primera pieza, tiene longitud2L. La tercera pieza, que es tres veces más larga que la primera pieza, tiene longitud3L. Construyamos una mesita para ayudar a resumir la información proporcionada en este problema.
Pieza Largo (pulg)
Primera pieza L
Segunda pieza 2L
Tercera pieza 3L
Longitud total 60
  1. Configura una Ecuación. Como puede ver en la tabla anterior, la segunda columna muestra que la suma de las tres piezas es60 pulgadas. En símbolos:L+2L+3L=60
  2. Resuelve la Ecuación. Para resolverL, primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. L+2L+3L=60 Original equation. 6L=60 Combine like terms. 6L6=606 Divide both sides by 6L=10 Simplify. 
  3. Responda a la Pregunta. La primera pieza tiene longitud L = 10 pulgadas. La segunda pieza tiene longitud 2L = 20 pulgadas. La tercera pieza tiene longitud 3L = 30 pulgadas. En forma tabular, esto es aún más evidente.
Pieza Largo (pulg) Largo (pulg)
Primera pieza L 10
Segunda pieza 2L 20
Tercera pieza 3L 30
Longitud total 60 60
  1. Mira hacia atrás. No solo la segunda longitud es el doble de la primera y la tercera longitud tres veces la primera, verifica la suma de sus longitudes:10+20+30=60 Eso es un total de60 pulgadas. Tenemos la solución correcta.

Ejercicio2.5.3

Han corta una tabla que230 inches in three pieces. The second piece is twice as long as the mide la primera pieza, y la tercera pieza es30 inches longer than the second piece. Find the length of each piece cut by Han.

Responder

40,80,110en

Ejemplo2.5.4

Los tres lados de un triángulo son enteros pares consecutivos. Si el perímetro (suma de los tres lados) del triángulo es156 centímetros, busque la longitud de cada lado del triángulo.

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

  1. Configura un Diccionario de Variables. Un ejemplo de tres enteros pares consecutivos es18,20, y22. Estos no son los enteros que buscamos, pero sí nos dan algún sentido del significado de tres enteros pares consecutivos. Tenga en cuenta que cada entero par consecutivo es dos más grande que el entero anterior. Así, sik es la longitud del primer lado del triángulo, entonces los dos lados siguientes sonk+2 yk+4. En este ejemplo, nuestro diccionario de variables tomará la forma de una figura bien etiquetada.

fig 2.5.1c.png

  1. Configura una Ecuación. El perímetro del triángulo es la suma de los tres lados. Si el perímetro es de156 centímetros, entonces:k+(k+2)+(k+4)=156
  2. Resuelve la Ecuación. Para resolver para k, primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. k+(k+2)+(k+4)=156 Original equation. 3k+6=156 Combine like terms. 3k+66=1566 Subtract 6 from both sides.3k=150 Simplify. 3k3=1503 Divide both sides by 3.k=50 Simplify. 
  3. Responda a la Pregunta. Así, el primer lado tiene50 centímetros de longitud. Porque los siguientes dos enteros pares consecutivos sonk+2=52 yk+4=54, los tres lados del triángulo miden50,52, y54 centímetros, respectivamente.
  4. Mira hacia atrás. Una imagen ayuda a nuestra comprensión. Los tres lados son enteros pares consecutivos.

fig 2.5.1d.png

Obsérvese que el perímetro (suma de los tres lados) es:50cm+52cm+54cm=156cm Así, el perímetro es156 centímetros, como debería ser. Nuestra solución es correcta.

Ejercicio2.5.4

Los tres lados de un triángulo son números enteros consecutivos. Si el perímetro (suma de los tres lados) del triángulo453 centimeters, se encuentra la longitud de cada lado del triángulo.

Responder

150,151,152cm

Ejemplo2.5.5

Un hecho bien conocido de la geometría es el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es180. Supongamos que tenemos un triángulo cuyo segundo ángulo es10 grados mayor que el doble de su primer ángulo y cuyo tercer ángulo es50 grados mayor que su primer ángulo. Encuentra la medida de cada ángulo del triángulo.

