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2.6: Desigualdades

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En el Capítulo 1, introdujimos los números naturalesN={1,2,3,}, los númerosW={0,1,2,3,} enteros y los enterosZ={,3,2,1,0,1,2,3,}. Posteriormente en el capítulo, introdujimos los números racionales, los números de la formap/q, dondep yq son enteros. Señalamos que tanto los decimales terminantes como los repetidos son números racionales. Cada uno de estos números tiene una posición única en la recta numérica (ver Figura2.6.1).

fig 2.6.1.png
Figura2.6.1: Posicionamiento de números en la recta numérica.

Los números naturales, números enteros y enteros también son números racionales, porque cada uno puede expresarse en la formapq, dondep yq son enteros. Por ejemplo,0=012,4=41, y3=124. En efecto, los números racionales contienen todos los números que hemos estudiado hasta este momento en el curso. Sin embargo, no todos los números son números racionales. Por ejemplo, considere el número decimal3.10110111011110, que ni termina ni repite. El número2=1.414213562373095 también equivale a un número decimal que nunca termina y nunca se repite. Se puede hacer una declaración similar sobre el númeroπ=3.141592653589793 Cada uno de estos números irracionales (no racionales) también tiene una posición única en la recta numérica (ver Figura2.6.2).

fig 2.6.2.png
Figura2.6.2: Posicionamiento de números en la recta numérica.

Otros dos números irracionales que puedes encontrar en tus estudios matemáticos sone (la constante de Euler), que es aproximadamente igual ae2.71828182845904, yϕ (pronunciado “phi”), llamado la proporción áurea, que es igualϕ=1+52. El númeroe surge en aplicaciones que involucran interés compuesto, probabilidad y otras áreas de las matemáticas. El númeroϕ se utiliza en los mercados financieros y también podría decirse que es la proporción de belleza en el arte y la arquitectura.

Los números reales

Si combinamos todos los números racionales e irracionales en una colección, entonces tenemos un conjunto de números que se llama el conjunto de números reales. El conjunto de números reales se denota con el símboloR.

Cada punto de la línea numérica está asociado con un número real único. Por el contrario, cada número real está asociado con una posición única en la recta numérica. En lugar de esta correspondencia, la línea numérica suele llamarse línea real.

Ordenar los números reales

Los números reales se ordenan en la línea real de una manera idéntica a como ordenamos los números enteros en la línea numérica en la Sección 1 del Capítulo 1.

Orden en la Línea Real

Supongamos quea yb son números reales posicionados en la línea real como se muestra a continuación.

fig 2.6.a.png

  • Porquea miente a la “izquierda de”b, decimos quea es “menor que”b, o en símbolos matemáticos,a<b. El símbolo de desigualdad< se lee “menos que”.
  • Como alternativa,b se encuentra a la “derecha de”a, por lo que también podemos decir queb es “mayor que”a, o en símbolos matemáticos,b>a. El símbolo de desigualdad> se lee “mayor que”.

Aquí hay dos símbolos de desigualdad más que usaremos en esta sección.

Menor o igual a

Si queremos decir quea miente a la “izquierda de”b, o comparte la misma posición queb, entonces decimos quea es “menor o igual a”b y escribimosab. El símbolo de desigualdad se pronuncia “menor o igual a”.

Mayor o igual a

Si queremos decir queb miente al “derecho de”a, o comparte la misma posición quea, entonces decimos queb es “mayor o igual a”a y escribimosba. El símbolo de desigualdad se pronuncia “mayor o igual a”.

Notación de Set-Builder

Los matemáticos utilizan un constructo llamado notación set-builder para describir conjuntos o colecciones de números. La forma general de notación set-builder se ve de la siguiente manera:{x: some statement about x} Por ejemplo, supongamos que queremos describir el conjunto de “todos los números reales que son menores que”2. Podríamos usar la siguiente notación:A={x:x<2}

Esto se lee en voz alta de la siguiente manera: “Aequivale al conjunto de todos losx tales quex es menor que”2. Algunos prefieren usar una barra vertical en lugar de dos puntos. A={x|x<2}En este texto usamos los dos puntos en la notación set-builder, pero no dude en usar la barra vertical en su lugar. Significan lo mismo. Todavía se podría objetar que la notación{x:x<2} es un poco vaga. Una objeción podría ser “¿A qué tipo de númerosx se refiere? ¿Quieres los enteros que son menores de dos o quieres los números reales que son menos de dos?” Como puede ver, se trata de una objeción válida. Una forma de abordar esta objeción es escribir:A={xR:x<2} or A={xN:x<2} La primera se lee “Aes el conjunto de todosx enR que son menos de dos”, mientras que la segunda se lee “Aes el conjunto de todosx enN que son menos de dos”.

