2.6: Desigualdades
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En el Capítulo 1, introdujimos los números naturalesN={1,2,3,…}, los númerosW={0,1,2,3,…} enteros y los enterosZ={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Posteriormente en el capítulo, introdujimos los números racionales, los números de la formap/q, dondep yq son enteros. Señalamos que tanto los decimales terminantes como los repetidos son números racionales. Cada uno de estos números tiene una posición única en la recta numérica (ver Figura2.6.1).

Los números naturales, números enteros y enteros también son números racionales, porque cada uno puede expresarse en la formapq, dondep yq son enteros. Por ejemplo,0=012,4=41, y−3=−124. En efecto, los números racionales contienen todos los números que hemos estudiado hasta este momento en el curso. Sin embargo, no todos los números son números racionales. Por ejemplo, considere el número decimal−3.10110111011110…, que ni termina ni repite. El número√2=1.414213562373095… también equivale a un número decimal que nunca termina y nunca se repite. Se puede hacer una declaración similar sobre el númeroπ=3.141592653589793… Cada uno de estos números irracionales (no racionales) también tiene una posición única en la recta numérica (ver Figura2.6.2).

Otros dos números irracionales que puedes encontrar en tus estudios matemáticos sone (la constante de Euler), que es aproximadamente igual ae≈2.71828182845904…, yϕ (pronunciado “phi”), llamado la proporción áurea, que es igualϕ=1+√52. El númeroe surge en aplicaciones que involucran interés compuesto, probabilidad y otras áreas de las matemáticas. El númeroϕ se utiliza en los mercados financieros y también podría decirse que es la proporción de belleza en el arte y la arquitectura.
Los números reales
Si combinamos todos los números racionales e irracionales en una colección, entonces tenemos un conjunto de números que se llama el conjunto de números reales. El conjunto de números reales se denota con el símboloR.
Cada punto de la línea numérica está asociado con un número real único. Por el contrario, cada número real está asociado con una posición única en la recta numérica. En lugar de esta correspondencia, la línea numérica suele llamarse línea real.
Ordenar los números reales
Los números reales se ordenan en la línea real de una manera idéntica a como ordenamos los números enteros en la línea numérica en la Sección 1 del Capítulo 1.
Orden en la Línea Real
Supongamos quea yb son números reales posicionados en la línea real como se muestra a continuación.
- Porquea miente a la “izquierda de”b, decimos quea es “menor que”b, o en símbolos matemáticos,a<b. El símbolo de desigualdad< se lee “menos que”.
- Como alternativa,b se encuentra a la “derecha de”a, por lo que también podemos decir queb es “mayor que”a, o en símbolos matemáticos,b>a. El símbolo de desigualdad> se lee “mayor que”.
Aquí hay dos símbolos de desigualdad más que usaremos en esta sección.
Menor o igual a
Si queremos decir quea miente a la “izquierda de”b, o comparte la misma posición queb, entonces decimos quea es “menor o igual a”b y escribimosa≤b. El símbolo de desigualdad≤ se pronuncia “menor o igual a”.
Mayor o igual a
Si queremos decir queb miente al “derecho de”a, o comparte la misma posición quea, entonces decimos queb es “mayor o igual a”a y escribimosb≥a. El símbolo de desigualdad≥ se pronuncia “mayor o igual a”.
Notación de Set-Builder
Los matemáticos utilizan un constructo llamado notación set-builder para describir conjuntos o colecciones de números. La forma general de notación set-builder se ve de la siguiente manera:{x: some statement about x} Por ejemplo, supongamos que queremos describir el conjunto de “todos los números reales que son menores que”2. Podríamos usar la siguiente notación:A={x:x<2}
Esto se lee en voz alta de la siguiente manera: “Aequivale al conjunto de todos losx tales quex es menor que”2. Algunos prefieren usar una barra vertical en lugar de dos puntos. A={x|x<2}En este texto usamos los dos puntos en la notación set-builder, pero no dude en usar la barra vertical en su lugar. Significan lo mismo. Todavía se podría objetar que la notación{x:x<2} es un poco vaga. Una objeción podría ser “¿A qué tipo de númerosx se refiere? ¿Quieres los enteros que son menores de dos o quieres los números reales que son menos de dos?” Como puede ver, se trata de una objeción válida. Una forma de abordar esta objeción es escribir:A={x∈R:x<2} or A={x∈N:x<2} La primera se lee “Aes el conjunto de todosx enR que son menos de dos”, mientras que la segunda se lee “Aes el conjunto de todosx enN que son menos de dos”.
