7.5: Variación directa e inversa

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Comenzamos con la deﬁnición de la frase “es proporcional a”.

Proporcional

Decimos que$y$ es proporcional a$x$ si y sólo si
\[y = kx \nonumber \]
donde$k$ es una constante llamada la constante de proporcionalidad. La frase “$y$varía directamente ya que$x$” es una forma equivalente de decir “$y$es proporcional a”$x$.

Aquí hay algunos ejemplos que traducen la frase “es proporcional a”.

Dado que$d$ es proporcional a$t$, escribimos$d = kt$, donde$k$ es una constante.
Dado que$y$ es proporcional al cubo de$x$, escribimos$y = kx^3$, donde$k$ es una constante.
Dado que$s$ es proporcional al cuadrado de$t$, escribimos$s = kt^2$, donde$k$ es una constante.

No nos limitamos a usar siempre la letra$k$ para nuestra constante de proporcionalidad.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Dado que$y$ es proporcional$x$ y el hecho de que$y = 12$ cuando$x = 5$, determinar la constante de proporcionalidad, entonces determinar el valor de$y$ cuando$x = 10$.

Solución

Dado el hecho de que el$y$ es proporcional a$x$, sabemos de inmediato que\[y = kx \nonumber \] dónde$k$ está la constante de proporcionalidad. Porque se nos da que$y = 12$ cuando$x = 5$, podemos sustituir$y$ y$12$$5$$x$ para determinar$k$.

\[\begin{array}{rl}{y=k x} & \color {Red} {y \text { is proportional to } x} \\ {12=k(5)} & \color {Red} {\text { Substitute } 12 \text { for } y, 5 \text { for } x} \\ {\dfrac{12}{5}=k} & \color {Red} {\text { Divide both sides by } 5}\end{array} \nonumber \]

A continuación, sustituir la constante de proporcionalidad$12/5$ por$k$ in$y = kx$, luego sustituir$10$$x$ para determinar$y$ cuándo$x = 10$.

\[\begin{array}{ll}{y=\dfrac{12}{5} x} & \color {Red} {\text { Substitute } 12 / 5 \text { for } k} \\ {y=\dfrac{12}{5}(10)} &\color {Red} {\text { Substitute } 10 \text { for } x} \\ {y=24} & \color {Red} {\text { Cancel and simplify. }}\end{array} \nonumber \]

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dado que$y$ es proporcional a$x$ y que$y = 21$ cuando$x = 9$, determinar el valor de$y$ cuando$x = 27$.

Contestar: $63$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Una bola se deja caer desde un globo que baja sobre la superficie de la tierra. $s$La distancia que cae la pelota es proporcional al cuadrado del tiempo$t$ que ha pasado desde la liberación del balón. Si la pelota cae$144$ pies durante los primeros$3$ segundos, ¿hasta dónde cae la pelota en$9$ segundos?

Solución

Dado el hecho de que el$s$ es proporcional al cuadrado de$t$, sabemos de inmediato que

\[s=k t^{2} \nonumber \]

donde$k$ está la constante de proporcionalidad. Debido a que se nos da que la pelota cae$144$ pies durante los primeros$3$ segundos, podemos sustituir$s$ y$144$$3$$t$ para determinar la constante de proporcionalidad.

\[\begin{array}{rl}{s=k t^{2}} & \color {Red} {s \text { is proportional to the square of } t} \\ {144=k(3)^{2}} & \color {Red} {\text { Substitute } 144 \text { for } s, 3 \text { for } t} \\ {144=9 k} & \color {Red} {\text { Simplify: } 3^{2}=9} \\ {16=k} & \color {Red} {\text { Divide both sides by } 9}\end{array} \nonumber \]

A continuación, sustituya la constante de proporcionalidad$16$ por$k$ in$s = kt^2$, y luego sustituya$9$$t$ para determinar la distancia caída cuando$t = 9$ segundos.

\[\begin{array}{ll}{s=16 t^{2}} & \color {Red} {\text { Substitute } 16 \text { for } k} \\ {s=16(9)^{2}} & \color {Red} {\text { Substitute } 9 \text { for } t} \\ {s=1296} & \color {Red} {\text { Simplify }}\end{array} \nonumber \]

Así, la pelota cae$1,296$ pies durante los primeros$9$ segundos.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Se deja caer una pelota desde el borde de un clítoris sobre un planeta determinado. $s$La distancia que cae la pelota es proporcional al cuadrado del tiempo$t$ que ha pasado desde la liberación del balón. Si la pelota cae$50$ pies durante los primeros$5$ segundos, ¿hasta dónde cae la pelota en$8$ segundos?

