6.2: Resolver ecuaciones no lineales
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Comenzamos introduciendo una propiedad que será utilizada ampliamente en esta y futuras secciones.
La propiedad del producto cero
Si el producto de dos o más números es igual a cero, entonces al menos uno de los números debe ser igual a cero. Es decir, si
ab=0
entonces
a=0ob=0
Usemos la propiedad cero del producto para resolver algunas ecuaciones.
Ejemplo6.2.1
Resolver parax:(x+3)(x−5)=0
Solución
El producto de dos factores es igual a cero.
(x+3)(x−5)=0
De ahí que al menos uno de los factores debe ser igual a cero. Usando la propiedad cero del producto, establezca cada factor igual a cero, luego resuelva las ecuaciones resultantes parax.
x+3=0x=−3
o
x−5=0x=5
Por lo tanto, las soluciones sonx=−3 yx=5
Comprobar:
Compruebe que cada solución satisfaga la ecuación original.
Sustituto−3 dex:
(x+3)(x−5)=0(−3+3)(−3−5)=0(0)(−8)=00=0
Sustituto5 dex:
(x+3)(x−5)=0(5+3)(5−5)=0(8)(0)=00=0
Porque cada cheque produce una declaración verdadera, ambosx=−3 yx=5 son soluciones de(x+3)(x−5)=0.
Ejercicio6.2.1
Resolver para x:(x−7)(x−2)=0
- Contestar
-
7,2
La propiedad cero del producto también funciona igual de bien si hay más de dos factores presentes. Por ejemplo, siabc=0, entonces cualquieraa=0 ob=0 oc=0. Usemos esta idea en el siguiente ejemplo.
Ejemplo6.2.2
Resolver parax:x(2x+9)(3x−5)=0
Solución
El producto de tres factores es igual a cero.
x(2x+9)(3x−5)=0
Usando la propiedad cero del producto, establezca cada factor igual a cero, luego resuelva las ecuaciones resultantes parax.
x=0
o
2x+9=02x=−9x=−92
o
3x−5=03x=5x=53
De ahí que las soluciones seanx=0,x=−9/2, yx=5/3. Animamos al lector a verificar la solución.
Ejercicio6.2.2
Resolver parax:6x(x+4)(5x+1)=0
- Contestar
-
0,−4,−1/5
Lineal versus no lineal
Todas las ecuaciones resueltas en capítulos anteriores fueron ejemplos de lo que se denominan ecuaciones lineales. Si la mayor potencia de la variable que estamos resolviendo es una, entonces las gráficas involucradas son líneas. De ahí el término, ecuación lineal. No obstante, si el poder en la variable que estamos resolviendo supera uno, entonces las gráficas involucradas son curvas. De ahí el término, ecuación no lineal. En este capítulo aprenderemos a resolver ecuaciones no lineales que involucran polinomios. Sin embargo, primero asegurémonos de que podemos reconocer la diferencia entre una ecuación lineal y una no lineal.
Definición: Ecuaciones lineales versus no lineales
Utilice las siguientes condiciones para determinar si una ecuación es lineal o no lineal.
- Si el poder más alto de la variable que estamos resolviendo es uno, entonces la ecuación es lineal.
- Si la potencia más alta de la variable para la que estamos resolviendo es mayor que uno, entonces la ecuación es no lineal.
Ejemplo6.2.3
Si la instrucción es “resolver para”x, clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineal o no lineal.
- 3x−5=4−7x
- x2=8x
Solución
Debido a que la instrucción es “resolver para”x, para determinar si la ecuación es lineal o no lineal, identificamos la mayor potenciax presente en la ecuación.
- El poder más alto delx presente en la ecuación3x−5=4−7x es uno. De ahí que esta ecuación sea lineal.
- La ecuaciónx2=8x contiene una potenciax superior a uno (contiene unax2). De ahí que esta ecuación sea no lineal.
Ejercicio6.2.3
Clasifique la siguiente ecuación como lineal o no lineal:2x=x3−4
- Contestar
-
no lineal
Ahora que podemos clasificar las ecuaciones como lineales o no lineales, introduzcamos estrategias para resolver cada tipo, la primera de las cuales ya debería ser familiar.
Estrategia para resolver una ecuación lineal
Si una ecuación es lineal, inicie el proceso de solución moviendo todos los términos que contienen la variable para la que está resolviendo a un lado de la ecuación, luego mueva todos los términos que no contengan la variable para la que está resolviendo al otro lado de la ecuación.
Ejemplo6.2.4
Resolver parax:3x−5=4−7x
Solución
Debido a que la instrucción es “resolver parax” y observamos que el mayor poder delx presente es uno, la ecuación3x−5=4−7x es lineal. De ahí que la estrategia sea mover todos los términos que contienenx a un lado de la ecuación, luego mover todos los términos restantes al otro lado de la ecuación.
3x−5=4−7x Original equation. 3x−5+7x=4 Add 7x to both sides. 3x+7x=4+5 Add 5 to both sides.
Observe cómo hemos logrado mover todos los términos que contienenx a un lado de la ecuación y todos los términos que no contienenx al otro lado de la ecuación.
10x=9 Simplify both sides. x=910 Divide both sides by 10.
De ahí que la solución de3x−5=4−7x esx=9/10. Se anima a los lectores a verificar esta solución.
Ejercicio6.2.4
Agrega texto de ejercicios aquí.
- Contestar
-
1/4
La situación es muy diferente cuando la ecuación es no lineal.
Estrategia para resolver una ecuación no lineal
Si una ecuación es no lineal, primero mueve todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado de la ecuación sea igual a cero. Continuar con el proceso de solución factorizando y aplicando la propiedad cero del producto.
Ejemplo6.2.5
Resolver parax:x2=8x
Solución
Debido a que la instrucción es “resolver para”x, y el poder más alto dex es mayor que uno, la ecuaciónx2=8x es no lineal. De ahí que la estrategia requiera que movamos todos los términos a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea cero.
x2=8x Original equation. x2−8x=0 Subtract 8x from both sides.
Observe cómo hemos logrado mover todos los términos a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero. Para finalizar la solución, factorizamos elGCF en el lado izquierdo.
x(x−8)=0Factor out the GCF.
Tenga en cuenta que ahora tenemos un producto de dos factores que equivale a cero. Por la propiedad cero del producto, o bien el primer factor es cero o el segundo factor es cero.
x=0 or x−8=0x=8
De ahí que las soluciones seanx=0 yx=8.
Comprobar:
Compruebe que cada solución satisfaga la ecuación original.
Substitute 0 for x:x2=8x(0)2=8(0)0=0
Subtitute 8 for x:x2=8x(8)2=8(8)64=64
Nótese que ambos resultados son afirmaciones verdaderas, garantizando que ambosx=0 yx=8 son soluciones dex2=8x
Ejercicio6.2.5
Resolver parax:x2=−5x
- Contestar
-
0,−5
¡Advertencia!
¡Lo siguiente es incorrecto!
Considera lo que pasaría si dividiéramos ambos lados de la ecuaciónx2=8x en Ejemplo6.2.5 porx:
x2=8xx2x=8xxx=8
Tenga en cuenta que hemos perdido la segunda respuesta que se encuentra en Ejemplo6.2.5,x=0. ¡Este ejemplo demuestra que nunca debes dividir por la variable para la que estás resolviendo! Si lo haces, y se produce la cancelación, perderás respuestas.
Intentemos resolver una ecuación no lineal que requiera factorizar por agrupación.
Ejemplo6.2.6
Resolver parax:6x2+9x−8x−12=0
Solución
Debido a que estamos resolviendox y hay un poderx mayor que uno, esta ecuación es no lineal. De ahí que el primer paso sea mover todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero. Bueno eso ya está hecho, así que factoricemos el lado izquierdo agrupando. Tenga en cuenta que podemos3x factorizar de los dos primeros términos y−4 de los dos segundos términos.
Factorizar el factor común2x+3.
(3x−4)(2x+3)=0
Ahora tenemos un producto de dos factores que equivale a cero. Utilice la propiedad cero del producto para escribir:
3x−4=03x=4x=43
o
2x+3=02x=−3x=−32
De ahí que las soluciones seanx=4/3 yx=−3/2.
Comprobar:
Usemos la calculadora gráfica para verificar la soluciónx=4/3. Primero, almacene la solución4/3 en la variableX usando las siguientes pulsaciones de teclas (vea la primera imagen en la Figura6.2.1.