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

  1. Configura un Diccionario de Variables. El alfabeto griego comienza con las letrasα,β,γ,δ,ϵ,, de la misma manera que el alfabeto inglés comienza con las letras A losa,b,c,d,e, matemáticos les encanta usar letras griegas, especialmente en el estudio de la trigonometría. La letra griegaθ (pronunciada “theta”) es particularmente favorecida al representar un ángulo de un triángulo. Entonces, dejaremosθ representar la medida de grado del primer ángulo del triángulo. El segundo ángulo es10 grados mayor que el doble del primer ángulo, por lo que el segundo ángulo es2θ+10. El tercer ángulo es50 grados mayor que el primer ángulo, por lo que el tercer ángulo esθ+50. Nuevamente, configuraremos una figure bien etiquetada para nuestro diccionario de variables.

fig 2.5.1e.png

  1. Configura una Ecuación. La suma de los ángulos es180, entonces:θ+(2θ+10)+(θ+50)=180
  2. Resuelve la Ecuación. Para resolverθ, primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. θ+(2θ+10)+(θ+50)=180 Original equation. 4θ+60=180 Combine like terms. 4θ+6060=18060 Subtract 60 from both sides.4θ=120 Simplify. 4θ4=1204 Divide both sides by 4.θ=30 Simplify. 
  3. Responda a la Pregunta. Así, el primer ángulo sonθ=30 grados, el segundo ángulo son2θ+10=70 grados y el tercer ángulo sonθ+50=80 grados.
  4. Mira hacia atrás. Una imagen ayuda a nuestra comprensión. Tenga en cuenta que el segundo ángulo es 10 grados mayor que el doble del primer ángulo. Tenga en cuenta que el tercer ángulo es50 grados mayor que el primer ángulo.

fig 2.5.1f.png

Obsérvese que la suma de los ángulos es:30+70+80=180 Así, la suma de los tres ángulos es de 180 grados, como debería ser. Tenemos la solución correcta.

Ejercicio2.5.5

El segundo ángulo de un triángulo es tres veces mayor que el primer ángulo. El tercer ángulo del triángulo es un40 degrees larger than the second angle. How many degrees are in each angle?

Responder

20,60,100

Ejemplo2.5.6

Martha hereda$21,000 y decide invertir el dinero en tres cuentas separadas. El monto que invierte en la segunda cuenta es el doble de lo que invierte en la primera cuenta. El monto que invierte en la tercera cuenta es$1,000 mayor que el monto que invierte en la segunda cuenta. ¿Cuánto invirtió en cada cuenta?

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

  1. Configura un Diccionario de Variables. Usaremos una tabla en este ejemplo para ayudar a configurar nuestro diccionario de variables. xSea la cantidad invertida en la primera cuenta. El monto invertido en la segunda cuenta es el doble de lo invertido en la primera cuenta, así2x es el monto invertido en la segunda cuenta. La inversión en tercera cuenta es$1,000 mayor que la cantidad invertida en la segunda cuenta, por lo que es2x+1000.
Cuenta # Monto invertido
Cuenta #1 x
Cuenta #2 2x
Cuenta #3 2x+1000
Total Invertido 21000
  1. Configura una Ecuación. La segunda columna de la tabla revela la ecuación requerida. Las tres inversiones deben sumar a$21,000. x+2x+(2x+1000)=21000
  2. Resuelve la Ecuación. Para resolverx, primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. x+2x+(2x+1000)=21000 Original equation. 5x+1000=21000 Combine like terms. 5x+10001000=210001000 Subtract 1000 from both sides.5x=20000 Simplify. 5x5=200005 Divide both sides by 5.x=4000 Simplify. 
  3. Responda a la Pregunta. Sustituirx=4000 en cada entrada de la segunda columna de la tabla anterior para producir los resultados en la siguiente tabla.
Cuenta # Monto invertido Monto invertido
Cuenta #1 x $4,000
Cuenta #2 2x $8,000
Cuenta #3 2x+1000 $9,000
Total Invertido 21000 21,000
  1. Mira hacia atrás. Como podemos ver en nuestra tabla de respuestas, el monto$8,000 invertido en la segunda cuenta es el doble del monto invertido en la primera cuenta. El monto$9,000 invertido en la tercera cuenta es$1,000 mayor que el monto invertido en la segunda cuenta. Además, la inversión total es:$4,000+$8,000+$9,000=$21,000 Así, la inversión total es$21,000, como debería ser. Tenemos la solución correcta.

