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LibreTexts Español

7.1: Exponentes negativos

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Comenzamos con una definición aparentemente tonta pero poderosa sobre lo que significa elevar un número a un poder de1.

Elevar a un Poder de1

Para elevar un objeto a una potencia de1, simplemente invertir el objeto (darle la vuelta).

fig 7.1.a.png

De manera más formal, invertir un número se conoce como tomar su recíproco.

Ejemplo7.1.1

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

  1. 41
  2. (23)1
  3. (35)1

Solución

En cada caso, simplemente invertimos el número dado.

  1. (23)1=32
  2. (35)1=53

Ejercicio7.1.1

Simplificar:(74)1

Contestar

47

Podrías estar preguntando “¿Por qué subir a la potencia de menos uno se invierte el número?” Para responder a esta pregunta, recordemos el producto de un número y su recíproco es uno. Por ejemplo,

414=1

A continuación, considere lo que sucede cuando multiplicamos41 y41. Si aplicamos la ley habitual de los exponentes (suponiendo que funcionen tanto para exponentes positivos como negativos), agregaríamos los exponentes (1+(1)=0).

4141=40

Sin embargo, porque41=4 y40=1, esta última ecuación equivale a:

441=1

Al comparar la Ecuación\ ref {Eq7.1.1} y\ ref {Eq7.1.3}, está claro que41 y1/4 son ambas recíprocas del número4. Porque los recíprocos son únicos,41=14.

De manera similar, uno puede descubrir el significado dean. Comienza con el hecho de que multiplicar las reciprocas arroja una respuesta de uno.

an1an=1

Si multiplicamosan yan, sumamos los exponentes de la siguiente manera.

anan=a0

Proporcionandoa≠=0, entoncesa0=1, para que podamos escribir

anan=1

Comparando las Ecuaciones\ ref {Eq7.1.4} y\ ref {Eq7.1.5}, observamos que ambos1/an yan son recíprocos dean. Porque cada número tiene un recíproco único,an y1/an son iguales.

Elevar a un entero negativo

Proporcionado un\ neq= 0,

an=1an

Ejemplo7.1.2

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

  1. 23
  2. (5)2
  3. (4)3

Solución

En cada ejemplo, usamos la propiedadan=1/an para simplificar la expresión dada.

  1. 23=123=18
  2. (5)2=1(5)2=125
  3. (4)3=1(4)3=164

En Elevar a un Entero Negativo, abordaremos cómo puedes realizar cada uno de los cálculos anteriores mentalmente.

Ejercicio7.1.2

Simplificar:32

Contestar

19

Leyes de los exponentes

En los argumentos que lo demuestran41=1/4 yan=1/an, apelamos a una de las leyes de los exponentes aprendidas en el Capítulo 5, Sección 5. Afortunadamente, las leyes de los exponentes funcionan exactamente igual si los exponentes son enteros positivos o negativos.

Leyes de los exponentes

Sim yn son enteros, entonces:

  1. aman=am+n
  2. aman=amn
  3. (am)n=amn
  4. (ab)n=anbn
  5. (ab)n=anan

Ejemplo7.1.3

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

  1. y5y7
  2. 2223
  3. x4x6

Solución

En cada caso, utilizamos la primera ley de exponentes (aman=am+n). Debido a que estamos multiplicando como bases, repetimos la base y sumamos los exponentes.

  1. y5y7=y5+(7)=y2
  2. 2223=22+(3)=25
  3. x4x6=x4+6=x2

Ejercicio7.1.3

Simplificar:t8t4

Contestar

t4

Ejemplo7.1.4

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

  1. x4x7
  2. 3435
  3. z3z5

Solución

En cada caso, utilizamos la segunda ley de exponentes (am/an=amn). Porque estamos dividiendo como bases, repetimos la base y restamos los exponentes. Recordemos que restar significa “sumar lo contrario”.