Asunción de Set-Builder
En este texto, a menos que exista una referencia específica al conjunto de números deseados, asumiremos que la notación{x:x<2} está pidiendo el conjunto de todos los números reales menores que2.
En Figura2.6.3, hemos sombreado el conjunto de números reales{x:x<2}. Porque

“menos que” es lo mismo que decir “izquierda de”, hemos sombreado (en rojo) todos los puntos de la línea real que se encuentran a la izquierda del número dos. Tenga en cuenta que hay un “círculo vacío” en el número dos. El punto que representa al número dos no está sombreado porque solo nos pidieron que sombreáramos los números que son estrictamente menores a dos.
Si bien el sombreado en Figura2.6.3 es perfectamente válido, gran parte de la información proporcionada en Figura2.6.3 es innecesaria (y quizás distrae). Solo necesitamos etiquetar el punto final y sombrear los números reales a la izquierda de dos, como hemos hecho en la construcción de la Figura2.6.4.

Por contraste, supongamos en cambio que se nos pide que sombreemos el conjunto de números reales{x:x≤2}. Esto significa que debemos sombrear todos los números reales

que sean “menores o iguales a2” o “a la izquierda e inclusive”2. El conjunto resultante se sombrea en la Figura2.6.5.
Obsérvese la diferencia entre Figuras2.6.4 y2.6.45. En Figuras2.6.4 estamos sombreando el conjunto{x:x<2}, por lo que el número2 se deja sin sombra (un punto vacío). En Figuras2.6.5, estamos sombreando el conjunto{x:x≤2}, por lo que el número2 es sombreado (un punto rellenado).
Ejemplo2.6.1
Sombra el set{x:x≥−3} en la línea real.
Solución
La notación{x:x≥−3} se pronuncia “el conjunto de todos los números realesx tal quex sea mayor o igual a”−3. Por lo tanto, necesitamos sombrear el número−3 y todos los números reales a la derecha de−3.
Ejercicio2.6.1
Sombra{x:x≤4} en la línea real.
- Contestar
-
Ejemplo2.6.2
Utilice la notación set-builder para describir el conjunto de números reales que están sombreados en la línea numérica a continuación.
Solución
El número no−1 está sombreado. Sólo los números a la izquierda de−1 están sombreados. Este es el conjunto de todos los números realesx tal quex es “menor que”−1. Así, describimos este conjunto con la siguiente notación set-builder:{x:x<−1}
Ejercicio2.6.2
Utilice la notación set-builder para describir el siguiente conjunto de números reales:
- Contestar
-
{x:x>−10}
Notación de intervalos
En Ejemplos2.6.1 y2.6.2, utilizamos notación set-builder para describir el conjunto de números reales mayores o iguales a−3 y un segundo conjunto de números reales menores que−1. Existe otro simbolismo matemático, llamado notación de intervalos, que se puede utilizar para describir estos conjuntos de números reales. Considere el primer conjunto de números de Ejemplo2.6.1,{x:x≥−3}.
Barriendo nuestros ojos “de izquierda a derecha”, usamos[−3,∞) para describir este conjunto de números reales. Algunos comentarios están en orden:
- El soporte en el extremo izquierdo significa que−3 está incluido en el conjunto.
- A medida que te mueves hacia el extremo derecho de la línea real, los números crecen sin ataduras. De ahí que el∞ símbolo (infinito positivo) se utilice para indicar que estamos incluyendo todos los números reales a la derecha de−3. No obstante, en realidad no∞ es un número, así que usamos un paréntesis para indicar que estamos “no incluyendo” este punto ficticio.
El conjunto de números de Ejemplo2.6.1 es{x:x<−1}.
Barriendo nuestros ojos “de izquierda a derecha”, se describe con este conjunto de números reales(−∞,−1). Nuevamente, los comentarios están en orden:
- El número no−1 está incluido en este conjunto. Para indicar que no está incluido, utilizamos un paréntesis.
- A medida que avanzas hacia el extremo izquierdo de la línea real, los números disminuyen sin límite. De ahí que el−∞ símbolo (infinito negativo) se utilice para indicar que estamos incluyendo todos los números reales a la izquierda de−1. Nuevamente, no−∞ es un número real, por lo que usamos un paréntesis para indicar que no estamos incluyendo este punto “ficticio”.
Barrer los ojos de “izquierda a derecha”
Si desea asegurarse de que usa correctamente la notación de intervalos, coloque los números en su notación de intervalo en el mismo orden en que se encuentran mientras barre los ojos de “izquierda a derecha” en la línea real.
