7.1: Exponentes negativos

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Comenzamos con una definición aparentemente tonta pero poderosa sobre lo que significa elevar un número a un poder de$−1$.

Elevar a un Poder de$−1$

Para elevar un objeto a una potencia de$−1$, simplemente invertir el objeto (darle la vuelta).

$fig 7.1.a.png$

De manera más formal, invertir un número se conoce como tomar su recíproco.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

$4^{-1}$
$\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{-1}$
$-\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{-1}$

Solución

En cada caso, simplemente invertimos el número dado.

$\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{-1} = \dfrac{3}{2}$
$-\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{-1} = -\dfrac{5}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Simplificar:$\left ( \dfrac{7}{4} \right )^{-1}$

Contestar: $\dfrac{4}{7}$

Podrías estar preguntando “¿Por qué subir a la potencia de menos uno se invierte el número?” Para responder a esta pregunta, recordemos el producto de un número y su recíproco es uno. Por ejemplo,

\[4\cdot \dfrac{1}{4} = 1 \label{Eq7.1.1}\]

A continuación, considere lo que sucede cuando multiplicamos$4^1$ y$4^{−1}$. Si aplicamos la ley habitual de los exponentes (suponiendo que funcionen tanto para exponentes positivos como negativos), agregaríamos los exponentes ($1 + (−1) = 0$).

\[4^1\cdot 4^{-1} = 4^0 \label{Eq7.1.2}\]

Sin embargo, porque$4^1 = 4$ y$4^0 = 1$, esta última ecuación equivale a:

\[4\cdot 4^{-1} = 1 \label{Eq7.1.3}\]

Al comparar la Ecuación\ ref {Eq7.1.1} y\ ref {Eq7.1.3}, está claro que$4^{−1}$ y$1/4$ son ambas recíprocas del número$4$. Porque los recíprocos son únicos,$4^{-1} = \dfrac{1}{4}$.

De manera similar, uno puede descubrir el significado de$a^{−n}$. Comienza con el hecho de que multiplicar las reciprocas arroja una respuesta de uno.

\[a^n\cdot \dfrac{1}{a^n} = 1 \label{Eq7.1.4}\]

Si multiplicamos$a^n$ y$a^{−n}$, sumamos los exponentes de la siguiente manera.

\[a^n\cdot a^{−n} = a^0 \nonumber \]

Proporcionando$a\neq = 0$, entonces$a^0 = 1$, para que podamos escribir

\[a^n\cdot a^{-n} = 1 \label{Eq7.1.5}\]

Comparando las Ecuaciones\ ref {Eq7.1.4} y\ ref {Eq7.1.5}, observamos que ambos$1/a^n$ y$a^{−n}$ son recíprocos de$a^n$. Porque cada número tiene un recíproco único,$a^{−n}$ y$1/a^n$ son iguales.

Elevar a un entero negativo

Proporcionado un\ neq= 0,

\[a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

$2^{-3}$
$(-5)^{-2}$
$(-4)^{-3}$

Solución

En cada ejemplo, usamos la propiedad$a^{−n} =1/a^n$ para simplificar la expresión dada.

$\begin{align*} 2^{-3} &= \dfrac{1}{2^3}\\ &= \dfrac{1}{8} \end{align*}$
$\begin{align*} (-5)^{-2} &= \dfrac{1}{(-5)^2}\\ &= \dfrac{1}{25} \end{align*}$
$\begin{align*} (-4)^{-3} &= \dfrac{1}{(-4)^3}\\ &= -\dfrac{1}{64} \end{align*}$

En Elevar a un Entero Negativo, abordaremos cómo puedes realizar cada uno de los cálculos anteriores mentalmente.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Simplificar:$3^{-2}$

Contestar: $\dfrac{1}{9}$

Leyes de los exponentes

En los argumentos que lo demuestran$4^{−1} =1 /4$ y$a^{−n} =1/a^n$, apelamos a una de las leyes de los exponentes aprendidas en el Capítulo 5, Sección 5. Afortunadamente, las leyes de los exponentes funcionan exactamente igual si los exponentes son enteros positivos o negativos.