  1. x4x7=x47=x4+(7)=x3
  2. 3435=345=34+(5)=39
  3. z3z5=z3(5)=z3+5=z2

Ejercicio7.1.4

Simplificar:y6y2

Contestar

y4

Ejemplo7.1.5

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

  1. (52)3
  2. (a3)4
  3. (w2)7

Solución

En cada caso, estamos utilizando la tercera ley de exponentes ((am)n=amn). Porque estamos elevando una potencia a otra potencia, repetimos la base y multiplicamos los exponentes.

  1. (52)3=5(2)(3)=56
  2. (a3)4=a(3)(4)=a12
  3. (w2)7=w(2)(7)=w14

Ejercicio7.1.5

Simplificar:(z5)2

Contestar

z^{-10)

Elevar a un entero negativo

Sabemos lo que sucede cuando subes un número a1, invertes el número o lo vuelves boca abajo. Pero, ¿qué sucede cuando elevas un número a un entero negativo que no sea negativo?

Como ejemplo, considere la expresión32. Utilizando la tercera ley de exponentes ((am)n=amn), podemos escribir esta expresión en dos formas equivalentes.

  1. Tenga en cuenta que32 es equivalente a(32)1. Son equivalentes porque la tercera ley de exponentes nos instruye a multiplicar los exponentes al elevar una potencia a otra potencia. Por último, tenga en cuenta que para evaluar(32)1, primero cuadramos, luego invertimos el resultado. 32=(32)1Repeat base and multiply exponents.=91Simplify: 32=9=19Simplify: 91=1/9
  2. Tenga en cuenta que también32 es equivalente a(31)2. Son equivalentes porque la tercera ley de exponentes nos instruye a multiplicar los exponentes al elevar una potencia a otra potencia. Por último, tenga en cuenta que para evaluar(31)2, primero invertimos, luego cuadramos el resultado. 32=(31)2Repeat base and multiply exponents.=(13)2Simplify: 31=1/3=19Simplify: (1/3)2=1/9

Usando cualquiera de las técnicas,32=1/9. Puedes cuadrar e invertir, o puedes invertir y cuadrar. En cada caso, los2 medios “cuadrado” y el signo menos significa “invertir”, y este ejemplo muestra que no importa cuál haga primero.

Ejemplo7.1.6

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

  1. 53
  2. (4)2
  3. (35)2
  4. (23)3

Solución

  1. Vamos a cubo luego invertimos. 53=(53)1Repeat base and multiply exponents.=1251Simplify: 53=125=1125Invert: 1251=1/125
    Tenga en cuenta que los tres medios “cubo” y el signo menos significa “invertir”, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cubo5 para obtener125, luego invertir para obtener1/125.
  2. Cuadraremos luego invertiremos. (4)2=((4)2)1Repeat base and multiply exponents.=161Simplify: (4)2=16=116Invert: 161=1/16
    Tenga en cuenta que los dos significan “cuadrado” y el signo menos significa “invertir”, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cuadrado4 para obtener16, luego invertir para obtener1/16.
  3. Nuevamente, cuadraremos luego invertiremos. (35)2=((35)2)1Repeat base and multiply exponents.=(925)1Simplify: (3/5)2=9/25=259Invert: (9/25)1=25/9
    Tenga en cuenta que los dos significan “cuadrado” y el signo menos significa “invertir”, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cuadrado3/5 para obtener9/25, luego invertir para obtener25/9.
  4. Esta vez vamos a cubo luego invertimos. (23)3=((23)3)1Repeat base and multiply exponents.=(827)1Simplify: (2/3)2=8/27=278Invert: (8/27)1=27/8
    Tenga en cuenta que los tres medios “cubo” y el signo menos significa “invertir”, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cubo2/3 para obtener8/27, luego invertir para obtener27/8.

Ejercicio7.1.6

Simplificar:(54)3

Contestar

64125

Aplicación de las leyes de los exponentes

En esta sección simplificaremos algunas expresiones más complicadas utilizando las leyes de los exponentes.