Asunción de Set-Builder

En este texto, a menos que exista una referencia específica al conjunto de números deseados, asumiremos que la notación{x:x<2} está pidiendo el conjunto de todos los números reales menores que2.

En Figura2.6.3, hemos sombreado el conjunto de números reales{x:x<2}. Porque

higo 2.6.3.png
Figura2.6.3: Sombreando los números a menos de2.

“menos que” es lo mismo que decir “izquierda de”, hemos sombreado (en rojo) todos los puntos de la línea real que se encuentran a la izquierda del número dos. Tenga en cuenta que hay un “círculo vacío” en el número dos. El punto que representa al número dos no está sombreado porque solo nos pidieron que sombreáramos los números que son estrictamente menores a dos.

Si bien el sombreado en Figura2.6.3 es perfectamente válido, gran parte de la información proporcionada en Figura2.6.3 es innecesaria (y quizás distrae). Solo necesitamos etiquetar el punto final y sombrear los números reales a la izquierda de dos, como hemos hecho en la construcción de la Figura2.6.4.

fig 2.6.4.png
Figura2.6.4: Solo es necesario etiquetar el punto final.

Por contraste, supongamos en cambio que se nos pide que sombreemos el conjunto de números reales{x:x2}. Esto significa que debemos sombrear todos los números reales

higo 2.6.5.png
Figura2.6.5: Solo es necesario etiquetar el punto final.

que sean “menores o iguales a2” o “a la izquierda e inclusive”2. El conjunto resultante se sombrea en la Figura2.6.5.

Obsérvese la diferencia entre Figuras2.6.4 y2.6.45. En Figuras2.6.4 estamos sombreando el conjunto{x:x<2}, por lo que el número2 se deja sin sombra (un punto vacío). En Figuras2.6.5, estamos sombreando el conjunto{x:x2}, por lo que el número2 es sombreado (un punto rellenado).

Ejemplo2.6.1

Sombra el set{x:x3} en la línea real.

Solución

La notación{x:x3} se pronuncia “el conjunto de todos los números realesx tal quex sea mayor o igual a”3. Por lo tanto, necesitamos sombrear el número3 y todos los números reales a la derecha de3.

Ejemplo 1.png

Ejercicio2.6.1

Sombra{x:x4} en la línea real.

Contestar

Ejercicio 1.png

Ejemplo2.6.2

Utilice la notación set-builder para describir el conjunto de números reales que están sombreados en la línea numérica a continuación.

Ejemplo 2.png

Solución

El número no1 está sombreado. Sólo los números a la izquierda de1 están sombreados. Este es el conjunto de todos los números realesx tal quex es “menor que”1. Así, describimos este conjunto con la siguiente notación set-builder:{x:x<1}

Ejercicio2.6.2

Utilice la notación set-builder para describir el siguiente conjunto de números reales:

Ejercicio 2.png

Contestar

{x:x>10}

Notación de intervalos

En Ejemplos2.6.1 y2.6.2, utilizamos notación set-builder para describir el conjunto de números reales mayores o iguales a3 y un segundo conjunto de números reales menores que1. Existe otro simbolismo matemático, llamado notación de intervalos, que se puede utilizar para describir estos conjuntos de números reales. Considere el primer conjunto de números de Ejemplo2.6.1,{x:x3}.

fig 2.6.b.png

Barriendo nuestros ojos “de izquierda a derecha”, usamos[3,) para describir este conjunto de números reales. Algunos comentarios están en orden:

  1. El soporte en el extremo izquierdo significa que3 está incluido en el conjunto.
  2. A medida que te mueves hacia el extremo derecho de la línea real, los números crecen sin ataduras. De ahí que el símbolo (infinito positivo) se utilice para indicar que estamos incluyendo todos los números reales a la derecha de3. No obstante, en realidad no es un número, así que usamos un paréntesis para indicar que estamos “no incluyendo” este punto ficticio.

El conjunto de números de Ejemplo2.6.1 es{x:x<1}.

fig 2.6.c.png

Barriendo nuestros ojos “de izquierda a derecha”, se describe con este conjunto de números reales(,1). Nuevamente, los comentarios están en orden:

  1. El número no1 está incluido en este conjunto. Para indicar que no está incluido, utilizamos un paréntesis.
  2. A medida que avanzas hacia el extremo izquierdo de la línea real, los números disminuyen sin límite. De ahí que el símbolo (infinito negativo) se utilice para indicar que estamos incluyendo todos los números reales a la izquierda de1. Nuevamente, no es un número real, por lo que usamos un paréntesis para indicar que no estamos incluyendo este punto “ficticio”.