Leyes de los exponentes

Si$m$ y$n$ son enteros, entonces:

$a^ma^n = a^{m+n}$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(ab)^n = a^nb^n$
$\left (\dfrac{a}{b} \right )^n = \dfrac{a^n}{a^n}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

$y^5y^{−7} $
$2^{−2}\cdot 2^{−3}$
$x^{−4}x^6$

Solución

En cada caso, utilizamos la primera ley de exponentes ($a^ma^n = a^{m+n}$). Debido a que estamos multiplicando como bases, repetimos la base y sumamos los exponentes.

$\begin{align*} y^5y^{-7} &= y^{5+(-7)}\\ &= y^{-2} \end{align*}$
$\begin{align*} 2^{-2}\cdot 2^{-3} &= 2^{-2+(-3)}\\ &= 2^{-5} \end{align*}$
$\begin{align*} x^{-4}x^{6} &= x^{-4+6}\\ &= x^2 \end{align*}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Simplificar:$t^8\cdot t^{−4}$

Contestar: $t^4$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

$\dfrac{x^4}{x^7}$
$\dfrac{3^{-4}}{3^5}$
$\dfrac{z^{-3}}{z^{-5}}$

Solución

En cada caso, utilizamos la segunda ley de exponentes ($a^m/a^n = a^{m−n}$). Porque estamos dividiendo como bases, repetimos la base y restamos los exponentes. Recordemos que restar significa “sumar lo contrario”.

$\begin{align*} \dfrac{x^4}{x^7} &= x^{4-7}\\ &= x^{4+(-7)}\\ &= x^{-3} \end{align*}$
$\begin{align*} \dfrac{3^{-4}}{3^5} &= 3^{-4-5}\\ &= 3^{-4+(-5)}\\ &= 3^{-9} \end{align*}$
$\begin{align*} \dfrac{z^{-3}}{z^{-5}} &= z^{-3-(-5)}\\ &= z^{-3+5}\\ &= z^{2} \end{align*}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Simplificar:$\dfrac{y^{-6}}{y^{-2}}$

Contestar: $y^{-4}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

$(5^{−2})^3$
$(a^{−3})^{−4}$
$(w^2)^{−7}$

Solución

En cada caso, estamos utilizando la tercera ley de exponentes ($(a^m)^n = a^{mn}$). Porque estamos elevando una potencia a otra potencia, repetimos la base y multiplicamos los exponentes.

$\begin{align*} (5^{-2})^3 &= 5^{(-2)(3)}\\ &= 5^{-6} \end{align*}$
$\begin{align*} (a^{-3})^{-4} &= a^{(-3)(-4)}\\ &= a^{12} \end{align*}$
$\begin{align*} (w^2)^{-7} &= w^{(2)(-7)}\\ &= w^{-14} \end{align*}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Simplificar:$(z^5)^{−2}$

Contestar: $z^{-10)$

Elevar a un entero negativo

Sabemos lo que sucede cuando subes un número a$−1$, invertes el número o lo vuelves boca abajo. Pero, ¿qué sucede cuando elevas un número a un entero negativo que no sea negativo?

Como ejemplo, considere la expresión$3^{−2}$. Utilizando la tercera ley de exponentes ($(a^m)^n = a^{mn}$), podemos escribir esta expresión en dos formas equivalentes.

