Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

5.4: Sumando y restando polinomios

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En esta sección nos concentramos en sumar y restar expresiones polinómicas, a partir de trabajos anteriores combinando términos similares en Poderes Ascendente y Descendente. Comencemos con un ejemplo de adición.

Ejemplo5.4.1

Simplificar:(a2+3abb2)+(4a2+11ab9b2)

Solución

Utilice las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden y reagruparse. Después combina términos similares.

(a2+3abb2)+(4a2+11ab9b2)=(a2+4a2)+(3ab+11ab)+(b29b2)=5a2+14ab10b2

Ejercicio5.4.1

Simplificar:(3s22st+4t2)+(s2+7st5t2)

Responder

4s2+5stt2

Combinemos algunas funciones polinómicas.

Ejemplo5.4.2

Dadof(x)=3x24x8 yg(x)=x211x+15, simplificarf(x)+g(x).

Solución

Primero, sustituirf(x) yg(x) con sus definiciones. Asegúrese de rodear cada polinomio con paréntesis, porque se nos pide que agreguemos todof(x) a todosg(x).

f(x)+g(x)=(3x24x8)+(x211x+15)Ahora usa las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden y reagruparse. Combina términos similares.

=(3x2+x2)+(4x11x)+(8+15)=4x215x+7

De ahí,f(x)+g(x)=4x215x+7.

Ejercicio5.4.2

Giv esf(x)=2x2+9x5 yg(x)=x24x+3, simplify f(x)+g(x).

Responder

x2+5x2

Si te sientes cómodo saltando uno o dos pasos, no es necesario anotar todos los pasos que se muestran en Ejemplos5.4.1 y5.4.2. Intentemos combinar mentalmente términos similares en el siguiente ejemplo.

Ejemplo5.4.3

Simplificar:(x32x2y+3xy2+y3)+(2x34x2y8xy2+5y3)

Solución

Si usamos la propiedad asociativa y conmutativa para reordenar y reagruparnos, luego combinamos términos similares, obtenemos el siguiente resultado.

(x32x2y+3xy2+y3)+(2x34x2y8xy2+5y3)=(x3+2x3)+(2x2y4x2y)+(3xy28xy2)+(y3+5y3)=3x36x2y5xy2+6y3

Sin embargo, si podemos combinar mentalmente términos similares, eliminando el paso medio, es mucho más eficiente escribir:

(x32x2y+3xy2+y3)+(2x34x2y8xy2+5y3)=3x36x2y5xy2+6y3

Ejercicio5.4.3

Simplificar:(5a2b+4ab3ab2)+(2a2b+7abab2)

Responder

3a2b+11ab4ab2d

Negando un polinomio

Antes de intentar restar polinomios, abordemos primero cómo negar o “tomar lo contrario” de un polinomio. Primero recordemos que negar equivale a multiplicar por1.

Negando

Sia hay algún número, entonces

a=(1)a.

Es decir, negar equivale a multiplicar por1.

Podemos utilizar esta propiedad para simplificar(a+b). Primero, negar es idéntico a multiplicar por1. Entonces podemos distribuir el1.

(a+b)=(1)(a+b) Negating is equivalent to multiplying by 1=(1)a+(1)b Distribute the 1.=a+(b) Simplify: (1)a=a and (1)b=b=ab Subtraction means add the opposite. 

Así,(a+b)=ab. Sin embargo, probablemente sea más sencillo señalar que el signo menos frente a los paréntesis simplemente cambió el signo de cada término dentro de los paréntesis.

Negando una suma

Al negar una suma de términos, el efecto del signo menos es cambiar cada término entre paréntesis al signo opuesto. (a+b)=ab

Veamos este principio en el siguiente ejemplo.

Ejemplo5.4.4

Simplificar:(3x2+4x8)

Solución

Primero, negar equivale a multiplicar por1. Después distribuir el1.

(3x2+4x8)=(1)(3x2+4x8)Negating is equivalent to multiplying by 1=(1)(3x2)+(1)(4x)(1)(8)Distribute the 1=3x2+(4x)(8)Simplify: (1)(3x2)=3x2,(1)(4x)=4x,and(1)(8)=8=3x24x+8Subtraction means add the opposite.

Solución alternativa:

Como vimos anteriormente, un signo negativo frente a un paréntesis simplemente cambia el signo de cada término dentro de los paréntesis. Por lo que es mucho más eficiente escribir(3x2+4x8)=3x24x+8 simplemente cambiando el signo de cada término dentro de los paréntesis.

Ejercicio5.4.4

Simplificar:(2x23x+9)

Responder

2x2+3x9

Restar polinomios

Ahora que sabemos negar un polinomio (cambiar el signo de cada término del polinomio), estamos listos para restar polinomios.

Ejemplo5.4.5

Simplificar:(y33y2z+4yz2+z3)(2y38y2z+2yz28z3)

Solución

Primero, distribuir el signo menos, cambiando el signo de cada término del segundo polinomio.

