4.4: Transformaciones

Hay tres tipos principales de transformación que consideraremos:
1) Desplazamientos horizontales y verticales
2) Reflexiones sobre el\(y\) eje\(x\) o
3) Estiramientos horizontales y verticales
Si tomamos una función dada, digamos\(f(x)=x,\) entonces esto tiene la gráfica que vemos a continuación - una línea recta con una pendiente de 1 y una\(y\) -intercepción de\(0 .\) Si agregamos a la función\(f(x)+6=x+6,\) entonces esto agregará 6 a todos los\(y\) -valores que desplaza la gráfica 6 lugares hacia arriba.

Desplazamientos verticales
Entonces, si tenemos una función general\(f(x)\) que es descrita por una gráfica, podemos determinar una gráfica para\(f(x)+k,\) donde\(k\) está algún número que ya sea desplazará hacia\(f(x)\) arriba\((\text { if } k>0)\) o hacia abajo (si\(k<0\))
Por ejemplo, considere el siguiente gráfico para\(f(x)\)

Entonces, si queremos una gráfica para\(f(x)-2\), simplemente desplaza todos los\(y\) -valores hacia abajo 2 lugares:

Esta es una transformación de desplazamiento vertical estándar de una función.

Desplazamientos horizontales
Una función también se puede desplazar horizontalmente sumando o restando un número dentro de los paréntesis.
Si empezamos con nuestra función original\(f(x)\)

Entonces la transformación\(f(x-2)\) desplazará la gráfica horizontalmente, excepto que se moverá en sentido contrario al signo. El\(f(x-2)\) turno moverá la gráfica 2 lugares a la derecha mientras que un desplazamiento de\(f(x+2)\) moverá la gráfica 2 lugares a la izquierda.

La razón por la que esto sucede será más clara si miramos una tabla de valores para la función:

Ahora, si, en lugar de\(f(x),\) queremos\(f(x-2),\) entonces agregamos otra columna a la tabla:

Observe que para tener la misma\(y\) -valor como la gráfica original, debemos ir 2 lugares a la derecha para que después de restar 2 del\(x\) -valor, lleguemos de nuevo al\(x\) -valor original. Entonces la gráfica de\(f(x-2)\) se verá así:

Observe cómo los valores en la gráfica coinciden con los valores de la tabla.

Reflexiones La
negación de\(y\) los valores\(x\) o de una función tendrá el efecto de reflejar la función sobre el\(x\) eje\(y\) o. Si consideramos la función\(f(x)\) - la misma que usamos en los ejemplos anteriores:

Entonces la gráfica de se\(y=-f(x)\) reflejará sobre el\(x\) eje -eje. El signo negativo frente a la función niega todos los\(y\) valores, reflejándolos sobre el\(x\) eje. Veamos esto en una tabla de valores:

Entonces la gráfica se vería así:

Por otro lado, si negamos la\(x\) variable\((f(-x)),\) -entonces los valores de la función previamente asociados con los valores positivos de \(x\)estaría asociado con los valores negativos de\(x\) y viceversa. Esto reflejaría la función sobre el\(y\) eje -eje.
Si volvemos a considerar nuestra función original y una tabla de valores:

En la tabla:

Y la gráfica se reflejaría sobre el\(y\) eje -eje:

Estiramiento y compresión de gráficos

El último tipo de transformación que examinaremos es el de estirar o comprimir una gráfica multiplicando dentro o fuera de los paréntesis. Comenzando con nuestra función de ejemplo familiar\(y=f(x)\)

Si multiplicamos la función por una constante fuera de los paréntesis:\(y=2 f(x)\) entonces esto tendrá el efecto de multiplicar todos los\(y\) valores por\(2 .\) En la tabla:


La gráfica de se\(y=2 f(x)\) vería así:

De manera similar, multiplicar por un número menor a 1 comprimiría la gráfica. La gráfica para\(y=\frac{1}{2} f(x)\) está a continuación:

La multiplicación dentro de los paréntesis afecta a las\(x\) variables.
Si consideramos la función\(y=f(2 x)\), entonces esto tendrá el efecto de comprimir la gráfica a lo largo del\(x\) eje -axis:

Observe cómo cada\(x\) valor tuvo que ser cortado a la mitad para que cuando lo multiplicamos por 2 terminemos con el\(x\) valor original. La gráfica se vería así:

Multiplicar dentro de los paréntesis por un número menor que uno estiraría la gráfica.