Tenga en cuenta que$3^{−2}$ es equivalente a$(3^2)^{−1}$. Son equivalentes porque la tercera ley de exponentes nos instruye a multiplicar los exponentes al elevar una potencia a otra potencia. Por último, tenga en cuenta que para evaluar$(3^2)^{−1}$, primero cuadramos, luego invertimos el resultado. \[\begin{align*} 3^{-2} &= (3^2)^{-1} \quad \color {Red} \text {Repeat base and multiply exponents.}\\ &= 9^{-1} \quad \color {Red} \text {Simplify: } 3^2=9\\ &= \dfrac{1}{9} \quad \color {Red} \text {Simplify: } 9^{-1}=1/9 \end{align*} \nonumber \]
Tenga en cuenta que también$3^{−2}$ es equivalente a$(3^{−1})^2$. Son equivalentes porque la tercera ley de exponentes nos instruye a multiplicar los exponentes al elevar una potencia a otra potencia. Por último, tenga en cuenta que para evaluar$(3^{−1})^2$, primero invertimos, luego cuadramos el resultado. \[\begin{align*} 3^{-2} &= (3^{-1})^2 \quad \color {Red} \text {Repeat base and multiply exponents.}\\ &= \left (\dfrac{1}{3} \right )^2 \quad \color {Red} \text {Simplify: } 3^{-1}=1/3\\ &= \dfrac{1}{9} \quad \color {Red} \text {Simplify: } (1/3)^{2}=1/9 \end{align*} \nonumber \]

Usando cualquiera de las técnicas,$3^{−2} =1/9$. Puedes cuadrar e invertir, o puedes invertir y cuadrar. En cada caso, los$2$ medios “cuadrado” y el signo menos significa “invertir”, y este ejemplo muestra que no importa cuál haga primero.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

$5^{−3}$
$(−4)^{−2}$
$\left (\dfrac{3}{5} \right )^{-2}$
$\left (-\dfrac{2}{3} \right )^{-3}$

Solución

Vamos a cubo luego invertimos. \[\begin{align*} 5^{-3} &= (5^3)^{-1} \quad \color {Red} \text {Repeat base and multiply exponents.}\\ &= 125^{-1} \quad \color {Red} \text {Simplify: } 5^{3}=125\\ &= \dfrac{1}{125} \quad \color {Red} \text {Invert: } 125^{-1}=1/125 \end{align*} \nonumber \]Tenga en cuenta que los tres medios “cubo” y el signo menos significa “invertir”, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cubo$5$ para obtener$125$, luego invertir para obtener$1/125$.
Cuadraremos luego invertiremos. \[\begin{align*} (-4)^{-2} &= ((-4)^2)^{-1} \quad \color {Red} \text {Repeat base and multiply exponents.}\\ &= 16^{-1} \quad \color {Red} \text {Simplify: } (-4)^{2}=16\\ &= \dfrac{1}{16} \quad \color {Red} \text {Invert: } 16^{-1}=1/16 \end{align*} \nonumber \]Tenga en cuenta que los dos significan “cuadrado” y el signo menos significa “invertir”, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cuadrado$−4$ para obtener$16$, luego invertir para obtener$1/16$.
Nuevamente, cuadraremos luego invertiremos. \[\begin{align*} \left (\dfrac{3}{5} \right )^{-2} &= \left ( \left (\dfrac{3}{5} \right )^{2} \right )^{-1} \quad \color {Red} \text {Repeat base and multiply exponents.}\\ &= \left (\dfrac{9}{25} \right )^{-1} \quad \color {Red} \text {Simplify: } (3/5)^{2}=9/25\\ &= \dfrac{25}{9} \quad \color {Red} \text {Invert: } (9/25)^{-1}=25/9 \end{align*} \nonumber \]Tenga en cuenta que los dos significan “cuadrado” y el signo menos significa “invertir”, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cuadrado$3/5$ para obtener$9/25$, luego invertir para obtener$25/9$.
Esta vez vamos a cubo luego invertimos. \[\begin{align*} \left (-\dfrac{2}{3} \right )^{-3} &= \left ( \left (-\dfrac{2}{3} \right )^{3} \right )^{-1} \quad \color {Red} \text {Repeat base and multiply exponents.}\\ &= \left (-\dfrac{8}{27} \right )^{-1} \quad \color {Red} \text {Simplify: } (-2/3)^{2}=-8/27\\ &= -\dfrac{27}{8} \quad \color {Red} \text {Invert: } (-8/27)^{-1}=-27/8 \end{align*} \nonumber \]Tenga en cuenta que los tres medios “cubo” y el signo menos significa “invertir”, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cubo$−2/3$ para obtener$−8/27$, luego invertir para obtener$−27/8$.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Simplificar:$\left (\dfrac{5}{4} \right )^{-3}$

