7.3: Simplificar expresiones racionales
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Cada vez que divides un polinomio por un segundo polinomio, formas lo que es, encontrarás ese material bastante útil para esta sección. conocida como expresión racional.
Nota
Se recomienda encarecidamente a los lectores que revisen el material sobre fracciones presentado en la Sección 3 del Capítulo 1.
Expresión racional
La expresiónp(x)q(x) dondep(x) yq(x) son polinomios, se denomina expresión racional.
Por ejemplo, cada una de las siguientes es una expresión racional.
- x+23x
- x+3x2−2x−4
- 2x3y2
En el ejemplo a), la expresión racional se compone de un binomio sobre un monomio. El ejemplo b) se construye dividiendo un binomio por un trinomio. El ejemplo c) está compuesto por un monomio sobre un monomio, el tipo de expresión racional que más atención ganará en esta sección.
Multiplicar y dividir expresiones racionales
Nos concentraremos en expresiones racionales con numeradores y denominadores monomiales. Recordemos que para formar el producto de dos números racionales, simplemente multiplicamos numeradores y denominadores. La misma técnica se utiliza para multiplicar dos expresiones racionales cualesquiera.
Multiplicar expresiones racionales
Dadoa/b yc/d, su producto se define como:ab⋅cd=acbd
Recuerda, solo necesitas multiplicar numeradores y denominadores. Por ejemplo:
- x3⋅2y=2x3y
- 2a3b2⋅5a9b3=10a227b5
- x2y⋅(−3x4y2)=−3x28y3
Por supuesto, como muestra el siguiente ejemplo, a veces también necesitas reducir tu respuesta a los términos más bajos.
Ejemplo7.3.1
Simplificar:2x⋅x24.
Solución
Multiplicar numeradores y denominadores.
2x⋅x24=2x54x3
Ahora, hay varias formas diferentes de reducir esta respuesta a los términos más bajos, dos de los cuales se muestran a continuación.
Puedes factorizar numerador y denominador, luego cancelar factores comunes. 2x54x3=2⋅x⋅x⋅x⋅x⋅x2⋅2⋅x⋅x⋅x=⧸2⋅⧸x⋅⧸x⋅⧸x⋅x⋅x⧸2⋅2⋅⧸x⋅⧸x⋅⧸x=x22
O puedes escribir la respuesta como un producto, repetir la base y restar exponentes. 2x54x3=24⋅x5x3=12⋅x5−3=12x2
Como dividir por2 es lo mismo que multiplicar por1/2, estas respuestas son equivalentes. Además, tenga en cuenta que el método de la derecha es más eficiente
Ejercicio7.3.1
Simplemente:9x2⋅x6.
- Responder
-
32x
Recordemos que al dividir fracciones, invertimos la segunda fracción y multiplicamos.
Dividir expresiones racionales
Dado a/b y c/d, su cociente se define como:ab÷cd=ab⋅dc=adbc
Ejemplo7.3.2
Simplificar:x2y÷x42y2.
Solución
Invertir, luego multiplicar.
x2y÷x42y2=x2y⋅2y2x4=2x2y2x4y
Ahora, hay varias formas diferentes de reducir esta respuesta a los términos más bajos, dos de los cuales se muestran a continuación.
Puedes factorizar numerador y denominador, luego cancelar factores comunes. 2x2y2x4y=2⋅x⋅x⋅y⋅yx⋅x⋅x⋅x⋅y=2⋅⧸x⋅⧸x⋅⧸y⋅y⧸x⋅⧸x⋅x⋅x⋅⧸y=2yx2
O puedes escribir la respuesta como un producto, repetir la base y restar exponentes. 2x2y2x4y=2⋅x2x4⋅y2y1=2x−2y1=2yx2En el último paso,x−2 es lo mismo que1/x2, luego multiplicamos numeradores y denominadores.
Tenga en cuenta que el método de la derecha es más eficiente.
Ejercicio7.3.2
Simplificar:3yx3÷y24x.
- Responder
-
12x2y
Sumando y restando expresiones racionales
Primero, recordar las reglas para sumar o restar fracciones que tengan un denominador “común”.
Agregar expresiones racionales
Dadoa/c yb/c, su suma se define como: Esac+bc=a+bc decir, sumar los numeradores y colocar el resultado sobre el denominador común.
Los siguientes ejemplos comparten cada uno un denominador común. Agregamos los numeradores, luego colocamos el resultado sobre el denominador común.
57+17=67,2x+3x=5x,andxy+3yy=x+3yy
Ejemplo7.3.3
Simplificar:3xxy+2yxy.
Solución
Sumar los numeradores, colocando el resultado sobre el denominador común.
3xxy+2yxy=3x+2yxy
Ejercicio7.3.3
Simplificar:4xx2y+5y2x2y
- Responder
-
4x+5y2x2y
Restar expresiones racionales
Dadoa/c yb/c, su diferencia se define como: Esac−bc=a−bc decir, restar los numeradores y colocar el resultado sobre el denominador común.
Los siguientes ejemplos comparten cada uno un denominador común. Restamos los numeradores, luego colocamos el resultado sobre el denominador común.
79−29=29,5ab−3ab=2ab,and3xxy−5yxy=3x−5yxy
Como muestra el siguiente ejemplo, a veces es posible que tengas que reducir tu respuesta a los términos más bajos.
Ejemplo7.3.4
Simplificar:5xy2z−3xy2z.
Solución
Restar los numeradores, colocando el resultado sobre el denominador común.
