4.2: Dominio y rango de una función
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
El análisis del comportamiento de las funciones aborda cuestiones de cuándo la función está aumentando o disminuyendo, si y dónde tiene valores máximos o mínimos, dónde cruza ely ejex o, y qué valores dex yy se van a incluir en la función.
El conjunto de valores disponibles para la variablex, o independiente se llama Dominio de la función. El conjunto dey valores correspondientes se llama Rango de la función.
La función lineal mencionada anteriormentef(x)=6 x-1 tiene un dominio de todos los números reales y un rango de todos los números reales,x \in \mathbb{R} yy \in \mathbb{R}. Por otra parte, la funciónf(x)=x^{2} tiene un dominio de todos los números reales,x \in \mathbb{R}, pero su rango se limita a los números reales positivos,y \geq 0
Las consideraciones del dominio de una función suelen referirse a restricciones sobre las cualesx los valores generarán valores de número real paray . Las restricciones más comunes ocurren con el uso de funciones de raíz cuadrada o funciones racionales.
El dominio de la funciónf(x)=\sqrt{x-7} sería el conjunto dex \geq 7, para que no se permitan valores negativos bajo la raíz cuadrada. Esto asegura los valores reales necesarios paray . El rango para esta función esy \geq 0
El dominio de la funciónf(x)=\frac{x}{2 x-3} seríax \in \mathbb{R} (todos los números reales), pero evitandox \neq \frac{3}{2}, así un denominador cero que es un valor indefinido. El rango para esta función seríay \in \mathbb{R} (todos los números reales), peroy \neq \frac{1}{2}, debido a la asíntota horizontal eny=\frac{1}{2}
Las cuestiones de dominio y rango se vuelven más interesantes cuando se consideran en relación con funciones definidas por gráficas, o en aplicaciones. En una aplicación que involucra perímetro en la que el perímetro de un rectángulo se da como 50 pies, sabemos que
\ [
2\ ell+2 w=50
\]
Reescribiendo esto en función dew, podemos decir que
\ [
\ ell=f (w) =25-w
\ ]
En esta función relacionando el largo y ancho en base a un perímetro dado, podemos decir que el dominio de la función es0<w<25 . El ancho debe ser mayor que 0 pero menor que de25, otra manera no habría un rectángulo. Lo mismo es cierto para el rango o posible conjunto de valores para la longitud0<\ell<25 Ejercicios 4.2
Encuentra el dominio y el rango para cada una de las siguientes funciones:
1)\quad f(x)=\sqrt{2 x+1}
2)\quad f(x)=\sqrt{3 x-5}
3)\quad \frac{x}{x+9}
4)\quad f(x)=\frac{x+2}{2 x-3}
Para las siguientes gráficas, supongamos que los puntos finales para el dominio y el rango son números enteros.