Contestar: $\dfrac{64}{125}$

Aplicación de las leyes de los exponentes

En esta sección simplificaremos algunas expresiones más complicadas utilizando las leyes de los exponentes.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Simplificar:$(2x^{−2}y^3)(−3x^5y^{−6})$

Solución

Todos los operadores involucrados son multiplicación, por lo que las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación nos permiten cambiar el orden y agrupación. Vamos a mostrar este reagrupamiento aquí, pero este paso se puede hacer mentalmente. \[(2x−2y^3)(−3x^5y^{−6}) = [(2)(−3)](x^{−2}x^5)(y^3y^{−6}) \nonumber \]Al multiplicar, repetimos la base y sumamos los exponentes. \[\begin{align*} &= -6x^{-2+5}y^{3+(-6)} \\ &= -6x^3y^{-3} \end{align*} \nonumber \]En la solución anterior, probablemente hemos mostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil realizar todos estos pasos mentalmente, multiplicando el$2$ y el$−3$, luego repitiendo bases y agregando exponentes, como en:\[(2x^{−2}y^3)(−3x^5y^{−6})=−6x^3y^{−3} \nonumber \]

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Simplificar:$(−5x^8y^{−2})(−2x^{−6}y^{−1})$

Contestar: $10x^2y^{−3}$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Simplificar:$\dfrac{6x^{-2}y^5}{9x^3y^{-2}}$

Solución

El enfoque más sencillo es escribir primero la expresión como un producto.

\[\dfrac{6x^{-2}y^5}{9x^3y^{-2}} = \dfrac{6}{9}\cdot \dfrac{x^{-2}}{x^3}\cdot \dfrac{y^5}{y^{-2}} \nonumber \]

Reducir$6/9$ a los términos más bajos. Porque estamos dividiendo como bases, repetimos la base y restamos los exponentes.

\[\begin{align*} &= \dfrac{2}{3}x^{-2-3}y^{5-(-2)}\\ &= \dfrac{2}{3}x^{-2+(-3)}y^{5+2}\\ &= \dfrac{2}{3}x^{-5}y^{7} \end{align*} \nonumber\]En la solución anterior, probablemente hemos mostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil imaginar escribir la expresión como un producto, reducir 6/9, luego repetir bases y restar exponentes, como en:

\[\dfrac{6x^{-2}y^5}{9x^3y^{-2}} = \dfrac{2}{3}x^{-5}y^{7} \nonumber \]

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Simplificar:$\dfrac{10x^{3}y^{-1}}{4x^{-2}y^{5}}$

Contestar: $\dfrac{5}{2}x^{5}y^{-6}$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Simplificar:$(2x^{−2}y^4)^{−3}$

Solución

La cuarta ley de los exponentes ($(ab)^n = a^nb^n$) dice que cuando elevas un producto a una potencia, debes elevar cada factor a esa potencia. Entonces comenzamos elevando cada factor a la potencia menos tres.

\[(2x^{−2}y^3)^{−3} =2^{−3}(x^{−2})^{−3}(y^4)^{−3} \nonumber \]

Para subir dos al menos tres, debemos cubo dos e invertir:$2^{−3} =1 /8$. En segundo lugar, elevar una potencia a una potencia requiere que repitamos la base y multipliquemos exponentes.

\[\begin{align*} &= \dfrac{1}{8}x^{(-2)(-3)}y^{(4)(-3)}\\ &= \dfrac{1}{8}x^{6}y^{-12} \end{align*} \nonumber \]

