6.7: Aplicaciones de Factoring
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En esta sección resolveremos aplicaciones cuyas soluciones involucren factorización. Empecemos.
Ejemplo6.7.1
Un cuadro rectangular en lienzo mide12 pulgadas por16 pulgadas. El lienzo se monta dentro de un marco de ancho uniforme, aumentando el área total cubierta tanto por la lona como por el marco a pulgadas396 cuadradas. Encuentra el ancho uniforme del marco.
Solución
Seguimos los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.
- Configurar un diccionario de variables: Una figure cuidadosamente etiquetada nos ayudará a mantener nuestro enfoque. Vamos a dejarx representar el ancho uniforme del marco.
- Configura una ecuación: Si las dimensiones rectangulares internas son16 pulgadas por12 pulgadas, agregar un marco de ancho uniformex hace que las dimensiones del marco más el lienzo16+2x pulgadas por12+2x pulgadas. El área total se encuentra multiplicando estas dimensiones exteriores,A=(16+2x)(12+2x). Si el área total es de pulgadasA=396 cuadradas, entonces tenemos la siguiente ecuación. (16+2x)(12+2x)=396
- Resuelve la ecuación: Comenzamos expandiendo el lado derecho de la ecuación. (16+2x)(12+2x)=396192+56x+4x2=396La ecuación resultante es no lineal. Hacer un lado cero. 4x2+56x−204=0Podríamos factorial4 en el lado izquierdo, pero como hay un cero en el lado derecho de la ecuación, es un poco más fácil simplemente dividir ambos lados por4. Observe cómo dividimos cada término del lado izquierdo por el número4. x2+14x−51=0Necesitamos un par entero cuyo producto esac=−51 y cuya suma esb=14. El par entero−3,17 viene a la mente. Dado que el coecient dex2 es uno, simplemente podemos “colocar en su lugar” nuestro par ordenado. (x−3)(x+17)=0Así, las soluciones sonx=3 yx=−17.
- Responda a la pregunta: El ancho uniforme del marco no puede ser−17 pulgadas, por lo que eliminamos esta solución de consideración. De ahí que el ancho uniforme del marco sea de3 pulgadas.
- Mirar atrás: Si el ancho uniforme del marco es3 pulgadas, entonces las dimensiones finales se verán como las siguientes.
Así, el área combinada del marco más lienzo esA=(18)(22), o pulgadasA=396 cuadradas, el área dada en la declaración del problema. Nuestra solución es correcta.
Ejercicio6.7.1
Un cuadro rectangular en lienzo mide7 pulgadas por11 pulgadas. El lienzo se monta dentro de un marco de ancho uniforme, aumentando el área total cubierta tanto por la lona como por el marco a pulgadas117 cuadradas. Encuentra el ancho uniforme del marco.
- Contestar
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1pulgada
Ejemplo6.7.2
Un proyectil es disparado en ángulo hacia el aire desde lo alto de un clítoris con vista al océano. La distancia del proyectil (en pies) desde la base del cli, viene dada por la ecuaciónx=120t y la altura del proyectil sobre el nivel del mar (en pies) viene dada por la ecuacióny=−16t2+288t+640 dondet está la cantidad de tiempo (en segundos) que ha pasado desde la liberación del proyectil.
- ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el proyectil salpique en el océano?
- En ese momento, ¿a qué distancia se encuentra el proyectil de la base del clítoris?
Solución
Seguimos los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.
- Configurar un diccionario de variables: Las variables ya están establecidas para nosotros. x=Distance from base of the cliff (in feet).y=Height above sea level (in feet).t=Time since projectile's release (in seconds).
- Configurar una ecuación: Las ecuaciones ya están establecidas (ver Ecuación\ ref {Eq6.7.1} y Ecuación\ ref {Eq6.7.2}).
- Resuelve la ecuación: Cuando el proyectil salpica en el océano, su altura sobre el nivel del mar en ese momento es dey=0 pies. Sustituir0y en Ecuación\ ref {Eq6.7.2} y resolver la ecuación resultante parat. y=−16t2+288t+6400=−16t2+288t+640Podríamos factorial−16, pero como el lado izquierdo de esta ecuación es cero, es un poco más fácil dividir ambos lados por−16. Observe cómo dividimos cada término en el lado derecho por−16. 0=t2−18t−40Necesitamos un par de enteros para que su producto seaac=−40 y su suma sea−18. El par entero2, me−20 viene a la mente. Dado que el coecient det2 es uno, podemos “colocar en su lugar” nuestro par entero. 0=(t+2)(t−20)De ahí que las soluciones seant=−2 yt=20.