En estos ejemplos, solo hemos considerado una transformación a la vez. En los ejercicios deberás considerar el efecto de varias transformaciones a la vez.

Ejercicios 4.4
1) Emparejar cada una de las funciones de la gráfica con la transformación apropiada que se describe a continuación.
a)\(\quad f(x-4)\)
b)\(\quad f(x)+3\)
c)\(\quad -3 f(x)\)
d)\(\quad 2 f(x+6)\)

2) Coincidir cada una de las descripciones con la transformación de función apropiada.

\ begin {array} {cc}
a)\ quad y=f (x-1) & 1)\ text {Desplazar a la izquierda una unidad}\\
b)\ quad y=f (x) -1 y 2)\ text {Reflejar sobre\(x\) -eje, luego desplazar a la izquierda una unidad}\\
c)\ quad y=f (x) +1 y 3)\ text {Desplazar a la derecha una unidad}\\
d)\ quad y=f (x+1) y 4) \ text {Reflejar sobre\(x\) -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
e)\ quad y=f (-x) +1 y 5)\ text {Reflejar sobre\(x\) -eje, luego desplazar hacia abajo una unidad}\\
f)\ quad y=f (-x) -1 & 6)\ text {Desplazar una unidad hacia abajo}\\
g)\ quad y=-f (x) +1 y 7)\ text {Reflejar sobre \(x\)-eje, reflejar sobre\(y\) -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
h)\ quad y=-f (x+1) & 8\ text {Desplazar a la izquierda una unidad, reflejar sobre\(y\) -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
i)\ quad y=-f (x) -1) & 9)\ text {Desplazar una unidad hacia arriba}\\
j)\ quad y=f (-x +1) & 10)\ text {Reflejar sobre\(y\) -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
k)\ quad y=-f (-x) & 11)\ text {Reflejar sobre\(y\) -eje, luego desplazar hacia abajo una unidad}\\
\ end {array}

3) Coincidir cada una de las descripciones con la adecuada transformación de funciones.
\ begin {array} {cc}
a)\ quad y=f (x+2) +3 & 1)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego bajar 3 unidades}\\
b)\ quad y=f (x+3) +2 & 2)\ text {Desplazar a la izquierda 3 unidades, luego desplazar hacia arriba 2 unidades}\\
c)\ quad y=f (x-2) +3 & 3)\ text {Desplazar a la derecha 3 unidades, luego turno up 2 unidades}\\
d)\ quad y=f (x-2) -3 & 4)\ text {Desplazar a la izquierda 3 unidades, luego cambiar hacia abajo 2 unidades}\\
e)\ quad y=f (x+2) -3 & 5)\ text {Desplazar a la derecha 3 unidades, luego desplazar hacia abajo 2 unidades}\\
f)\ quad y=f (x-3) +2 & 6)\ text {Reflejar sobre el\(y\) eje, luego desplazar up 2 unidades}\\
g)\ quad y=f (x-3) -2 & 7)\ text {Reflejar sobre\(x\) -eje, luego desplazar a la derecha 2 unidades}\\
h)\ quad y=f (x+3) -2 & 8)\ text {Reflejar sobre\(x\) -eje, luego desplazar a la izquierda 2 unidades}\\
i)\ quad y=-f (x+2) & 9)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego reflejar sobre el\(y\) -eje}\\
j)\ quad y=-f (x-2) & 10)\ text {Desplazar a la derecha 2 unidades, luego desplazar hacia arriba 3 unidades}\\
k)\ quad y=f (2-x) & 11)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego desplazar hacia arriba 3 unidades}\\
\ ell)\ quad y=f (-x) +2 & 12)\ text {Desplazar a la derecha 2 unidades, luego desplazar hacia abajo 3 unidades}
\ end {array}

Aplicar las transformaciones indicadas para cada función.

a)\(\quad f(x-3)\)
b)\(\quad-f(x)+2\)
c)\(\quad \frac{1}{2} f(x-1)\)
d)\(\quad f(-x)+1\)

a)\(\quad g(x)-3\)
b)\(\quad-g(x)-1\)
c)\(\quad 2 g(x+2)\)
d)\(\quad g(2 x)-1\)

a)\(\quad f(x)+2\)
b)\(\quad-f(x-1)\)
c)\(\quad f(x-1)-3\)
d)\(\quad \frac{1}{3} f(x)+4\)

a)\(\quad g(x-2)\)
b)\(\quad-g(x)+1\)
c)\(\quad 2 g(x-1)\)
d)\(\quad \frac{1}{2} g(x)-3\)