5xy2z−3xy2z=5xy−3xy2z=2xy2z
Para reducir a términos más bajos, divida tanto el numerador como el denominador por2.
xyz
Ejercicio7.3.4
Simplificar:8x3yz2−2x3yz2.
- Responder
-
2xyz2
El mínimo denominador común
Al sumar o restar, si las expresiones racionales no comparten un denominador común, primero se deben hacer fracciones equivalentes con un denominador común.
Mínimo común denominador
Si las fraccionesa/b yc/d no comparten un denominador común, entonces el mínimo denominador común parab yd se define como el número (o expresión) más pequeño divisible por ambosb yd. En símbolos,LCD(b,d) representa el mínimo común denominador deb yd.
Ejemplo7.3.5
Simplificar:x6+2x9.
Solución
El número más pequeño divisible por ambos6 y9 es18; es decir,LCD(6,9)=18. Primero debemos hacer fracciones equivalentes con un denominador común de18.
x6+2x9=x6⋅33+2x9⋅22=3x18+4x18
=7x18
Ejercicio7.3.5
Simplificar:3x8+5x6.
- Responder
-
29x24
Ejemplo7.3.6
Simplificar:y8x−y12x.
Solución
La expresión más pequeña divisible por ambos8x y12x es24x; i.eLCD(8x,12x)=24x.,. Primero debemos hacer fracciones equivalentes con un denominador común de24x, luego colocar la diferencia de los numeradores sobre el denominador común.
y8x−y12x=y8x⋅33−y12x⋅22=3y24x−2y24x=y24x
Ejercicio7.3.6
Simplificar:x8y−x10y.
- Responder
-
x40y
En Ejemplo7.3.5, no era despreciable imaginar el número más pequeño divisible por ambos6 y9. Una declaración similar podría aplicarse a Ejemplo7.3.6. Este no es el caso en todas las situaciones.
Ejemplo7.3.7
Simplificar:5y72−y108.
Solución
En este ejemplo, no es fácil conjurar el número más pequeño divisible por ambos72 y108. Como veremos, la factorización prime vendrá al rescate.
Así,72=23⋅32 y108=22⋅33.
Nota: Procedimiento para determinar el mínimo denominador común (LCD)
Para encontrar el mínimo denominador común para dos o más fracciones, proceda de la siguiente manera:
- Factor primo cada denominador, poniendo sus respuestas en forma exponencial.
- Para determinar elLCD, anote cada factor que aparezca en tus factorizaciones prime al máximo poder que aparezca.
Siguiendo el procedimiento anterior, enumeramos la factorización prima de cada denominador en forma exponencial. El poder más alto de2 lo que aparece es23. El poder más alto de3 lo que aparece es33.
72=23⋅32Prime factor 72.108=22⋅33Prime factor 108.LCD=23⋅33Highest power of 2 is 23. Highest power of 3 is 33.
Por lo tanto, elLCD es23⋅33=8⋅27 o216. Por lo tanto:
5y72−y108=5y72⋅33−y108⋅22Make equivalent fractions.=15y216−2y216Simplify.=13y216Subtract numerators.
Ejercicio7.3.7
Simplificar:7x36−3x40.
- Responder
-
43x360
Ejemplo7.3.8
Simplificar:715xy2−1120x2
Solución
Factor primo cada denominador, colocando los resultados en forma exponencial.
15xy2=3⋅5⋅x⋅y220x2=22⋅5⋅x2
Para encontrar elLCD, enumerar cada factor que aparece a la mayor potencia que aparece.
LCD=22⋅3⋅5⋅x2⋅y2
Simplificar.
LCD=60x2y2
Después de hacer fracciones equivalentes, coloque la diferencia de los numeradores sobre este denominador común.
715xy2−1120x2=715xy2⋅4x4x−1120x2⋅3y23y2=28x60x2y2−33y260x2y2=28x−33y260x2y2
Ejercicio7.3.8
Simplificar:1118xy2+7x30xy
- Responder
-
55+21x290x2y
Dividiendo un polinomio por un monomio
Sabemos que la multiplicación es distributiva con respecto a la suma; es decir,a(b+c)=ab+ac. Utilizamos esta propiedad para realizar multiplicaciones como:x2(2x2−3x−8)=2x4−3x3−8x2 Sin embargo, también es cierto que la división es distributiva con respecto a la suma.
Propiedad distributiva para división
Sia,b, yc son números, entonces:a+bc=ac+bc
Por ejemplo, tenga en cuenta que4+62=42+62
Esta forma de la propiedad distributiva se puede utilizar para dividir un polinomio por un monomio.
Ejemplo7.3.9
Dividirx2−2x−3 porx2.
Solución
Utilizamos la propiedad distributiva, dividiendo cada término porx2.
x2−2x−3x2=x2x2−2xx2−3x2
Ahora reducimos cada término del último resultado a términos más bajos, cancelando factores comunes.
=1−2x−3x2
Ejercicio7.3.9
Dividir9x3+8x2−6x por3x2.
- Responder
-
3x+83−2x
Ejemplo7.3.10
Dividir2x3−3x+12 por6x3.
Solución
Utilizamos la propiedad distributiva, dividiendo cada término por6x3.
2x3−3x+126x3=2x36x3−3x6x3+126x3
Ahora reducimos cada término del último resultado a términos más bajos, cancelando factores comunes.
=13−12x2+2x3
Ejercicio7.3.10
Dividir−4x2+6x−9 por2x4.
- Responder
-
−2x2+3x3−9x4