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7.2: Notación científica

Última actualización

30 oct 2022
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- 7.1: Exponentes negativos
- 7.3: Simplificar expresiones racionales

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Comenzamos esta sección examinando poderes de diez.

$\begin{align*} 10^1 &= 10\\ 10^2 &= 10\cdot 10 = 100\\ 10^3 &= 10\cdot 10\cdot 10 = 1,000\\ 10^4 &= 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 10,000 \end{align*} \nonumber$

Tenga en cuenta que la respuesta para $10^3$ es un uno seguido de tres ceros. La respuesta para $10^4$ es un uno seguido de cuatro ceros. ¿Ves el patrón?

Poderes no negativos de diez

En la expresión $10^n$ , el exponente coincide con el número de ceros en la respuesta. De ahí, $10^n$ será un $1$ seguido de $n$ ceros.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Simplificar: $10^9$ .

Solución

$10^9$ debe ser un $1$ seguido de $9$ ceros. $10^9 =1 ,000,000,000 \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Simplificar: $10^6$ .

Contestar: $1,000,000$

A continuación, examinemos los poderes negativos de diez.

$\begin{align*} 10^{-1} &= \dfrac{1}{10} = 0.1\\ 10^{-2} &= \dfrac{1}{100} = 0.01\\ 10^{-3} &= \dfrac{1}{1000} = 0.001\\ 10^{-4} &= \dfrac{1}{10000} = 0.0001 \end{align*} \nonumber$

Tenga en cuenta que la respuesta para $10^{−3}$ tiene tres decimales y la respuesta para $10^{−4}$ contiene cuatro decimales.

Poderes negativos de diez

En la expresión $10^{−n}$ , el exponente coincide con el número de decimales en la respuesta. De ahí, $10^{−n}$ tendrá n decimales, la primera $n−1$ de las cuales son ceros y el dígito en la enésima posición decimal es a $1$ .

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Simplificar: $10^{−7}$ .

Solución

$10^{−7}$ debe tener siete decimales, el primer seis de los cuales son ceros, y el dígito en el séptimo decimal es a $1$ . $10^{−7} = 0 .0000001 \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Simplificar: $10^{−5}$ .

Contestar: $0.00001$

Multiplicar números decimales por potencias de diez

Multipliquemos $1.234567$ por $10^3$ , o equivalentemente, por $1,000$ .

$\begin{array}{ccc} 1.234567 \\ \;\;\times 1000\\ \hline 1234.567000 \end{array} \nonumber$

La suma total de dígitos a la derecha del punto decimal en $1.234567$ y $1000$ es $6$ . Por lo tanto, colocamos el punto decimal en el producto para que haya seis dígitos a la derecha del punto decimal.

Sin embargo, los ceros finales pueden eliminarse sin cambiar el valor del producto. Es decir, los $1.234567$ tiempos lo $1000$ son $1234.567$ . Tenga en cuenta que el punto decimal en el producto está tres lugares más a la derecha que en el factor original. Esta observación lleva al siguiente resultado.

Multiplicando por una potencia no negativa de diez

Multiplicando un número decimal por $10^n$ , donde $n = 0, 1, 2, 3, \ldots ,$ moverá los $n$ lugares decimales hacia la derecha.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Simplificar: $325.6783×10^2$ .

Solución

Multiplicar por $10^2$ moverá el punto decimal dos lugares a la derecha. Así: $325.6783×10^2 = 32,567.83 \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Simplificar: $23.57889×10^3$

Contestar: $23,578.89$

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Simplificar: $1.25×10^5$ .

Solución

Multiplicar por $10^5$ moverá el punto decimal dos lugares a la derecha. En este caso, necesitamos sumar ceros al final del número para lograr mover los $5$ decimales hacia la derecha. $1.25×105 = 125,000 \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{14}$

Simplificar: $2.35×10^4$

Contestar: $23,500$

Multipliquemos $453.9$ por $10^{−2}$ , o equivalentemente, por $0.01$ .

$\begin{array}{ccc} 453.9 \\ \times 0.01\\ \hline 4.539 \end{array} \nonumber$

La suma total de dígitos a la derecha del punto decimal en $453.9$ y $0.01$ es $3$ . Por lo tanto, colocamos el punto decimal en el producto para que haya $3$ dígitos a la derecha del punto decimal. Es decir, $453.9×10^{−2} = 4.539$ . Tenga en cuenta que el punto decimal en el producto está dos lugares más a la izquierda que en el factor original. Esta observación lleva al siguiente resultado.