Por lo tanto, la soluciónx=4/3 comprueba. Se anima a los lectores a utilizar sus calculadoras gráficas para verificar la segunda solución,x=−3/2.
Ejercicio6.2.6
Resolver parax:5x2−20x−4x+16=0
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-
4/5,4
Uso de la Calculadora Gráfica
En esta sección vamos a emplear dos rutinas de calculadora diferentes para encontrar la solución de una ecuación no lineal. Antes de recoger la calculadora, usemos primero un método algebraico para resolver la ecuaciónx2=−5x. La ecuación es no lineal, por lo que el primer paso es mover todo a un lado de la ecuación, haciendo que un lado sea igual a cero.
x2=−5x Nonlinear. Make one side zero. x2+5x=0 Add 5x to both sides. x(x+5)=0 Factor out the GCF.
Utilice la propiedad cero del producto, estableciendo cada factor igual a cero y luego resolviendo las ecuaciones resultantes parax.
x=0
o
x+5=0x=−5
De ahí que las soluciones seanx=0 yx=−5.
Ahora usaremos la calculadora para encontrar las soluciones dex2=−5x. La primera técnica emplea la rutina 5:intersect en el menú CALC de la calculadora.
Ejemplo6.2.7
Utilice la utilidad 5:intersect en la calculadora gráfica para resolver la ecuaciónx2=−5x parax.
Solución
Cargue el lado izquierdo dex2=−5x adentroY1 y el lado derecho adentroY2 (vea la Figura6.2.2). Al seleccionar 6:ZStandard del menú ZOOM se obtienen los gráficos mostrados en la imagen de la derecha en la Figura6.2.2.