Barrer los ojos de “izquierda a derecha”

Si desea asegurarse de que usa correctamente la notación de intervalos, coloque los números en su notación de intervalo en el mismo orden en que se encuentran mientras barre los ojos de “izquierda a derecha” en la línea real.

Un buen resumen de set-builder y notación de intervalo se presenta en Tabla2.6.1 al final de la sección.

Desigualdades equivalentes

Al igual que las ecuaciones, dos desigualdades son equivalentes si tienen los mismos conjuntos de soluciones.

Sumando o restando la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad

Dejara yb ser números reales cona<b
Sic es cualquier número real, entoncesa+c<b+c y Esac<bc decir, sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad produce una desigualdad equivalente (no cambia la solución).

Ejemplo2.6.3

Resolver parax:x27. Esboce la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.

Solución

Para “deshacer” restar2, sumamos2 a ambos lados de la desigualdad.

x27 Original inequality. x2+27+2 Add 2 to both sides. x9 Simplify both sides. 

Para sombrear los números reales menores o iguales a9, sombreamos el número9 y todos los números reales a la izquierda de9.

fig 2.6.d.png

Usando la notación set-builder, la solución es{x:x9}. Usando la notación de intervalos, la solución es(,9].

Ejercicio2.6.3

Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:x7<8.

Contestar

(,1)

Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por un número positivo, tenemos una desigualdad equivalente.

Multiplicar o dividir por un número positivo

Dejara yb ser números reales cona<b. Sic es un número positivo real, entoncesac<bc yac<bc

Ejemplo2.6.4

Resuelva parax:3x9 Sketch la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.

Solución

Para “deshacer” multiplicando por3, dividir ambos lados de la desigualdad por3. Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número positivo, no invertimos el signo de desigualdad.

3x9 Original inequality. 3x393 Divide both sides by 3.x3 Simplify both sides. 

Sombra los números reales menores o iguales a3.

fig 2.6.e.png

Usando la notación set-builder, la solución es{x:x3}. Usando la notación de intervalos, la solución es(,3].

Ejercicio2.6.4

Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:2x>8

Contestar

(4,)

Revertir el signo de desigualdad

Hasta este punto, parece que la técnica para resolver desigualdades es prácticamente idéntica a la técnica utilizada para resolver ecuaciones. No obstante, en esta sección nos vamos a encontrar con una excepción.

Supongamos que comenzamos con la desigualdad válida2<5, luego multiplicamos ambos lados por2,3, y4.

2<52<52<52(2)<2(5)3(2)<3(5)4(2)<4(5)4<106<158<20

Obsérvese que en cada caso, la desigualdad resultante sigue siendo válida.

Caution! We’re about to make an error!

Empezar de nuevo con2<5, pero esta vez multiplicar ambos lados por2,3, y4.

2<52<52<52(2)<2(5)3(2)<3(5)4(2)<4(5)4<106<158<20

¡En cada una de las desigualdades resultantes, el símbolo de la desigualdad señala el camino equivocado!

Cuando multiplicas ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debes revertir el signo de desigualdad. Empezando por2<5, multiplique ambos lados por2,3, y4, pero invierta el símbolo de desigualdad.

Algunos lectores podrían preferir una razón más formal de por qué invertimos la desigualdad cuando multiplicamos ambos lados por un número negativo. Supongamos quea<b. Entonces, restarb de ambos lados da el resultadoab<0. Esto quiere decir queab es un número negativo. Ahora bien, sic es un número negativo, entonces el producto(ab)c es positivo. Entonces:

(ab)c>0acbc>0acbc+bc>0+bcac>bc

Así, si empiezas cona<b yc<0, entoncesac>bc.

Multiplicar o dividir por un número negativo

Dejara yb ser números reales cona<b. Sic es un número negativo real, entoncesac>bc y Esac>bc decir, al multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número negativo, se debe revertir el signo de desigualdad.

Ejemplo2.6.5

Resolver parax:2x<4. Esboce la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.

Solución

Para “deshacer” multiplicando por2, dividir ambos lados por2. Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número negativo, invertimos el signo de desigualdad.

2x<4 Original inequality. 2x2>42 Divide both sides by 2x>2 Reverse the inequality sign. x>2 Simplify both sides. 

Sombra los números reales mayores que2.

fig 2.6.f.png

Usando la notación set-builder, la solución es{x:x>2}. Usando la notación de intervalos, la solución es(2,).