Un buen resumen de set-builder y notación de intervalo se presenta en Tabla2.6.1 al final de la sección.
Desigualdades equivalentes
Al igual que las ecuaciones, dos desigualdades son equivalentes si tienen los mismos conjuntos de soluciones.
Sumando o restando la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad
Dejara yb ser números reales cona<b
Sic es cualquier número real, entoncesa+c<b+c y Esa−c<b−c decir, sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad produce una desigualdad equivalente (no cambia la solución).
Ejemplo2.6.3
Resolver parax:x−2≤7. Esboce la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.
Solución
Para “deshacer” restar2, sumamos2 a ambos lados de la desigualdad.
x−2≤7 Original inequality. x−2+2≤7+2 Add 2 to both sides. x≤9 Simplify both sides.
Para sombrear los números reales menores o iguales a9, sombreamos el número9 y todos los números reales a la izquierda de9.
Usando la notación set-builder, la solución es{x:x≤9}. Usando la notación de intervalos, la solución es(−∞,9].
Ejercicio2.6.3
Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:x−7<−8.
- Contestar
-
(−∞,−1)
Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por un número positivo, tenemos una desigualdad equivalente.
Multiplicar o dividir por un número positivo
Dejara yb ser números reales cona<b. Sic es un número positivo real, entoncesac<bc yac<bc
Ejemplo2.6.4
Resuelva parax:3x≤−9 Sketch la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.
Solución
Para “deshacer” multiplicando por3, dividir ambos lados de la desigualdad por3. Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número positivo, no invertimos el signo de desigualdad.
3x≤−9 Original inequality. 3x3≤−93 Divide both sides by 3.x≤−3 Simplify both sides.
Sombra los números reales menores o iguales a−3.
Usando la notación set-builder, la solución es{x:x≤−3}. Usando la notación de intervalos, la solución es(−∞,−3].
Ejercicio2.6.4
Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:2x>−8
- Contestar
-
(−4,∞)
Revertir el signo de desigualdad
Hasta este punto, parece que la técnica para resolver desigualdades es prácticamente idéntica a la técnica utilizada para resolver ecuaciones. No obstante, en esta sección nos vamos a encontrar con una excepción.
Supongamos que comenzamos con la desigualdad válida−2<5, luego multiplicamos ambos lados por2,3, y4.
−2<5−2<5−2<52(−2)<2(5)3(−2)<3(5)4(−2)<4(5)−4<10−6<15−8<20
Obsérvese que en cada caso, la desigualdad resultante sigue siendo válida.
Caution! We’re about to make an error!
Empezar de nuevo con−2<5, pero esta vez multiplicar ambos lados por−2,−3, y−4.
−2<5−2<5−2<5−2(−2)<−2(5)−3(−2)<−3(5)−4(−2)<−4(5)4<−106<−158<−20
¡En cada una de las desigualdades resultantes, el símbolo de la desigualdad señala el camino equivocado!
Cuando multiplicas ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debes revertir el signo de desigualdad. Empezando por−2<5, multiplique ambos lados por−2,−3, y−4, pero invierta el símbolo de desigualdad.
Algunos lectores podrían preferir una razón más formal de por qué invertimos la desigualdad cuando multiplicamos ambos lados por un número negativo. Supongamos quea<b. Entonces, restarb de ambos lados da el resultadoa−b<0. Esto quiere decir quea−b es un número negativo. Ahora bien, sic es un número negativo, entonces el producto(a−b)c es positivo. Entonces:
(a−b)c>0ac−bc>0ac−bc+bc>0+bcac>bc
Así, si empiezas cona<b yc<0, entoncesac>bc.
Multiplicar o dividir por un número negativo
Dejara yb ser números reales cona<b. Sic es un número negativo real, entoncesac>bc y Esac>bc decir, al multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número negativo, se debe revertir el signo de desigualdad.
Ejemplo2.6.5
Resolver parax:−2x<4. Esboce la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.
Solución
Para “deshacer” multiplicando por−2, dividir ambos lados por−2. Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número negativo, invertimos el signo de desigualdad.
−2x<4 Original inequality. −2x−2>4−2 Divide both sides by −2x>−2 Reverse the inequality sign. x>−2 Simplify both sides.
Sombra los números reales mayores que−2.
Usando la notación set-builder, la solución es{x:x>−2}. Usando la notación de intervalos, la solución es(−2,∞).
Ejercicio2.6.5
Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:−3x≥−6
- Contestar
-
(−∞,2]
Múltiples pasos
En ocasiones es necesario realizar una secuencia de pasos para llegar a la solución.