Tenga en cuenta que la gráfica dey=x2 es una parábola que se abre hacia arriba, con vértice (punto de inflexión) en el origen. Esta gráfica revela por qué la ecuaciónx2=−5x se llama una ecuación no lineal (no todas las gráficas involucradas son líneas). A continuación, la gráfica dey=−5x es una línea con pendiente−5 ey -intercepción en el origen.
Obviamente, las dos gráficas se cruzan en el origen, pero también parece que puede haber otro punto de intersección que esté en la pantalla. AumentemosYmax en un intento de revelar el segundo punto de intersección. Después de cierta experimentación, los ajustes mostrados en la primera imagen de la Figura6.2.3 revelan ambos puntos de intersección. Al presionar el botón GRAPAR se produce la imagen de la derecha en la Figura6.2.3.

Para encontrar las soluciones de la ecuaciónx2=−5x, debemos encontrar las coordenadas de los puntos donde sey=−5x cruzany=x2 las gráficas. Lax coordenada -de cada punto de intersección será una solución de la ecuaciónx2=−5x.
- Comience por seleccionar 5:intersectar en el menú CALC. Cuando se le solicite la “Primera curva?” , pulse INTRO. Cuando se le solicite la “¿Segunda curva?” , pulse INTRO. Cuando se le solicite un “Adivina”, presione ENTRAR. El resultado es el punto que(0,0) se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura6.2.4.
- Repita el proceso por segunda vez. Seleccione 5:intersectar en el menú CALC. Cuando se le solicite la “Primera curva?” , pulse INTRO. Cuando se le solicite la “¿Segunda curva?” , pulse INTRO. Cuando se le solicite un “Adivina”, use la tecla de flecha izquierda para acercar el cursor al punto de intersección más a la izquierda y, a continuación, presione ENTRAR. El resultado es el punto que(−5,25) se muestra en la imagen de la derecha en la Figura6.2.4.

Reportando la solución en tu tarea:
Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Usa una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