En la solución anterior, probablemente hemos mostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil elevar cada factor a los menos tres mentalmente:$2^{−3} =1 /8$, luego multiplicar cada exponente sobre los factores restantes por$−3$, como en

\[(2x^{-2}y^4)^{-3} = \dfrac{1}{8}x^{6}y^{-12} \nonumber \]

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Simplificar:$(3x^4y^{−3})^{−2}$

Contestar: $\dfrac{1}{9}x^{-8}y^{6}$

Borrado de exponentes negativos

A menudo, se nos pide que demos una respuesta final que esté libre de exponentes negativos. Es común escuchar la instrucción “no hay exponentes negativos en la respuesta final”. Exploremos un par de técnicas que nos permitan aclarar nuestra respuesta de exponentes negativos.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Considera la expresión:\[\dfrac{x^2}{y^{-3}} \nonumber \]

Simplifique para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

Solución

Elevando y a los$−3$ medios que tenemos que hacer cubos e invertir, entonces$y^{−3} = 1/y^3$.

\[\dfrac{x^2}{y^{-3}} = \dfrac{x^2}{\tfrac{1}{y^3}} \nonumber \]

Para dividir$x^2$ por$1/y^3$, invertimos y multiplicamos.

\[\begin{align*} &= x^2 \div \dfrac{1}{y^{3}}\\ &= \dfrac{x^2}{1}\cdot \dfrac{y^{3}}{1}\\ &= x^2y^3 \end{align*} \nonumber \]

Enfoque alternativo: Un enfoque alternativo aprovecha las leyes de los exponentes. Comenzamos multiplicando numerador y denominador por$y^3$.

\[\begin{align*} \dfrac{x^2}{y^{-3}} &= \dfrac{x^2}{y^{-3}} \cdot \dfrac{y^3}{y^{3}}\\ &= \dfrac{x^2y^3}{y^0}\\ &= x^2y^3 \end{align*} \nonumber \]

En el último paso, tenga en cuenta cómo utilizamos el hecho de que$y^0 = 1$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Simplifique la expresión\[\dfrac{y^5}{x^{-2}} \nonumber \] para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

Contestar: $y^5x^2$

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Considera la expresión:\[\dfrac{2x^2y^{-2}}{z^{3}} \nonumber \] Simplifica para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

Solución

Nuevamente, podemos eliminar a todos los exponentes negativos tomando reciprocas. En este caso$y^{−2} =1/y^2$ (cuadrado e invertido).

\[\begin{align*} \dfrac{2x^2y^{-2}}{z^{3}} &= \dfrac{2x^2\cdot \tfrac{1}{y ^2}}{z^{3}} \\ &= \dfrac{\tfrac{2x^2}{y^2}}{z^3} \end{align*} \nonumber \]

Para dividir$2x^2/y^2$ por$z^3$, invertimos y multiplicamos.

\[\begin{align*} &= \dfrac{2x^2}{y^2}\div {z^{3}} \\ &= \dfrac{2x^2}{y^2}\cdot \dfrac{1}{z^3}\\ &= \dfrac{2x^2}{y^2z^3} \end{align*} \nonumber \]

Enfoque alternativo: Un enfoque alternativo aprovecha nuevamente las leyes de los exponentes. Comenzamos multiplicando numerador y denominador por$y^2$.

\[\begin{align*} \dfrac{2x^2y^{-2}}{z^{3}} &= \dfrac{2x^2y^{-2}}{z^3}\cdot \dfrac{y^2}{y^2} \\ &= \dfrac{2x^2y^0}{y^2z^3}\\ &= \dfrac{2x^2}{y^2z^3} \end{align*} \nonumber \]

En el último paso, tenga en cuenta cómo utilizamos el hecho de que$y^0 = 1$.

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Simplifique la expresión\[\dfrac{x^{-3}y^2}{3z^{-4}} \nonumber \] para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

Contestar: $\dfrac{y^2z^4}{3x^3}$