5.3: Aplicaciones de polinomios
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En esta sección investigamos las aplicaciones del mundo real de las funciones polinómicas.
Ejemplo5.3.1
El precio promedio de un galón de gas al inicio de cada mes para el periodo que inicia en noviembre de 2010 y termina en mayo de 2011 se dan en el margen. Los datos se trazan en la Figura5.3.1 y se fijan con el siguiente polinomio de tercer grado, donde t es el número de meses que han pasado desde octubre de 2010.
p(t)=−0.0080556t3+0.11881t2−0.30671t+3.36
Usa la gráfica y luego el polinomio para estimar el precio de un galón de gas en California en febrero de 2011.

Month Price Nov. 3.14 Dec. 3.21 Jan 3.31 Mar. 3.87 Apr. 4.06 May 4.26
Solución
Localizar Febrero (t=4) en el eje horizontal. A partir de ahí, dibuje una flecha vertical hacia arriba hasta la gráfica, y desde ese punto de intersección, una segunda flecha horizontal sobre el eje vertical (ver Figura5.3.2). Parecería que el precio por galón en febrero era aproximadamente$3.51.

A continuación, utilizaremos el polinomio de tercer grado fitted para aproximar el precio por galón para el mes de febrero de 2011. Comience con la función determinada por la ecuación\ ref {Eq5.3.1} y sustituya4t.
p(t)=−0.0080556t3+0.11881t2−0.30671t+3.36p(4)=−0.0080556(4)3+0.11881(4)2−0.30671(4)+3.36
Utilice la calculadora para evaluarp(4) (ver Figura5.3.3). Redondeo al más cercano

centavo, el precio en febrero era$3.52 por galón.
Ejemplo5.3.2
Si un proyectil se enciende en el aire, su altura sobre el suelo en cualquier momento viene dada por la fórmula
y=y0+v0t−12gt2
donde
y= altura sobre el suelo en el momentot
y0= altura inicial sobre el suelo en el momentot=0
v0= velocidad inicial en el tiempot=0
g= aceleración por gravedad
t= el tiempo transcurrido desde el lanzamiento del proyectil
Si se lanza un proyectil con una velocidad inicial de100 metros por segundo (100m/s) desde una azotea8 a metros (8m) sobre el nivel del suelo, ¿en qué momento alcanzará el proyectil primero una altura de400 metros (400m)? Nota: Cerca de la superficie terrestre, la aceleración debida a la gravedad es aproximadamente9.8 metros por segundo por segundo (9.8(m/s) /s o9.8 m/s 2).
Solución
Se nos da la altura inicial esy0=8 m, la velocidad inicial esv0=100 m/s, y la aceleración por gravedad esg=9.8 m/s 2. Sustituya estos valores en la Ecuación\ ref {Eq5.3.2}, luego simplifique para producir el siguiente resultado:
y=y0+v0t−12gt2y=8+100t−12(9.8)t2y=8+100t−4.9t2
Ingresey=8+100t−4.9t2 comoY1=8+100∗X−4.9∗X∧2 en el menú Y= (vea la primera imagen en la Figura5.3.4). Después de alguna experimentación, nos fijamos en los parámetros VENTANA mostrados en la segunda imagen de la Figura5.3.4. Pulsa el botón GRAPH para producir la gráfica de la figuray=8+100t−4.9t2 mostrada en la tercera imagen5.3.4.
En este ejemplo, el eje horizontal es en realidad elt-axis. So when we set Xmin and Xmax, we’re actually setting bounds on the t-axis.

Para encontrar cuando el proyectil alcanza una altura de400 metros (400m), sustituya400y para obtener:
400=8+100t−4.9t2
Ingrese el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {Eq5.3.3} enY2 en el menú Y=, como se muestra en la primera imagen de la Figura5.3.5. Pulse el botón GRAPH para producir el resultado mostrado en la segunda imagen de la Figura5.3.5. Tenga en cuenta que hay dos puntos de intersección, lo cual tiene sentido ya que el proyectil golpea400 metros en el camino hacia arriba y400 metros en el camino hacia abajo.