- Etiquete los ejes horizontal y vertical conx yy, respectivamente (ver Figura6.2.5).
- Coloca tus parámetros WINDOW al final de cada eje (ver Figura6.2.5).
- Etiquetar cada gráfica con su ecuación (ver Figura6.2.5).
- Coloque líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección. Sombra y etiquete losx valores -de los puntos donde la línea vertical discontinua cruza elx eje -eje. Estas son las soluciones de la ecuaciónx2=−5x (ver Figura6.2.5).
De ahí que las soluciones dex2=−5x sonx=−5 yx=0. Observe ahora estos coinciden con las soluciones encontradas usando la técnica algebraica.
Ejercicio6.2.7
Utilice la utilidad 5:intersect en la calculadora gráfica para resolver la ecuaciónx2=4x parax.
- Contestar
-
Antes de demostrar una segunda técnica de calculadora gráfica para resolver ecuaciones no lineales, tomemos un momento para recordar la definición de un cero de una función, la cual fue presentada por primera vez en el Capítulo 5, Sección 3.
Ceros yx-intercepts
Los puntos donde la gráfica def cruza elx eje -se denominan lasx -intercepciones de la gráfica def. Elx -valor de cadax -intercepción se llama cero de la funciónf.
Ahora vamos a emplear la utilidad 2:cero del menú CALC para encontrar las soluciones de la ecuaciónx2=−5x.
Ejemplo6.2.8
Utilice la utilidad 2:cero en la calculadora gráfica para resolver la ecuaciónx2=−5x parax.
Solución
Primero, hacer que un lado de la ecuación sea igual a cero.
x2=−5x Make one side zero. x2+5x=0 Add 5x to both sides.
Para determinar los valores dex esa marcax2+5x=0, debemos ubicar los puntos donde la gráfica def(x)=x2+5x cruza elx eje -eje. Estos puntos son lasx -intercepciones de la gráfica def y losx -valores de estos puntos son los ceros de la funciónf.
Cargue la funciónf(x)=x2+5x enY1, luego seleccione 6:ZStandard para producir la imagen en la Figura6.2.6. Tenga en cuenta que la gráfica def tiene dosx -intercepciones, y losx -valores de cada uno de estos puntos son los ceros de la funciónf.

Nota
A menudo es más fácil encontrar las soluciones de una ecuación no lineal haciendo un lado cero e identificando dónde cruza elx eje la gráfica de la función resultante.
Seleccione 2:cero en el menú CALC (ver Figura\(\PageIndex{7}\)).

- La calculadora responde pidiendo un “¿Izquierda?” Use la tecla de flecha izquierda para mover el cursor de manera que quede a la izquierda de lax intersección cercana(−5,0) (vea la segunda imagen en la Figura6.2.7), luego presione la tecla ENTRAR.
- La calculadora responde pidiendo un “¿Encuadernado a la derecha?” Mueva el cursor para que quede ligeramente a la derecha de la intersección x cerca(−5,0) (vea la tercera imagen Figura6.2.7), luego presione la tecla ENTRAR.
- La calculadora responde pidiendo un “¿Adivina?” Observe las dos marcas triangulares cerca de la parte superior de la ventana de visualización en la primera imagen de la Figura6.2.8 que marcan los límites izquierdo y derecho. Siempre y cuando coloque el cursor de manera que el valor x de la ubicación del cursor se encuentre entre estas dos marcas, ha hecho una suposición válida. Debido a que el cursor ya se encuentra entre estas dos marcas, normalmente lo dejamos donde está y presionamos la tecla ENTRAR.

Después de hacer su suposición y presionar la tecla ENTER, la calculadora procede a encontrar una aproximación de lax -intercepción que se encuentra entre los límites izquierdo y derecho previamente marcados (ver la segunda imagen en la Figura6.2.8. De ahí que estax -intercepción sea(−5,0), haciendo−5 un cero def(x)=x2+5x y una solución de la ecuaciónx2+5x=0.
Dejaremos a nuestros lectores repetir el proceso 2:cero para encontrar el segundo cero en el origen.
Reportando la solución en tu tarea:
Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Usa una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.
- Etiquete los ejes horizontal y vertical conx yy, respectivamente (ver Figura6.2.9).
- Coloca tus parámetros WINDOW al final de cada eje (ver Figura6.2.9).
- Etiquetar cada gráfica con su ecuación (ver Figura6.2.9).
- Deja caer líneas verticales discontinuas a travésx de cada intersección. Sombra y etiquete losx -valores de cadax -intercepción. Estas son las soluciones de la ecuaciónx2=−5x (ver Figura6.2.9).

De ahí que las soluciones dex2=−5x sonx=−5 yx=0. Observe lo bien que esto concuerda con las soluciones encontradas usando la técnica algebraica y las soluciones encontradas usando la utilidad 5:intersect en Example6.2.7.
Ejercicio6.2.8
Utilice la utilidad 2:cero en la calculadora gráfica para resolver la ecuaciónx2=4x parax.
- Contestar
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