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7.3: Simplificar expresiones racionales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Cada vez que divides un polinomio por un segundo polinomio, formas lo que es, encontrarás ese material bastante útil para esta sección. conocida como expresión racional.

Nota

Se recomienda encarecidamente a los lectores que revisen el material sobre fracciones presentado en la Sección 3 del Capítulo 1.

Expresión racional

La expresiónp(x)q(x) dondep(x) yq(x) son polinomios, se denomina expresión racional.

Por ejemplo, cada una de las siguientes es una expresión racional.

  1. x+23x
  2. x+3x22x4
  3. 2x3y2

En el ejemplo a), la expresión racional se compone de un binomio sobre un monomio. El ejemplo b) se construye dividiendo un binomio por un trinomio. El ejemplo c) está compuesto por un monomio sobre un monomio, el tipo de expresión racional que más atención ganará en esta sección.

Multiplicar y dividir expresiones racionales

Nos concentraremos en expresiones racionales con numeradores y denominadores monomiales. Recordemos que para formar el producto de dos números racionales, simplemente multiplicamos numeradores y denominadores. La misma técnica se utiliza para multiplicar dos expresiones racionales cualesquiera.

Multiplicar expresiones racionales

Dadoa/b yc/d, su producto se define como:abcd=acbd

Recuerda, solo necesitas multiplicar numeradores y denominadores. Por ejemplo:

  1. x32y=2x3y
  2. 2a3b25a9b3=10a227b5
  3. x2y(3x4y2)=3x28y3

Por supuesto, como muestra el siguiente ejemplo, a veces también necesitas reducir tu respuesta a los términos más bajos.

Ejemplo7.3.1

Simplificar:2xx24.

Solución

Multiplicar numeradores y denominadores.

2xx24=2x54x3

Ahora, hay varias formas diferentes de reducir esta respuesta a los términos más bajos, dos de los cuales se muestran a continuación.

Puedes factorizar numerador y denominador, luego cancelar factores comunes. 2x54x3=2xxxxx22xxx=2xxxxx22xxx=x22

O puedes escribir la respuesta como un producto, repetir la base y restar exponentes. 2x54x3=24x5x3=12x53=12x2

Como dividir por2 es lo mismo que multiplicar por1/2, estas respuestas son equivalentes. Además, tenga en cuenta que el método de la derecha es más eficiente

Ejercicio7.3.1

Simplemente:9x2x6.

Responder

32x

Recordemos que al dividir fracciones, invertimos la segunda fracción y multiplicamos.

Dividir expresiones racionales

Dado a/b y c/d, su cociente se define como:ab÷cd=abdc=adbc

Ejemplo7.3.2

Simplificar:x2y÷x42y2.

Solución

Invertir, luego multiplicar.

x2y÷x42y2=x2y2y2x4=2x2y2x4y

Ahora, hay varias formas diferentes de reducir esta respuesta a los términos más bajos, dos de los cuales se muestran a continuación.

Puedes factorizar numerador y denominador, luego cancelar factores comunes. 2x2y2x4y=2xxyyxxxxy=2xxyyxxxxy=2yx2

O puedes escribir la respuesta como un producto, repetir la base y restar exponentes. 2x2y2x4y=2x2x4y2y1=2x2y1=2yx2En el último paso,x2 es lo mismo que1/x2, luego multiplicamos numeradores y denominadores.

Tenga en cuenta que el método de la derecha es más eficiente.

Ejercicio7.3.2

Simplificar:3yx3÷y24x.

Responder

12x2y

Sumando y restando expresiones racionales

Primero, recordar las reglas para sumar o restar fracciones que tengan un denominador “común”.

Agregar expresiones racionales

Dadoa/c yb/c, su suma se define como: Esac+bc=a+bc decir, sumar los numeradores y colocar el resultado sobre el denominador común.

Los siguientes ejemplos comparten cada uno un denominador común. Agregamos los numeradores, luego colocamos el resultado sobre el denominador común.

57+17=67,2x+3x=5x,andxy+3yy=x+3yy

Ejemplo7.3.3

Simplificar:3xxy+2yxy.

Solución

Sumar los numeradores, colocando el resultado sobre el denominador común.

3xxy+2yxy=3x+2yxy

Ejercicio7.3.3

Simplificar:4xx2y+5y2x2y

Responder

4x+5y2x2y

Restar expresiones racionales

Dadoa/c yb/c, su diferencia se define como: Esacbc=abc decir, restar los numeradores y colocar el resultado sobre el denominador común.

Los siguientes ejemplos comparten cada uno un denominador común. Restamos los numeradores, luego colocamos el resultado sobre el denominador común.

7929=29,5ab3ab=2ab,and3xxy5yxy=3x5yxy

Como muestra el siguiente ejemplo, a veces es posible que tengas que reducir tu respuesta a los términos más bajos.

Ejemplo7.3.4

Simplificar:5xy2z3xy2z.

Solución

Restar los numeradores, colocando el resultado sobre el denominador común.