Multiplicando por una potencia negativa de diez

Multiplicando un número decimal por $10^{−n}$ , donde $n = 1, 2, 3, \ldots ,$ moverá los $n$ lugares decimales hacia la izquierda.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Simplificar: $14,567.8×10^{−3}$ .

Solución

Multiplicar por $10^{−3}$ moverá el punto decimal tres lugares a la izquierda. Así: $14,567.8×10^{−3} = 14 .5678 \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Simplificar: $3,854.2×10^{−1}$

Contestar: $385 .42$

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Simplificar: $4.3×10^{−4}$ .

Solución

Multiplicar por $10^{−4}$ moverá el punto decimal cuatro lugares hacia la izquierda. En este caso, necesitamos agregar algunos ceros a la izquierda al inicio del número para lograr mover los $4$ decimales hacia la izquierda. $4.3×10^{−4} =0.00043\nonumber$ . Observe también el cero a la cabeza antes del punto decimal. Si bien $.00043$ es un número equivalente, la forma $0.00043$ es preferida en matemáticas y ciencias.

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Simplificar: $2.2×10^{−2}$

Contestar: $0.022$

Formulario de notación científica

Comenzamos por determinar la forma de un número llamado notación científica.

Notación Científica

Un número que tiene la forma $a×10^b \nonumber$ donde $b$ es un entero y $1 ≤| a| < 10$ , se dice que está en notación científica.

El requisito $1 ≤| a| < 10$ dice que la magnitud de un debe ser menor $1$ y menor que $10$ .

El número no $12.34×10^{−4}$ está en notación científica porque $|12.34| = 12.34$ es mayor que $10$ .
El número no $−0.95×10^3$ está en notación científica porque $|−0.95|= 0.95$ es menor que $1$ .
El número $7.58×10^{−12}$ está en notación científica porque $|7.58|=7.58$ es mayor o igual a $1$ y menor que $10$ .
El número $−1.0×10^{15}$ está en notación científica porque $|−1.0|=1.0$ es mayor o igual a $1$ y menor que $10$ .

Después de contemplar estos ejemplos, se deduce que un número en notación científica debe tener exactamente uno de los dígitos $1, 2, 3, \ldots , 9$ antes del punto decimal. Exactamente uno, ni más, ni menos. Así, cada uno de los siguientes números está en notación científica.

$4.7×10^8, \quad −3.764×10^{−1}, \quad 3.2×10^0, \quad \text {and} \quad −1.25×10^{−22} \nonumber$

Colocación de un Número en Notación Científica

Para colocar un número en notación científica, necesitamos mover el punto decimal para que exactamente uno de los dígitos $1, 2, 3, \ldots , 9$ quede a la izquierda del punto decimal, luego multiplicarlo por la potencia apropiada de para $10$ que el resultado sea equivalente al número original.

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Colocar el número $1,234$ en notación científica.

Solución

Mueve el punto decimal tres lugares a la izquierda para que quede posicionado justo después de la $1$ . Para hacer este nuevo número igual a $1,234$ , multiplicar por $10^3$ . Así: $1,234 = 1.234×10^3 \nonumber$

Comprobar: Multiplicar por $10^3$ mueve los decimales tres lugares a la derecha, entonces: $1.234×10^3 =1,234 \nonumber$ Este es el número original, por lo que nuestra forma de notación científica es correcta.

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Colocar el número $54,321$ en notación científica.

Contestar: $5 .4321×10^4$

Ejemplo $\PageIndex{8}$

Colocar el número $0.000025$ en notación científica.

Solución

Mueva el punto decimal cinco lugares a la derecha para que quede posicionado justo después de la $2$ . Para hacer este nuevo número igual a $0.000025$ , multiplicar por $10^{−5}$ . Así: $0.000025 = 2.5×10^{−5} \nonumber$

Comprobar: Multiplicar por $10^{−5}$ mueve los cinco decimales hacia la izquierda, así: $2.5×10^{−5} = 0 .000025 \nonumber$ Este es el número original, por lo que nuestra forma de notación científica es correcta.

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Colocar el número $0.0175$ en notación científica.

Contestar: $1.75×10^{−2}$

Ejemplo $\PageIndex{9}$

Colocar el número $34.5×10^{−11}$ en notación científica.

