7.5: Variación directa e inversa
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Comenzamos con la definición de la frase “es proporcional a”.
Proporcional
Decimos quey es proporcional ax si y sólo si
y=kx
dondek es una constante llamada la constante de proporcionalidad. La frase “yvaría directamente ya quex” es una forma equivalente de decir “yes proporcional a”x.
Aquí hay algunos ejemplos que traducen la frase “es proporcional a”.
- Dado qued es proporcional at, escribimosd=kt, dondek es una constante.
- Dado quey es proporcional al cubo dex, escribimosy=kx3, dondek es una constante.
- Dado ques es proporcional al cuadrado det, escribimoss=kt2, dondek es una constante.
No nos limitamos a usar siempre la letrak para nuestra constante de proporcionalidad.
Ejemplo7.5.1
Dado quey es proporcionalx y el hecho de quey=12 cuandox=5, determinar la constante de proporcionalidad, entonces determinar el valor dey cuandox=10.
Solución
Dado el hecho de que ely es proporcional ax, sabemos de inmediato quey=kx dóndek está la constante de proporcionalidad. Porque se nos da quey=12 cuandox=5, podemos sustituiry y125x para determinark.
y=kxy is proportional to x12=k(5) Substitute 12 for y,5 for x125=k Divide both sides by 5
A continuación, sustituir la constante de proporcionalidad12/5 pork iny=kx, luego sustituir10x para determinary cuándox=10.
y=125x Substitute 12/5 for ky=125(10) Substitute 10 for xy=24 Cancel and simplify.
Ejercicio7.5.1
Dado quey es proporcional ax y quey=21 cuandox=9, determinar el valor dey cuandox=27.
- Contestar
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63
Ejemplo7.5.2
Una bola se deja caer desde un globo que baja sobre la superficie de la tierra. sLa distancia que cae la pelota es proporcional al cuadrado del tiempot que ha pasado desde la liberación del balón. Si la pelota cae144 pies durante los primeros3 segundos, ¿hasta dónde cae la pelota en9 segundos?
Solución
Dado el hecho de que els es proporcional al cuadrado det, sabemos de inmediato que
s=kt2
dondek está la constante de proporcionalidad. Debido a que se nos da que la pelota cae144 pies durante los primeros3 segundos, podemos sustituirs y1443t para determinar la constante de proporcionalidad.
s=kt2s is proportional to the square of t144=k(3)2 Substitute 144 for s,3 for t144=9k Simplify: 32=916=k Divide both sides by 9
A continuación, sustituya la constante de proporcionalidad16 pork ins=kt2, y luego sustituya9t para determinar la distancia caída cuandot=9 segundos.
s=16t2 Substitute 16 for ks=16(9)2 Substitute 9 for ts=1296 Simplify
Así, la pelota cae1,296 pies durante los primeros9 segundos.
Ejercicio7.5.2
Se deja caer una pelota desde el borde de un clítoris sobre un planeta determinado. sLa distancia que cae la pelota es proporcional al cuadrado del tiempot que ha pasado desde la liberación del balón. Si la pelota cae50 pies durante los primeros5 segundos, ¿hasta dónde cae la pelota en8 segundos?
- Contestar
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128pies
Ejemplo7.5.3
Tony y Paul están colgando pesas en un resorte en el laboratorio de física. Cada vez que se cuelga un peso, miden la distancia que estira el resorte. Descubren que la distanciay que estira el resorte es proporcional al peso que cuelga del muelle (Ley de Hooke). Si un peso de una0.5 libra estira las3 pulgadas del resorte, ¿hasta dónde estirará la primavera una0.75 libra de peso?
Solución
DejarW representar el peso colgado en el resorte. Dejary representar la distancia que estira el resorte. Nos dicen que la distancia y el resorte se estira es proporcional a la cantidad de pesoW colgado en el resorte. De ahí que podamos escribir:
y=kWy is proportional to W
Sustituyay,30.5 paraW, luego resuelva la horquilla.
3=k(0.5) Substitute 3 for y,0.5 for W30.5=k Divide both sides by 0.5k=6 Simplify.
Sustituto6 dek iny=kW para producir:
y=6W Substitute 6 for k in y=kW
Para determinar la distancia que el resorte se estirará cuando se cuelguen0.75 libras en el resorte, sustituya0.75 porW.
y=6(0.75) Substitute 0.75 for Wy=4.5 Simplify.
Así, el resorte se estirará4.5 pulgadas.
Ejercicio7.5.3
Si un peso de una0.75 libra estira un resorte5 pulgadas, ¿hasta dónde estirará el resorte una1.2 libra de peso?
- Contestar
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8pulgadas
Inversamente Proporcional
En Ejemplos7.5.1,7.5.2, y7.5.3, donde una cantidad era proporcional a una segunda cantidad, es posible que hayas notado que cuando una cantidad aumentaba, la segunda cantidad también aumentaba. Viceversa, cuando una cantidad disminuyó, la segunda también disminuyó.