Para encontrar el primer punto de intersección, seleccione 5:intersectar en el menú CALC. Presione INTRO en respuesta a “Primera curva”, luego presione ENTRAR nuevamente en respuesta a “Segunda curva”. Para tu conjetura, usa las teclas de flecha para acercar el cursor al primer punto de intersección que al segundo. En este punto, presione ENTRAR en respuesta a “Guess”. El resultado se muestra en la tercera imagen de la Figura5.3.5. El primer proyectil alcanza una altura de400 metros aproximadamente5.2925359 segundos después del lanzamiento.

La parábola mostrada en la Figura5.3.6 is not the actual flight path of the projectile. The graph only predicts the height of the projectile as a function of time.
Reportando la solución en tu tarea: Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Usa una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.
- Etiquete los ejes horizontal y vertical cont yy, respectivamente (ver Figura5.3.6). Incluya las unidades (segundos (s) y metros (m)).
- Coloca tus parámetros WINDOW al final de cada eje (ver Figura5.3.6). Incluya las unidades (segundos (s) y metros (m)).
- Etiquetar cada gráfica con su ecuación (ver Figura5.3.6).
- Dibuje una línea vertical discontinua a través del primer punto de intersección. Sombra y etiquete el punto (con sut valor) donde la línea vertical discontinua cruza elt eje. Esta es la primera solución de la ecuación400=8+100t−4.9t2 (ver Figura5.3.6).
Redondeando a la décima de segundo más cercana, el proyectil tarda aproximadamentet≈5.3 segundos en alcanzar primero una altura de400 metros.
La frase “sombrear y etiquetar el punto” significa fillar en el punto delt-axis, then write the t-value of the point just below the shaded point.
Ejercicio5.3.2
Si se lanza un proyectil con una velocidad inicial60 meters per second from a rooftop 12 meters above ground level, at what time will the projectile de primer alcance una altura de150 meters?
- Responder
-
≈3.0693987segundos
Ceros ex intercepciones de una función
Recordemos esof(x) yy son intercambiables. Por lo tanto, si se nos pide encontrar dónde una función es igual a cero, entonces necesitamos encontrar los puntos en la gráfica de la función que tienen uny -valor igual a cero (ver Figura5.3.7).

Ceros yx-intercepts
Los puntos donde la gráfica fuera cruza elx eje -se denominan lasx -intercepciones de la gráfica def. Elx -valor de cadax -intercepción se llama cero de la funciónf.
La gráfica def cruza elx eje -en la Figura5.3.7 en(−3,0),(−1,0), y(3,0). Por lo tanto:
- Losx -interceptos de f son:(−3,0),(−1,0), y(3,0)
- Los ceros def son:−3,−1, y3
Idea clave
Una función es cero donde su gráfica cruza elx eje.
Ejemplo5.3.3
Encuentra los cero (s) de la funciónf(x)=1.5x+5.25.
Solución
Recuerda,f(x)=1.5x+5.25 yy=1.5x+5.25 son equivalentes. Estamos buscando el valor dex que hacey=0 of(x)=0. Entonces, comenzaremos conf(x)=0, luego reemplazaremosf(x) con1.5x+5.25.
f(x)=0 We want the value of x that makes the function equal to zero. 1.5x+5.25=0 Replace f(x) with 1.5x+5.25
Ahora resolvemos parax.
1.5x=−5.25 Subtract 5.25 from both sides. x=−5.251.5 Divide both sides by 1.5x=−3.5 Divide: −5.25/1.5=−3.5
Cheque: Sustituto−3.5x en la funciónf(x)=1.5x+5.25.
f(x)=1.5x+5.25 The original function. f(−3.5)=1.5(−3.5)+5.25 Substitute −3.5 for xf(−3.5)=−5.25+5.25 Multiply: 1.5(−3.5)=−5.25f(−3.5)=0 Add.
Tenga en cuenta que−3.5, cuando se sustituye porx, hace que la función seaf(x)=1.5x+5.25 igual a cero. Es por ello−3.5 que se llama cero de la función.
Solución de calculadora gráfica: Deberíamos ser capaces de encontrar el cero dibujando la gráficaf y anotando dónde cruza elx eje. Comience cargando la funciónf(x)=1.5x+5.25 enY1 en el menú Y= (vea la primera imagen en la Figura5.3.8).
Seleccione 6:ZStandard en el menú ZOOM para producir la gráfica def (ver la segunda imagen en la Figura5.3.8). Presiona 2ND CALC para abrir el menú CALCULAR (ver la tercera imagen en la Figura5.3.8). Para encontrar el cero de la funciónf:

- Seleccione 2:cero en el menú CALCULAR. La calculadora responde pidiendo un “¿Izquierda?” (ver la primera imagen en la Figura5.3.9). Use el botón de flecha izquierda para mover el cursor de manera que quede a la izquierdax de la intersección def y presione ENTRAR.
- La calculadora responde pidiendo un “¿Encuadernado a la derecha?” (ver la segunda imagen en la Figura5.3.9). Use el botón de flecha derecha para mover el cursor de manera que quede a la derechax de la intersección def y presione ENTRAR.
- La calculadora responde pidiendo un “¿Adivina?” (ver la tercera imagen en la Figura5.3.9). Siempre y cuando su cursor se encuentre entre las marcas de borde izquierdo y derecho en la parte superior de la pantalla (vea la tercera imagen en la Figura5.3.9), tiene una conjetura válida. Dado que el cursor ya se encuentra entre los límites izquierdo y derecho, simplemente presione ENTRAR para usar la posición actual del cursor como su suposición.

La calculadora responde aproximando el cero de la función como se muestra en la Figura5.3.10.

Tenga en cuenta que la aproximación encontrada usando la calculadora concuerda muy bien con el cero encontrado usando la técnica algebraica.
Ejercicio5.3.3
Encuentra el (los) cero (s) de la funciónf(x)=2.6x−9.62.
- Responder
-
3.7
Ejemplo5.3.4
¿Cuánto tiempo tardará el proyectil en Ejemplo en volver5.3.2 al nivel del suelo?
Solución
En Ejemplo5.3.2, la altura del proyectil sobre el suelo en función del tiempo viene dada por la ecuacióny=8+100t−4.9t2 Cuando el proyectil regresa al suelo, su altura sobre el suelo será de cero metros. Para encontrar el momento en que esto sucede, sustituyay=0 en la última ecuación y resuelva port. 0=8+100t−4.9t2Ingrese la ecuacióny=8+100t−4.9t2 enY1 en el menú Y= de su calculadora (vea la primera imagen en la Figura5.3.11), luego establezca los parámetros VENTANA que se muestran en la segunda imagen de la Figura5.3.11. Pulse el botón GRAPH para producir la gráfica de la función que se muestra en la tercera imagen de la Figura5.3.11.

En este ejemplo, el eje horizontal es en realidad elt-axis. So when we set Xmin and Xmax, we’re actually setting bounds on the t-axis.
Para encontrar el momento en que el proyectil vuelve al nivel del suelo, necesitamos encontrar donde la gráfica dey=8+100t−4.9t2 cruza el eje horizontal (en este caso el eje t). Seleccione 2:cero en el menú CALC. Use las teclas de flecha para mover el cursor ligeramente hacia la izquierdat de la intersección, luego presione ENTRAR en respuesta a “Límite izquierdo”. Mueva el cursor ligeramente a la derecha de la intersección en T, luego presione ENTRAR en respuesta a “Límite a la derecha”. Deja tu cursor donde está y presiona ENTRAR en respuesta a “Guess”. El resultado se muestra en la Figura5.3.11.
- Etiquete los ejes horizontal y vertical cont yy, respectivamente (ver Figura5.3.12). Incluya las unidades (segundos (s) y metros (m)).
- Coloca tus parámetros WINDOW al final de cada eje (ver Figura5.3.12).
- Etiquete la gráfica con su ecuación (ver Figura5.3.12).
- Dibuja una línea vertical discontinua a travést de la intersección. Sombra y etiquete elt valor -del punto donde la línea vertical discontinua cruza elt eje -eje. Esta es la solución de la ecuación0=8+100t−4.9t2 (ver Figura5.3.12).

Redondeando a la décima de segundo más cercana, el proyectil tarda aproximadamentet≈20.5 segundos en impactar contra el suelo.
Ejercicio5.3.4
Si se lanza un proyectil con una velocidad inicial de60 meters per second from a rooftop 12 meters above ground level, at what time will the projectile return to ground level?
- Responder
-
≈12.441734segundos