Solución

Primero, mueve el punto decimal un lugar hacia la izquierda para que quede posicionado justo después de los tres. Para hacer esta nueva forma igual a $34.5$ , multiplicar por $10^1$ . $34.5×10^{−11} = 3.45×10^1×10^{−11} \nonumber$ Ahora, repite la base $10$ y suma los exponentes.

$=3 .45×10^{−10} \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Colocar el número $756.98×10^{−5}$ en notación científica.

Contestar: $7.5698×10^{−3}$

Ejemplo $\PageIndex{10}$

Colocar el número $0.00093×10^{12}$ en notación científica.

Solución

Primero, mueve el punto decimal cuatro lugares hacia la derecha para que quede posicionado justo después del nueve. Para hacer esta nueva forma igual a $0.00093$ , multiplicar por $10^{−4}$ . $0.00093×10^{12} = 9.3×10^{−4} ×10^{12} \nonumber$

Ahora, repite la base $10$ y suma los exponentes. $=9.3×10^8 \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Colocar el número $0.00824×10^8$ en notación científica.

Contestar: $8.24×10^5$

Notación Científica y Calculadora Gráfica

La calculadora gráfica TI-84 tiene un botón especial para ingresar números en notación científica. Localice la tecla “coma” justo sobre la $7$ tecla numérica en el teclado de la calculadora (ver Figura $\PageIndex{1}$ ). Justo encima de la tecla “coma”, impresa en la caja de la calculadora está el símbolo EE. Está en el mismo color que la tecla ², así que tendrás que usar la ^{segunda clave para} acceder a este símbolo.

higo 7.2.1.png — Figura $\PageIndex{1}$ : Localice la etiqueta EE encima de la tecla “coma” en el teclado.

Eso lo sabemos $2.3 × 10^2 = 230$ . Veamos si la calculadora da la misma interpretación.

Entrar $2.3$ .
Presiona la ^segunda tecla, luego la tecla coma. Esto pondrá E en la pantalla de vista de la calculadora.
Ingrese a $2$ .
Presione ENTER.

higo 7.2.2.png — Figura $\PageIndex{2}$ : Ingresar números en notación científica.

El resultado de estos pasos se muestra en la primera imagen de la Figura $\PageIndex{2}$ . Tenga en cuenta que la calculadora interpreta $2.3\mathbf{E}2$ como $2.3×10^2$ y da la respuesta correcta, $230$ . Puede continuar ingresando números en notación científica (ver la imagen del medio en Figura $\PageIndex{2}$ ). Sin embargo, en algún momento los números se vuelven demasiado grandes y la calculadora responde dando salida a los números en notaitón científico. También puede forzar a su calculadora a mostrar números en notación científica en todas las situaciones, presionando primero la tecla MODE, luego seleccionando SCI en la primera línea y presionando la tecla ENTER (vea la tercera imagen en la Figura $\PageIndex{2}$ ). Puede devolver su calculadora al modo “normal” seleccionando NORMAL y presionando la tecla ENTER.

Ejemplo $\PageIndex{11}$

Utilice la calculadora gráfica para simplificar: $(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4}) \nonumber$

Solución

Primero, tenga en cuenta que podemos aproximarnos $(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4})$ tomando el producto de $2$ y $3$ y sumando los poderes de diez.

$\begin{align*} &(2.35\times 10^{-12})(3.25\times 10^{-4}) \\ &\approx (2\times 10^{-12})(3\times 10^{-4}) \quad \color {Red} \text {Approximate: } 2.35\approx 2 \text { and } 3.25\approx 3 \\ &\approx 6\times 10^{-16} \quad \color {Red} 2\cdot 3 = 6 \text { and } 10^{-12}\cdot 10^{-4} = 10^{-16} \end{align*} \nonumber$

La calculadora gráfica proporcionará una respuesta precisa. Ingrese $2.35\mathbf{E}-12$ , presione el botón “times”, luego ingrese 3.25E-4 y presione el botón ENTER. Asegúrese de usar el botón “negar” y no el botón “restar” para producir el signo menos. El resultado se muestra en la Figura $\PageIndex{3}$ .

higo 7.2.3.png — Figura $\PageIndex{3}$ : Computación $(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4})$ .

Por lo tanto, $(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4})=7 .6375×10^{−16}$ . Tenga en cuenta que esto es bastante cercano a nuestra estimación de $6 ×10^{−16}$ .