Contestar: $128$pies

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Tony y Paul están colgando pesas en un resorte en el laboratorio de física. Cada vez que se cuelga un peso, miden la distancia que estira el resorte. Descubren que la distancia$y$ que estira el resorte es proporcional al peso que cuelga del muelle (Ley de Hooke). Si un peso de una$0.5$ libra estira las$3$ pulgadas del resorte, ¿hasta dónde estirará la primavera una$0.75$ libra de peso?

Solución

Dejar$W$ representar el peso colgado en el resorte. Dejar$y$ representar la distancia que estira el resorte. Nos dicen que la distancia y el resorte se estira es proporcional a la cantidad de peso$W$ colgado en el resorte. De ahí que podamos escribir:

\[y=k W \quad \color {Red} y \text { is proportional to } W \nonumber \]

Sustituya$y$,$3$$0.5$ para$W$, luego resuelva la horquilla.

\[\begin{array}{rlrl}{3} & {=k(0.5)} & {} & \color {Red} {\text { Substitute } 3 \text { for } y, 0.5 \text { for } W} \\ {\dfrac{3}{0.5}} & {=k} & {} & \color {Red} {\text { Divide both sides by } 0.5} \\ {k} & {=6} & {} & \color {Red} {\text { Simplify. }}\end{array} \nonumber \]

Sustituto$6$ de$k$ in$y = kW$ para producir:

\[y=6 W \quad \color {Red} \text { Substitute } 6 \text { for } k \text { in } y=k W \nonumber \]

Para determinar la distancia que el resorte se estirará cuando se cuelguen$0.75$ libras en el resorte, sustituya$0.75$ por$W$.

\[\begin{array}{ll}{y=6(0.75)} & \color {Red} {\text { Substitute } 0.75 \text { for } W} \\ {y=4.5} & \color {Red} {\text { Simplify. }}\end{array} \nonumber \]

Así, el resorte se estirará$4.5$ pulgadas.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Si un peso de una$0.75$ libra estira un resorte$5$ pulgadas, ¿hasta dónde estirará el resorte una$1.2$ libra de peso?

Contestar: $8$pulgadas

Inversamente Proporcional

En Ejemplos$\PageIndex{1}$,$\PageIndex{2}$, y$\PageIndex{3}$, donde una cantidad era proporcional a una segunda cantidad, es posible que hayas notado que cuando una cantidad aumentaba, la segunda cantidad también aumentaba. Viceversa, cuando una cantidad disminuyó, la segunda también disminuyó.

Sin embargo, no todas las situaciones del mundo real siguen este patrón. Hay momentos en los que a medida que aumenta una cantidad, la cantidad relacionada disminuye. Por ejemplo, considere la situación en la que aumenta el número de trabajadores en un puesto de trabajo y tenga en cuenta que el tiempo para finalizarlo disminuye. Este es un ejemplo de una cantidad que es inversamente proporcional a una segunda cantidad.

Inversamente proporcional

Decimos que el$y$ es inversamente proporcional a$x$ si y solo si\[y=\dfrac{k}{x} \nonumber \] donde$k$ es una constante llamada la constante de proporcionalidad. La frase “$y$varía inversamente ya que$x$” es una forma equivalente de decir “$y$en inversamente proporcional a”$x$.

Aquí hay algunos ejemplos que traducen la frase “es inversamente proporcional a”.

Dado que$d$ es inversamente proporcional a$t$, escribimos$d = k/t$, donde$k$ es una constante.
Dado que$y$ es inversamente proporcional al cubo de$x$, escribimos$y = k/x^3$, donde$k$ es una constante.
Dado que$s$ es inversamente proporcional al cuadrado de$t$, escribimos$s = k/t^2$, donde$k$ es una constante.

No nos limitamos a usar siempre la letra$k$ para nuestra constante de proporcionalidad.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Dado que$y$ es inversamente proporcional a$x$ y el hecho de que$y = 4$ cuando$x = 2$, determinar la constante de proporcionalidad, entonces determinar el valor de$y$ cuando$x = 4$.

Solución

Dado que el$y$ es inversamente proporcional a$x$, sabemos de inmediato que\[y=\dfrac{k}{x} \nonumber \] dónde$k$ está la constante de proporcionalidad. Porque se nos da que$y = 4$ cuando$x = 2$, podemos sustituir$y$ y$4$$2$$x$ para determinar$k$.

\[\begin{align*} y &= \dfrac{k}{x} \quad \color {Red} y \text { is inversely proportional to } x.\\ 4 &= \dfrac{k}{2} \quad \color {Red} \text {Substitute }4 \text { for } y, 2 \text { for }x.\\ 8 &= k \quad \color {Red} \text {Multiply both sides by } 2. \end{align*} \nonumber\]