Sin embargo, no todas las situaciones del mundo real siguen este patrón. Hay momentos en los que a medida que aumenta una cantidad, la cantidad relacionada disminuye. Por ejemplo, considere la situación en la que aumenta el número de trabajadores en un puesto de trabajo y tenga en cuenta que el tiempo para finalizarlo disminuye. Este es un ejemplo de una cantidad que es inversamente proporcional a una segunda cantidad.
Inversamente proporcional
Decimos que ely es inversamente proporcional ax si y solo siy=kx dondek es una constante llamada la constante de proporcionalidad. La frase “yvaría inversamente ya quex” es una forma equivalente de decir “yen inversamente proporcional a”x.
Aquí hay algunos ejemplos que traducen la frase “es inversamente proporcional a”.
- Dado qued es inversamente proporcional at, escribimosd=k/t, dondek es una constante.
- Dado quey es inversamente proporcional al cubo dex, escribimosy=k/x3, dondek es una constante.
- Dado ques es inversamente proporcional al cuadrado det, escribimoss=k/t2, dondek es una constante.
No nos limitamos a usar siempre la letrak para nuestra constante de proporcionalidad.
Ejemplo7.5.4
Dado quey es inversamente proporcional ax y el hecho de quey=4 cuandox=2, determinar la constante de proporcionalidad, entonces determinar el valor dey cuandox=4.
Solución
Dado que ely es inversamente proporcional ax, sabemos de inmediato quey=kx dóndek está la constante de proporcionalidad. Porque se nos da quey=4 cuandox=2, podemos sustituiry y42x para determinark.
y=kxy is inversely proportional to x.4=k2Substitute 4 for y,2 for x.8=kMultiply both sides by 2.
Sustituir8 pork iny=k/x, luego sustituir4x para determinary cuándox=4.
y=8xSubstitute 8 for k.y=84Substitute 4 for x.y=2Reduce.
Tenga en cuenta que a medida que sex incrementó de2 a4,y disminuyó de4 a2.
Ejercicio7.5.4
Dado quey es inversamente proporcional ax y quey=5 cuandox=8, determinar el valor dey cuandox=10.
- Contestar
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4
Ejemplo7.5.5
La intensidadI de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distanciad desde la fuente de luz. Si la intensidad de luz5 pies de la fuente de luz es3 pie-velas, ¿cuál es la intensidad de los15 pies de luz de la fuente de luz?
Solución
Dado que la intensidadI de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d de la fuente de luz, sabemos inmediatamente queI=kd2 dóndek está la constante de proporcionalidad. Debido a que se nos da que la intensidad esI=3 pie-velas ad=5 pies de la fuente de luz, podemos sustituirI y35d para determinark.
I=kd2I is inversely proportional to d2.3=k52Substitute 3 for I,5 for d.3=k25Simplify.75=kMultiply both sides by 25.
Sustituir75 pork inI=k/d2, luego sustituir15d para determinarI cuándod=15.
I=75d2Substitute 75 for k.I=75152Substitute 15 for d.I=75225Simplify.I=13Reduce.
Así, la intensidad de los15 pies de luz de la fuente de luz es1/3 pie-vela.
Ejercicio7.5.5
Si la intensidad de luz4 pies de una fuente de luz es2 pie-velas, ¿cuál es la intensidad de los8 pies de luz de la fuente de luz?
- Contestar
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1/2vela de pie
Ejemplo7.5.6
Supongamos que el precio por persona para una experiencia de campamento es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en la experiencia. Si10 la gente se inscribe, el precio por persona es$350. ¿Cuál será el precio por persona si50 las personas se inscriben?
Solución
Dejarp representar el precio por persona y dejarN ser el número de personas que se inscriban para la experiencia de campamento. Debido a que nos dicen que el precio por persona es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en la experiencia de campamento, podemos escribir:
p=kN
dondek está la constante de proporcionalidad. Porque se nos da que el precio por persona es$350 cuando10 las personas se inscriben, podemos sustituirp y35010N para determinark.
p=kNp is inversely proportional to N.350=k10Substitute 350 for p,10 for N.3500=kMultiply both sides by 10.
Sustituir3500 pork inp=k/N, luego sustituir50N para determinarp cuándoN=50.
p=3500NSubstitute 3500 for k.p=350050Substitute 50 for N.p=70Simplify.
Así, el precio por persona es$70 si50 las personas se inscriben en la experiencia de campamento.
Ejercicio7.5.6
Supongamos que el precio por persona para un recorrido es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en el recorrido. Si8 la gente se inscribe, el precio por persona es$70. ¿Cuál será el precio por persona si20 las personas se inscriben?
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$28