Ejercicio $\PageIndex{11}$

Utilice la calculadora gráfica para simplificar: $(3.42×10^6)(5.86×10^{−9}) \nonumber$

Contestar: $2.00412×10^{−2}$

Informar tu respuesta en tu tarea

Después de computar la respuesta a Ejemplo $\PageIndex{11}$ en tu calculadora, escribe lo siguiente en tu tarea: $(2.35×10^{−12})(3.25×10^{−4})=7.6375×10^{−16} \nonumber$ No escribas $7.6375\mathbf{E}-16$ .

Ejemplo $\PageIndex{12}$

Utilice la calculadora gráfica para simplificar: $\dfrac{6.1\times 10^{-3}}{(2.7\times 10^4)(1.1\times 10^8)} \nonumber$

Solución

Nuevamente, no es difícil producir una respuesta aproximada.

$\begin{align*} &\dfrac{6.1\times 10^{-3}}{(2.7\times 10^4)(1.1\times 10^8)} \\ &\approx \dfrac{6\times 10^{-3}}{(3\times 10^4)(1\times 10^8)} \quad \color {Red} 6.1\approx 6, 2.7\approx 3, \text { and } 1.1\approx 1 \\ &\approx \dfrac{6\times 10^{-3}}{3\times 10^{12}} \quad \color {Red} 3\cdot 1=3 \text { and } 10^{4}\cdot 10^{8} = 10^{12}\\ &\approx \dfrac{6}{3}\cdot \dfrac{10^{-3}}{10^{12}} \quad \color {Red} \dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}\\ &\approx 2\times 10^{-15} \quad \color {Red} \dfrac{6}{3}=2 \text { and } \dfrac{10^{-3}}{10^{12}}=10^{-15} \end{align*} \nonumber$

Consigamos una respuesta precisa con nuestra calculadora. Ingresa el numerador como $6.1\mathbf{E}3$ , luego presiona el botón “división”. Recuerda que debemos rodear el denominador con paréntesis. Entonces presione la tecla de paréntesis abiertos, luego ingrese $2.7\mathbf{E}4$ . Presiona la tecla “times” y luego ingresa $1.1\mathbf{E}8$ . Presione la tecla Cerrar paréntesis y presione el botón ENTER. El resultado se muestra en la Figura $\PageIndex{4}$ .

higo 7.2.4.png — Figura $\PageIndex{4}$ : Computación $6.1×10^{−3}/(2.7×10^4 ×1.1×10^8)$ .

Por lo tanto, $6.1×10^{−3}/(2.7×10^4 ×1.1×10^8)=2 .05387205×10^{−15}$ . Tenga en cuenta que esto es bastante cercano a nuestra estimación de $2×10^{−15}$ .

Ejercicio $\PageIndex{12}$

Utilice la calculadora gráfica para simplificar: $\dfrac{2.6\times 10^{4}}{(7.1\times 10^{-2})(6.3\times 10^7)} \nonumber$

Responder: $5.8126537×10^{−3}$

Ejemplo $\PageIndex{13}$

La ley universal de la gravitación de Isaac Newton está determinada por la fórmula $F = \dfrac{GmM}{r^2} \nonumber$ donde $F$ está la fuerza de atracción entre dos objetos que tienen masa $m$ y $M$ , $r$ es la distancia entre los dos objetos, y $G$ es la constante gravitacional de Newton determinada por: $G =6 .67428\times 10^{-11} \text {N(m/kg)}^2 \nonumber$ Dado que la masa de la luna es $7.3477×10^{22}$ kilogramos (kg), la masa de la tierra es $5.9736×10^{24}$ kilogramos (kg), y la distancia promedio entre la luna y la tierra es $3.84403×10^8$ metros (m), encontrar la fuerza de atracción entre la tierra y la luna (en newtons (N)).

Solución

Enchufa los números dados en la ley universal de gravitación de Newton.

$F=\dfrac{GmM}{r^2} \nonumber$

$F=\dfrac{(6.673\times 10^{-11})(7.3477\times 10^{22})(5.9736\times 10^{24})}{(3.84403\times 10^8)^2} \nonumber$

Ingrese la expresión en su calculadora (ver Figura $\PageIndex{5}$ ) como:

$(6.673\mathbf{E}-11*7.3477\mathbf{E}22*5.9736\mathbf{E}24)/(3.84403\mathbf{E}8)\wedge 2 \nonumber$

higo 7.2.5.png — Figura $\PageIndex{5}$ : Computación de la fuerza de atracción entre la tierra y la luna.