Ejercicio2.6.5

Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:3x6

Contestar

(,2]

Múltiples pasos

En ocasiones es necesario realizar una secuencia de pasos para llegar a la solución.

Ejemplo2.6.6

Resolver parax:2x+5>7. Esboce la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.

Solución

Para “deshacer” sumar5, restar5 de ambos lados de la desigualdad.

2x+5>7 Original inequality. 2x+55>75 Subtract 5 from both sides. 2x>12 Simplify both sides. 

Para “deshacer” multiplicando por2, dividir ambos lados por2. Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número positivo, no invertimos el signo de desigualdad.

2x2>122 Divide both sides by 2x>6 Simplify both sides. 

Sombra los números reales mayores que6.

fig 2.6.g.png

Usando la notación set-builder, la solución es{x:x>6}. Usando la notación de intervalos, la solución es(6,).

Ejercicio2.6.6

Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:3x24

Contestar

(,2]

Ejemplo2.6.7

Resolver parax:35x2x+17. Esboce la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.

Solución

Necesitamos aislar términos que contenganx en un lado de la desigualdad. Empezar restando2x de ambos lados de la desigualdad.

35x2x+17 Original inequality. 35x2x2x+172x Subtract 2x from both sides. 37x17 Simplify both sides. 

Seguimos aislando términos que contienenx en un lado de la desigualdad. Restar3 de ambos lados.

37x3173 Subtract 3 from both sides. 7x14 Simplify both sides. 

Para “deshacer” multiplicando por7, dividir ambos lados por7. Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número negativo, invertimos el signo de desigualdad.

7x7147 Divide both sides by 7x2 Simplify both sides. 

fig 2.6.h.png

Usando la notación set-builder, la solución es{x:x2}. Usando la notación de intervalos, la solución es[2,).

Ejercicio2.6.7

Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:4x>2x+1

Contestar

(,1)

Despejamos fracciones de una desigualdad de la manera habitual, multiplicando ambas partes por el mínimo denominador común.

Ejemplo2.6.8

Resolver parax:34x12>13.

Solución

Primero, despejar las fracciones de la desigualdad multiplicando ambos lados por el mínimo denominador común, que en este caso lo es12.

34x12>13 Original inequality. 12[34x12]>[13]12 Multiply both sides by 12.12[34]12[x12]>[13]12 Distribute the 12.9x>4 Cancel and Multiply. 

Para “deshacer” sumar9, restar9 de ambos lados.

9x9>49 Subtract 9 from both sides. x>5 Simplify both sides. 

Podríamos dividir ambos lados por1, pero multiplicar ambos lados por también1 hará el trabajo. Debido a que estamos multiplicando ambos lados por un número negativo, invertimos el signo de desigualdad.

(1)(x)<(5)(1) Multiply both sides by 1. Reverse the inequality sign. x<5 Simplify both sides. 

Sombra los números reales menos que5.

fig 2.6.i.png

Usando la notación set-builder, la solución es{x:x<5}. Usando la notación de intervalos, la solución es(,5).

Ejercicio2.6.8

Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:2x33432

Contestar

[98,)

Despejamos decimales de una desigualdad de la manera habitual, multiplicando ambos lados por el poder apropiado de diez.

Ejemplo2.6.9

Resolver parax:3.251.2x>4.6.

Solución

Primero, despeja los decimales de la desigualdad multiplicando ambos lados por100, lo que mueve cada punto decimal dos lugares a la derecha.

3.251.2x>4.6 Original inequality. 325120x>460 Multiply both sides by 100.325120x325>460325 Subtract 325 from both sides. 120x>135 Simplify both sides. 120x120<135120 Divide both sides by 120. Reverse the inequality sign.x<2724Reduce to lowest terms.

Sombra los números reales menos que27/24.

fig 2.6.j.png

Usando la notación set-builder, la solución es{x:x<27/24}. Usando la notación de intervalos, la solución es(,27/24).

Ejercicio2.6.9

Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:2.3x5.621.4

Contestar

[211115,)

Tabla Resumen de Set-Builder y Notación de Intervalos

Una tabla resumida del conjunto constructor y notación de intervalo se presenta en Tabla2.6.1.

Tabla2.6.1: Ejemplos de set-builder y notación de intervalos.
Sombreado en la línea real Constructor de conjuntos Intervalo
fig 2.6.k.png {x:x>5} (5,)
fig 2.6.l.png {x:x5} [5,)
higo 2.6.m.png {x:x<5} (,5)
higo 2.6.m.png {x:x5} (,5]

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