Ejemplo2.6.6
Resolver parax:2x+5>−7. Esboce la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.
Solución
Para “deshacer” sumar5, restar5 de ambos lados de la desigualdad.
2x+5>−7 Original inequality. 2x+5−5>−7−5 Subtract 5 from both sides. 2x>−12 Simplify both sides.
Para “deshacer” multiplicando por2, dividir ambos lados por2. Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número positivo, no invertimos el signo de desigualdad.
2x2>−122 Divide both sides by 2x>−6 Simplify both sides.
Sombra los números reales mayores que−6.
Usando la notación set-builder, la solución es{x:x>−6}. Usando la notación de intervalos, la solución es(−6,∞).
Ejercicio2.6.6
Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:3x−2≤4
- Contestar
-
(−∞,2]
Ejemplo2.6.7
Resolver parax:3−5x≤2x+17. Esboce la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalos para describir su solución.
Solución
Necesitamos aislar términos que contenganx en un lado de la desigualdad. Empezar restando2x de ambos lados de la desigualdad.
3−5x≤2x+17 Original inequality. 3−5x−2x≤2x+17−2x Subtract 2x from both sides. 3−7x≤17 Simplify both sides.
Seguimos aislando términos que contienenx en un lado de la desigualdad. Restar3 de ambos lados.
3−7x−3≤17−3 Subtract 3 from both sides. −7x≤14 Simplify both sides.
Para “deshacer” multiplicando por−7, dividir ambos lados por−7. Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número negativo, invertimos el signo de desigualdad.
−7x−7≥14−7 Divide both sides by −7x≥−2 Simplify both sides.
Usando la notación set-builder, la solución es{x:x≥−2}. Usando la notación de intervalos, la solución es[−2,∞).
Ejercicio2.6.7
Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:4−x>2x+1
- Contestar
-
(−∞,1)
Despejamos fracciones de una desigualdad de la manera habitual, multiplicando ambas partes por el mínimo denominador común.
Ejemplo2.6.8
Resolver parax:34−x12>13.
Solución
Primero, despejar las fracciones de la desigualdad multiplicando ambos lados por el mínimo denominador común, que en este caso lo es12.
34−x12>13 Original inequality. 12[34−x12]>[13]12 Multiply both sides by 12.12[34]−12[x12]>[13]12 Distribute the 12.9−x>4 Cancel and Multiply.
Para “deshacer” sumar9, restar9 de ambos lados.
9−x−9>4−9 Subtract 9 from both sides. −x>−5 Simplify both sides.
Podríamos dividir ambos lados por−1, pero multiplicar ambos lados por también−1 hará el trabajo. Debido a que estamos multiplicando ambos lados por un número negativo, invertimos el signo de desigualdad.
(−1)(−x)<(−5)(−1) Multiply both sides by −1. Reverse the inequality sign. x<5 Simplify both sides.
Sombra los números reales menos que5.
Usando la notación set-builder, la solución es{x:x<5}. Usando la notación de intervalos, la solución es(−∞,5).
Ejercicio2.6.8
Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:2x3−34≥−32
- Contestar
-
[−98,∞)
Despejamos decimales de una desigualdad de la manera habitual, multiplicando ambos lados por el poder apropiado de diez.
Ejemplo2.6.9
Resolver parax:3.25−1.2x>4.6.
Solución
Primero, despeja los decimales de la desigualdad multiplicando ambos lados por100, lo que mueve cada punto decimal dos lugares a la derecha.
3.25−1.2x>4.6 Original inequality. 325−120x>460 Multiply both sides by 100.325−120x−325>460−325 Subtract 325 from both sides. −120x>135 Simplify both sides. −120x−120<135−120 Divide both sides by −120. Reverse the inequality sign.x<−2724Reduce to lowest terms.
Sombra los números reales menos que−27/24.
Usando la notación set-builder, la solución es{x:x<−27/24}. Usando la notación de intervalos, la solución es(−∞,−27/24).
Ejercicio2.6.9
Utilice la notación de intervalos para describir la solución de:2.3x−5.62≥−1.4
- Contestar
-
[211115,∞)
Tabla Resumen de Set-Builder y Notación de Intervalos
Una tabla resumida del conjunto constructor y notación de intervalo se presenta en Tabla2.6.1.
Sombreado en la línea real | Constructor de conjuntos | Intervalo |
---|---|---|
![]() |
{x:x>−5} | (−5,∞) |
![]() |
{x:x≥−5} | [−5,∞) |
![]() |
{x:x<−5} | (−∞,−5) |
![]() |
{x:x≤−5} | (−∞,−5] |