- Responda a la pregunta: Al responder a la pregunta (a), lost=−2 segundos de solución no tienen sentido. Así, el proyectil salpica en el océano a lost=20 segundos. Al abordar la pregunta b), para encontrar la distancia del proyectil con respecto a la base del clítoris en este momento, sustituyat=20 en la Ecuación\ ref {Eq6.7.1}. x=120tx=120(20)x=2400De ahí que en el momento en que el proyectil salpica hacia el océano, se encuentra a2,400 pies de la base del clítoris.
- Mira atrás: Lo mejor que podemos hacer aquí es consultar nuestra soluciónt=20 en Ecuación\ ref {Eq6.7.2}. y=−16t2+288t+640y=−16(20)2+288(20)+640y=−6400+5760+640y=0En efecto, at=20, el proyectil sí chapotea en el océano.
Ejercicio6.7.2
La altura de un proyectil (en pies) viene dada por la ecuacióny=−16t2+144t+576, donde el tiempot se mide en segundos. ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el proyectil golpee el suelo?
- Contestar
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12segundos
Ejemplo6.7.3
El producto de dos enteros pares consecutivos es728. Encuentra los enteros.
Solución
Seguimos los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.
- Configurar un diccionario de variables: Letk representar el primer entero par. Entoncesk+2 representa el siguiente entero par consecutivo.
- Configurar una ecuación: El producto de los enteros es728. De ahí que tengamos la siguiente ecuación. k(k+2)=728
- Resuelve la ecuación: Expande el lado izquierdo de la ecuación. k2+2k=728La ecuación es no lineal. Hacer un lado cero. k2+2k−728=0Consulte Uso de la Calculadora para Asistir alac Método. Necesitamos un par entero cuyo producto esac=−728 y cuya suma esb=2. −728/XIngresaY1, luego configura la tabla (ver Figura6.7.1).

Usa las teclas de flecha arriba y abajo para desplazarte. Tenga en cuenta que28,−26 es el par deseado. Debido a que el coecient dek2 es uno, podemos “colocar en su lugar” el par ordenado.
0=(k+28)(k−26)De ahí que las soluciones seank=−28 yk=26.
- Responde a la pregunta: Sik=−28, el siguiente entero par consecutivo esk+2=−26. En segundo lugark=26, si, el siguiente entero par consecutivo esk+2=28.
- Mirar atrás: Nuestro primer par es−28 y−26. Cuentan con el producto requerido de728. Nuestro segundo par es26 y28. Su producto también lo es728. Ambas soluciones verifican!
Ejercicio6.7.3
El producto de dos enteros impares positivos consecutivos es483. Encuentra los enteros.
- Contestar
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21y23
Ejemplo6.7.4
Un rectángulo tiene54 pies perimetrales y área de pies180 cuadrados. Encuentra las dimensiones del rectángulo.
Solución
Seguimos los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.
- Configurar un diccionario de variables: Un boceto nos ayudará a mantener nuestro enfoque. DejarL representar la longitud del rectángulo y dejarW representar su ancho.
- Establecer una ecuación: El perímetro es54 pies, así2W+2L=54, o dividiendo ambos lados por2:W+L=27 El área es pies180 cuadrados, entonces:LW=180
- Resuelve la ecuación: El sistema de ecuaciones (ecuaciones\ ref {Eq6.7.3} y\ ref {Eq6.7.4}) se puede resolver usando el método de sustitución. Primero, resuelve la Ecuación\ ref {Eq6.7.3} paraW: EcuaciónW=27−L sustituta\ ref {Eq6.7.5} en la Ecuación\ ref {Eq6.7.4}, expandir, luego hacer un lado cero. L(27−L)=18027L−L2=1800=L2−27L+180El par entero−12,−15 tiene productoac=180 y sumab=−27. Además, el coecient deL2 es uno, así que podemos “colocar en su lugar” nuestro par entero. 0=(L−12)(L−15)De ahí que las soluciones seanL=12 yL=15.
- Responde a la pregunta: Dos posibilidades para el ancho.
- SustitutoL=12 en\ ref {Eq6.7.5}. W=27−LW=27−12W=15
- SustitutoL=15 en\ ref {Eq6.7.5}. W=27−LW=27−15W=12
Ambas respuestas dan lo mismo15 por rectángulo de12 pie, pero solemos pensar en el término “longitud” como el lado más largo del rectángulo.
Entonces vamos con el largo esL=15 pies y el ancho esW=12 pies.
- Mirar atrás: AgreguemosL=15 pies yW=12 pies a un diagrama.
Si agregamos las dimensiones alrededor del rectángulo, el perímetro esP=15+12+15+12, oP=54 pies, el perímetro requerido en la declaración del problema.
A continuación, si multiplicamos las dimensiones, entoncesA=(15)(12), o piesA=180 cuadrados, el área requerida en la declaración del problema. ¡Nuestra solución es correcta!
Ejercicio6.7.4
Un rectángulo tiene62 pies perimetrales y área de pies234 cuadrados. Encuentra las dimensiones del rectángulo.
- Contestar
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largo =18 pies y ancho =13 pies