De ahí que la fuerza de atracción entre la tierra y la luna sea aproximadamente $1.98×10^{20}$ newtons (N).

Ejercicio $\PageIndex{13}$

La masa de la Estación Espacial Internacional es $450,000$ kg, y su distancia promedio al centro de la tierra es $387,000$ m. Encuentra la fuerza de atracción entre la tierra y la estación (en newtons (N)).

Responder: $≈ 1.20×109 N$

Ejemplo $\PageIndex{14}$

La estrella más cercana a la tierra es Alpha Centauri, a $4.37$ años luz de la tierra. Un año luz es la distancia que recorrerá la luz en un año. La velocidad de la luz es de $186,000$ millas por segundo. ¿A cuántas millas de la tierra hay Alpha Centauri?

Solución

Debido a que la velocidad de la luz se mide en millas por segundo, primero calculemos el número de segundos en $4.37$ años. Porque hay $365$ días en un año, $24$ horas en un día, $60$ minutos en una hora y $60$ segundos en un minuto, podemos escribir:

$\begin{aligned} 4.37 \text {yr} &= 4.37\text {yr}\times 365\dfrac{\text {day}}{\text {yr}}\times 24\dfrac{\text {hr}}{\text {day}}\times 60\dfrac{\text {min}}{\text {hr}}\times 60\dfrac{\text {s}}{\text {min}}\\ &= 4.37{\color {Red}\not {\color {Black}\text {yr}}}\times 365\dfrac{\color {Red}\not {\color {Black}\text {day}}}{\color {Red}\not {\color {Black}\text {yr}}}\times 24\dfrac{\color {Red}\not {\color {Black}\text {hr}}}{\color {Red} \not {\color {Black}\text {day}}}\times 60\dfrac{\color {Red}\not {\color {Black}\text {min}}}{\color {Red}\not {\color {Black}\text {hr}}}\times 60\dfrac{\text {s}}{\color {Red}\not {\color {Black}\text {min}}} \end {aligned} \nonumber$

Observe cómo cancelan las unidades, indicando que la respuesta final es en segundos. Con nuestro modo de calculadora ajustado a notación científica (ver la imagen de la derecha en la Figura $\PageIndex{2}$ ), multiplicamos los números para obtener el resultado que se muestra en la Figura $\PageIndex{6}$ . Redondeo, el número de segundos en $4.37$ años es aproximadamente $1.38 × 10^8$ segundos.

A continuación, calculamos la distancia que recorre la luz en $4.37$ años. Utilizando el hecho de que la distancia recorrida es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo recorrido, tenemos:

$\begin{aligned} \text {Distance} &= \text {Speed}\times \text {Time}\\ &= 1.86\times 10^5\dfrac{\text {mi}}{\text {s}}\cdot 1.38\times 10^8\text {s}\\ &= 1.86\times 10^5\dfrac{\text {mi}}{\color {Red}\not {\color {Black}\text {s}}}\cdot 1.38\times 10^8 {\color {Red}\not {\color {Black}\text {s}}} \end {aligned} \nonumber$

Observe cómo cancelan las unidades, indicando que nuestra respuesta es en millas. Nuevamente, con nuestra calculadora establecida en modo de notación científica, calculamos el producto de $1.86×10^5$ y $1.38×10^8$ . El resultado se muestra en la imagen de la derecha en la Figura $\PageIndex{6}$ .

higo 7.2.6.png — Figura $\PageIndex{6}$ : Cálculo de la distancia a Alpha Centauri en millas.

Así, la estrella Alfa Centauri se encuentra aproximadamente $2.5668×10^{13}$ a millas de la tierra, o se $2.5668×10^{13} \text {miles} ≈ 25,668,000,000,000 \text {miles} \nonumber$ pronuncia “veinte cuatrillones, seiscientos sesenta y ocho billones de millas”.

Ejercicio $\PageIndex{14}$

La estrella Sirio está a $8.58$ años luz de la tierra. ¿A cuántas millas de la tierra está Sirio?

Responder: $≈ 5.2425×10^{13}$ millas

Multiplicar números decimales por potencias de diez

Formulario de notación científica

Colocación de un Número en Notación Científica

Notación Científica y Calculadora Gráfica

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