Sustituir$8$ por$k$ in$y = k/x$, luego sustituir$4$$x$ para determinar$y$ cuándo$x = 4$.

\[\begin{align*} y &= \dfrac{8}{x} \quad \color {Red} \text {Substitute } 8 \text { for } k.\\ y &= \dfrac{8}{4} \quad \color {Red} \text {Substitute }4 \text { for } x.\\ y &= 2 \quad \color {Red} \text {Reduce.} \end{align*} \nonumber\]

Tenga en cuenta que a medida que se$x$ incrementó de$2$ a$4$,$y$ disminuyó de$4$ a$2$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Dado que$y$ es inversamente proporcional a$x$ y que$y = 5$ cuando$x = 8$, determinar el valor de$y$ cuando$x = 10$.

Contestar: $4$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

La intensidad$I$ de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia$d$ desde la fuente de luz. Si la intensidad de luz$5$ pies de la fuente de luz es$3$ pie-velas, ¿cuál es la intensidad de los$15$ pies de luz de la fuente de luz?

Solución

Dado que la intensidad$I$ de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d de la fuente de luz, sabemos inmediatamente que\[I = \dfrac{k}{d^2} \nonumber \] dónde$k$ está la constante de proporcionalidad. Debido a que se nos da que la intensidad es$I = 3$ pie-velas a$d = 5$ pies de la fuente de luz, podemos sustituir$I$ y$3$$5$$d$ para determinar$k$.

\[\begin{align*} I &= \dfrac{k}{d^2} \quad \color {Red} I \text { is inversely proportional to } d^2 .\\ 3 &= \dfrac{k}{5^2} \quad \color {Red} \text {Substitute }3 \text { for } I, 5 \text { for } d.\\ 3 &= \dfrac{k}{25} \quad \color {Red} \text {Simplify.}\\ 75 &= k \quad \color {Red} \text {Multiply both sides by } 25. \end{align*} \nonumber\]

Sustituir$75$ por$k$ in$I = k/d^2$, luego sustituir$15$$d$ para determinar$I$ cuándo$d = 15$.

\[\begin{align*} I &= \dfrac{75}{d^2} \quad \color {Red} \text {Substitute }75 \text { for } k.\\ I &= \dfrac{75}{15^2} \quad \color {Red} \text {Substitute }15 \text { for } d.\\ I &= \dfrac{75}{225} \quad \color {Red} \text {Simplify.}\\ I &= \dfrac{1}{3} \quad \color {Red} \text {Reduce.} \end{align*} \nonumber\]

Así, la intensidad de los$15$ pies de luz de la fuente de luz es$1/3$ pie-vela.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Si la intensidad de luz$4$ pies de una fuente de luz es$2$ pie-velas, ¿cuál es la intensidad de los$8$ pies de luz de la fuente de luz?

Contestar: $1/2$vela de pie

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Supongamos que el precio por persona para una experiencia de campamento es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en la experiencia. Si$10$ la gente se inscribe, el precio por persona es$$350$. ¿Cuál será el precio por persona si$50$ las personas se inscriben?

Solución

Dejar$p$ representar el precio por persona y dejar$N$ ser el número de personas que se inscriban para la experiencia de campamento. Debido a que nos dicen que el precio por persona es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en la experiencia de campamento, podemos escribir:

\[p = \dfrac{k}{N} \nonumber \]

donde$k$ está la constante de proporcionalidad. Porque se nos da que el precio por persona es$$350$ cuando$10$ las personas se inscriben, podemos sustituir$p$ y$350$$10$$N$ para determinar$k$.

\[\begin{align*} p &= \dfrac{k}{N} \quad \color {Red} p \text { is inversely proportional to }N.\\ 350 &= \dfrac{k}{10} \quad \color {Red} \text {Substitute }350 \text { for } p, 10 \text { for } N.\\ 3500 &= k \quad \color {Red} \text {Multiply both sides by } 10. \end{align*} \nonumber\]

Sustituir$3500$ por$k$ in$p = k/N$, luego sustituir$50$$N$ para determinar$p$ cuándo$N = 50$.

\[\begin{align*} p &= \dfrac{3500}{N} \quad \color {Red} \text {Substitute }3500 \text { for } k.\\ p &= \dfrac{3500}{50} \quad \color {Red} \text {Substitute }50 \text { for } N.\\ p &= 70 \quad \color {Red} \text {Simplify.} \end{align*} \nonumber\]

Así, el precio por persona es$$70$ si$50$ las personas se inscriben en la experiencia de campamento.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Supongamos que el precio por persona para un recorrido es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en el recorrido. Si$8$ la gente se inscribe, el precio por persona es$$70$. ¿Cuál será el precio por persona si$20$ las personas se inscriben?

Contestar: $$28$