Ejemplo7.1.7

Simplificar:(2x2y3)(3x5y6)

Solución

Todos los operadores involucrados son multiplicación, por lo que las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación nos permiten cambiar el orden y agrupación. Vamos a mostrar este reagrupamiento aquí, pero este paso se puede hacer mentalmente. (2x2y3)(3x5y6)=[(2)(3)](x2x5)(y3y6)

Al multiplicar, repetimos la base y sumamos los exponentes. =6x2+5y3+(6)=6x3y3
En la solución anterior, probablemente hemos mostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil realizar todos estos pasos mentalmente, multiplicando el2 y el3, luego repitiendo bases y agregando exponentes, como en:(2x2y3)(3x5y6)=6x3y3

Ejercicio7.1.7

Simplificar:(5x8y2)(2x6y1)

Contestar

10x2y3

Ejemplo7.1.8

Simplificar:6x2y59x3y2

Solución

El enfoque más sencillo es escribir primero la expresión como un producto.

6x2y59x3y2=69x2x3y5y2

Reducir6/9 a los términos más bajos. Porque estamos dividiendo como bases, repetimos la base y restamos los exponentes.

=23x23y5(2)=23x2+(3)y5+2=23x5y7

En la solución anterior, probablemente hemos mostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil imaginar escribir la expresión como un producto, reducir 6/9, luego repetir bases y restar exponentes, como en:

6x2y59x3y2=23x5y7

Ejercicio7.1.8

Simplificar:10x3y14x2y5

Contestar

52x5y6

Ejemplo7.1.9

Simplificar:(2x2y4)3

Solución

La cuarta ley de los exponentes ((ab)n=anbn) dice que cuando elevas un producto a una potencia, debes elevar cada factor a esa potencia. Entonces comenzamos elevando cada factor a la potencia menos tres.

(2x2y3)3=23(x2)3(y4)3

Para subir dos al menos tres, debemos cubo dos e invertir:23=1/8. En segundo lugar, elevar una potencia a una potencia requiere que repitamos la base y multipliquemos exponentes.

=18x(2)(3)y(4)(3)=18x6y12

En la solución anterior, probablemente hemos mostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil elevar cada factor a los menos tres mentalmente:23=1/8, luego multiplicar cada exponente sobre los factores restantes por3, como en

(2x2y4)3=18x6y12

Ejercicio7.1.9

Simplificar:(3x4y3)2

Contestar

19x8y6

Borrado de exponentes negativos

A menudo, se nos pide que demos una respuesta final que esté libre de exponentes negativos. Es común escuchar la instrucción “no hay exponentes negativos en la respuesta final”. Exploremos un par de técnicas que nos permitan aclarar nuestra respuesta de exponentes negativos.

Ejemplo7.1.10

Considera la expresión:x2y3

Simplifique para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

Solución

Elevando y a los3 medios que tenemos que hacer cubos e invertir, entoncesy3=1/y3.

x2y3=x21y3

Para dividirx2 por1/y3, invertimos y multiplicamos.

=x2÷1y3=x21y31=x2y3

Enfoque alternativo: Un enfoque alternativo aprovecha las leyes de los exponentes. Comenzamos multiplicando numerador y denominador pory3.

x2y3=x2y3y3y3=x2y3y0=x2y3

En el último paso, tenga en cuenta cómo utilizamos el hecho de quey0=1

Ejercicio7.1.10

Simplifique la expresióny5x2

para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

Contestar

y5x2

Ejemplo7.1.11

Considera la expresión:2x2y2z3

Simplifica para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

Solución

Nuevamente, podemos eliminar a todos los exponentes negativos tomando reciprocas. En este casoy2=1/y2 (cuadrado e invertido).

2x2y2z3=2x21y2z3=2x2y2z3

Para dividir2x2/y2 porz3, invertimos y multiplicamos.

=2x2y2÷z3=2x2y21z3=2x2y2z3

Enfoque alternativo: Un enfoque alternativo aprovecha nuevamente las leyes de los exponentes. Comenzamos multiplicando numerador y denominador pory2.

2x2y2z3=2x2y2z3y2y2=2x2y0y2z3=2x2y2z3

En el último paso, tenga en cuenta cómo utilizamos el hecho de quey0=1.

Ejercicio7.1.11

Simplifique la expresiónx3y23z4

para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

Contestar

y2z43x3


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