(y33y2z+4yz2+z3)(2y38y2z+2yz28z3)=y33y2z+4yz2+z32y3+8y2z2yz2+8z3

Reagruparse, combinando términos similares. Puedes realizar este siguiente paso mentalmente si lo deseas.

=(y32y3)+(3y2z+8y2z)+(4yz22yz2)+(z3+8z3)=y3+5y2z+2yz2+9z3

Ejercicio5.4.5

Simplificar:(4a2b+2ab7ab2)(2a2bab5ab2)

Responder

2a2b+3ab2ab2

Vamos a restar dos funciones polinómicas.

Ejemplo5.4.6

Dadop(x)=5x3+6x9 yq(x)=6x27x11, simplificarp(x)q(x).

Solución

Primero, sustituirp(x) yq(x) con sus definiciones. Debido a que se nos pide restar todoq(x) de todosp(x), es fundamental rodear cada polinomio con paréntesis.

p(x)q(x)=(5x3+6x9)(6x27x11)

Distribuye el signo menos, cambiando el signo de cada término en el segundo polinomio, luego reagrupa y combina términos similares.

=5x3+6x96x2+7x+11=5x36x2+(6x+7x)+(9+11)=5x36x2+13x+2

Sin embargo, después de distribuir el signo menos, si podemos combinar mentalmente términos similares, eliminando el paso medio, es mucho más eficiente escribir:

p(x)q(x)=(5x3+6x9)(6x27x11)=5x3+6x96x2+7x+11=5x36x2+13x+2

Ejercicio5.4.6

Dadof(x)=3x2+9x4 yg(x)=5x2+4x6, simplificarf(x)g(x).

Responder

8x2+5x+2

Algunas aplicaciones

Recordemos que el área de un rectángulo que tiene longitudL y anchuraW se encuentra usando la fórmulaA=LW. El área de un cuadrado que tiene lado s se encuentra usando la fórmulaA=s2 (ver Figura5.4.1).

higo 5.4.1.png
Figura5.4.1: Fórmulas de área para el rectángulo y el cuadrado.

Ejemplo5.4.7

Encuentra el área del cuadrado en la Figura5.4.2 sumando el área de sus partes.

higo 5.4.2.png
Figura5.4.2: Encuentra la suma de las partes.

Solución

Separar cada una de las cuatro piezas y etiquetar cada una con su área (ver Figura5.4.3).

higo 5.4.3.png
Figura5.4.3: Encontrar el área de cada una de las cuatro partes.

Los dos cuadrados sombreados en la Figura5.4.3 tienen áreasA1=x2 yA3=9, respectivamente. Los dos rectángulos no sombreados en la Figura5.4.3 tienen áreasA2=3x yA4=3x. Sumar estas cuatro áreas nos da el área de toda la figura.

A=A1+A2+A3+A4=x2+3x+9+3x=x2+6x+9

Ejercicio5.4.7

Encuentra el área del cuadrado que se muestra a continuación sumando el área de sus partes.

Ex 5.4.7.png
Figura5.4.4
Responder

x2+8x+16

Ejemplo5.4.8

Ginger dirige un negocio de venta de canastas de mimbre. Sus costos de negocio para producir y vender cestas dex mimbre vienen dados por la función polinómicaC(x)=100+3x0.02x2. El ingreso que obtiene al vender canastas dex mimbre viene dado por la función polinómicaR(x)=2.75x. Encuentra una fórmula paraP(x), el profit hecho a partir de la venta de cestasx de mimbre. Usa tu fórmula para determinar el perfil de Ginger si vende canastas123 de mimbre.

Solución

El profit hecho de la venta de cestas dex mimbre se encuentra restando los costos incurridos de los ingresos recibidos. En símbolos:P(x)=R(x)C(x)
Siguiente, reemplaceR(x) yC(x) con sus definiciones. Debido a que se supone que debemos restar todo el costo de los ingresos, asegúrese de rodear el polinomio de costos con paréntesis. P(x)=2.75x(100+3x0.02x2)
Distribuye el signo menos y combina términos similares.

=2.75x1003x+0.02x2=0.02x20.25x100

Así, la función profit esP(x)=0.02x20.25x100.

A continuación, para determinar el profit si se venden cestas de123 mimbre, sustituya123x en la función profitP(x).

P(x)=0.02x20.25x100P(123)=0.02(123)20.25(123)100

Ahora puedes usar tu calculadora gráfica para determinar el perfil (ver Figura5.4.5). De ahí que el profit hecho a partir de la venta de canastas de123 mimbre es$171.83.

higo 5.4.5.png
Figura5.4.5: Determinar el rendimiento de la venta de canastas123 de mimbre.

Ejercicio5.4.8

Los costos de producción y venta dex widgets are given by the polynomial function C(x)=50+5x0.5x2, and the revenue for selling x widgets is given by the polynomial function R(x)=3.5x. Determine the profit si75 widgets are sold.

Responder

$2,650


This page titled 5.4: Sumando y restando polinomios is shared under a CC BY-NC-ND 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by David Arnold via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

Support Center

How can we help?