Ejercicio2.5.6

Jim hereda$15,000. He invests part in a fund that pays 5% per year and the rest in a fund that pays 4% per year. At the end of one year, the combined interest from both investments was $4,250. How much did he invest in each fund?

Responder

$5,000en5% y$10,000 en4%.

Ejemplo2.5.7

Jeestá haciendo senderismo por la2,650 milla Pacific Crest Trail de México a Canadá. Poco antes de cruzar de Oregón a Washington se encuentra cuatro veces más lejos del inicio del sendero que desde el final. ¿Cuánto más tiene que caminar?

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

  1. Configura un Diccionario de Variables. Dejard representar la distancia que queda para que Je, camine. Debido a que Jede se encuentra cuatro veces más lejos del inicio del sendero que del final, la distancia Jede ya completada es4d. Construyamos una mesita para ayudar a resumir la información proporcionada en este problema.
Sección de Sendero Distancia (mi)
Distancia hasta el fin d
Distancia desde el inicio 4d
Distancia total 2650
  1. Configura una Ecuación. Como puede ver en la tabla anterior, la segunda columna muestra que la suma de las dos distancias es2650 millas. En símbolos:\ [d+4 d=2650\ nonumber\
  2. Resuelve la Ecuación. Para resolverd, primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. d+4d=2650 Original equation. 5d=2650 Combine like terms. 5d5=26505 Divide both sides by 5d=530 Simplify. 
  3. Responda a la Pregunta. Je, todavía le quedan530 kilómetros por recorrer.
  4. Mira hacia atrás. Debido a que la cantidad que queda para caminar esd=530 millas, la distancia de Jede desde el inicio del sendero es4d=4(530), o2,120 millas. Si organizamos estos resultados en forma tabular, es evidente que no sólo la distancia desde el inicio del sendero es cuatro veces mayor que la distancia que queda hasta el final, sino que la suma de sus longitudes es igual a la longitud total del sendero.
Sección de Sendero Distancia (mi) Distancia (mi)
Distancia hasta el fin d 530
Distancia desde el inicio 4d 2120
Distancia total 2650 2650

Así, tenemos la solución correcta.

Ejercicio2.5.7

Margaret va en bicicleta por un carril que mide100 miles. If Magaret está cuatro veces más lejos del inicio del viaje que del final, ¿cuántas millas más tiene que recorrer antes de finalizar su paseo?

Responder

20millas

Ejemplo2.5.8

Hoy15% de la clase de séptimo grado de la hermana Damaris estaban enfermos y se quedaron en casa de la escuela. Si solo hay34 estudiantes presentes, ¿cuál es el tamaño real de la clase de la hermana Damaris'?

Solución

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

  1. Configura un Diccionario de Variables. Vamos aS representar el tamaño real de la clase de la hermana Damaris'.
  2. Configura una Ecuación. Si15% de la clase de la hermana Damaris' estaba ausente, entonces85% de su clase estaba presente. Hay34 estudiante presente, por lo que la frase “85%de la clase de la hermana Damaris' es34” se traduce en la ecuación,0.85S=34 donde hemos cambiado85% a un decimal moviendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda.
  3. Resuelve la Ecuación. Para resolver paraS, primero borra los decimales multiplicando ambos lados de la ecuación por100. 0.85S=34 Original equation. 85S=3400 Multiply both sides by 100.85S85=340085 Divide both sides by 85S=40 Simplify. 
  4. Responda a la Pregunta. El tamaño de la clase de la hermana Damaris es40.
  5. Mira hacia atrás. Nos dicen que15% de la clase de la hermana Damari está ausente. Si calculamos15% de40, obtenemos:0.15(40)=6 Así, hubo 6 estudiantes ausentes, entonces406, o34 estudiantes estuvieron presentes. Así, tenemos la solución correcta.

Ejercicio2.5.8

20%de la clase de Mary estaban enfermos y se quedaron en casa de la escuela. Si tan solo36 students are present, what is the actual size of Mary’s class?

Responder

45


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