5xy2z3xy2z=5xy3xy2z=2xy2z

Para reducir a términos más bajos, divida tanto el numerador como el denominador por2.

xyz

Ejercicio7.3.4

Simplificar:8x3yz22x3yz2.

Responder

2xyz2

El mínimo denominador común

Al sumar o restar, si las expresiones racionales no comparten un denominador común, primero se deben hacer fracciones equivalentes con un denominador común.

Mínimo común denominador

Si las fraccionesa/b yc/d no comparten un denominador común, entonces el mínimo denominador común parab yd se define como el número (o expresión) más pequeño divisible por ambosb yd. En símbolos,LCD(b,d) representa el mínimo común denominador deb yd.

Ejemplo7.3.5

Simplificar:x6+2x9.

Solución

El número más pequeño divisible por ambos6 y9 es18; es decir,LCD(6,9)=18. Primero debemos hacer fracciones equivalentes con un denominador común de18.

x6+2x9=x633+2x922=3x18+4x18

=7x18

Ejercicio7.3.5

Simplificar:3x8+5x6.

Responder

29x24

Ejemplo7.3.6

Simplificar:y8xy12x.

Solución

La expresión más pequeña divisible por ambos8x y12x es24x; i.eLCD(8x,12x)=24x.,. Primero debemos hacer fracciones equivalentes con un denominador común de24x, luego colocar la diferencia de los numeradores sobre el denominador común.

y8xy12x=y8x33y12x22=3y24x2y24x=y24x

Ejercicio7.3.6

Simplificar:x8yx10y.

Responder

x40y

En Ejemplo7.3.5, no era despreciable imaginar el número más pequeño divisible por ambos6 y9. Una declaración similar podría aplicarse a Ejemplo7.3.6. Este no es el caso en todas las situaciones.

Ejemplo7.3.7

Simplificar:5y72y108.

Solución

En este ejemplo, no es fácil conjurar el número más pequeño divisible por ambos72 y108. Como veremos, la factorización prime vendrá al rescate.

fig 7.3.a.png

Así,72=2332 y108=2233.

Nota: Procedimiento para determinar el mínimo denominador común (LCD)

Para encontrar el mínimo denominador común para dos o más fracciones, proceda de la siguiente manera:

  1. Factor primo cada denominador, poniendo sus respuestas en forma exponencial.
  2. Para determinar elLCD, anote cada factor que aparezca en tus factorizaciones prime al máximo poder que aparezca.

Siguiendo el procedimiento anterior, enumeramos la factorización prima de cada denominador en forma exponencial. El poder más alto de2 lo que aparece es23. El poder más alto de3 lo que aparece es33.

72=2332Prime factor 72.108=2233Prime factor 108.LCD=2333Highest power of 2 is 23. Highest power of 3 is 33.

Por lo tanto, elLCD es2333=827 o216. Por lo tanto:

5y72y108=5y7233y10822Make equivalent fractions.=15y2162y216Simplify.=13y216Subtract numerators.

Ejercicio7.3.7

Simplificar:7x363x40.

Responder

43x360

Ejemplo7.3.8

Simplificar:715xy21120x2

Solución

Factor primo cada denominador, colocando los resultados en forma exponencial.

15xy2=35xy220x2=225x2

Para encontrar elLCD, enumerar cada factor que aparece a la mayor potencia que aparece.

LCD=2235x2y2

Simplificar.

LCD=60x2y2

Después de hacer fracciones equivalentes, coloque la diferencia de los numeradores sobre este denominador común.

715xy21120x2=715xy24x4x1120x23y23y2=28x60x2y233y260x2y2=28x33y260x2y2

Ejercicio7.3.8

Simplificar:1118xy2+7x30xy

Responder

55+21x290x2y

Dividiendo un polinomio por un monomio

Sabemos que la multiplicación es distributiva con respecto a la suma; es decir,a(b+c)=ab+ac. Utilizamos esta propiedad para realizar multiplicaciones como:x2(2x23x8)=2x43x38x2 Sin embargo, también es cierto que la división es distributiva con respecto a la suma.

Propiedad distributiva para división

Sia,b, yc son números, entonces:a+bc=ac+bc

Por ejemplo, tenga en cuenta que4+62=42+62

Esta forma de la propiedad distributiva se puede utilizar para dividir un polinomio por un monomio.

Ejemplo7.3.9

Dividirx22x3 porx2.

Solución

Utilizamos la propiedad distributiva, dividiendo cada término porx2.

x22x3x2=x2x22xx23x2

Ahora reducimos cada término del último resultado a términos más bajos, cancelando factores comunes.

=12x3x2

Ejercicio7.3.9

Dividir9x3+8x26x por3x2.

Responder

3x+832x

Ejemplo7.3.10

Dividir2x33x+12 por6x3.

Solución

Utilizamos la propiedad distributiva, dividiendo cada término por6x3.

2x33x+126x3=2x36x33x6x3+126x3

Ahora reducimos cada término del último resultado a términos más bajos, cancelando factores comunes.

=1312x2+2x3

Ejercicio7.3.10

Dividir4x2+6x9 por2x4.

Responder

2x2+3x39x4


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