4.4: Transformaciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Hay tres tipos principales de transformación que consideraremos:
1) Desplazamientos horizontales y verticales
2) Reflexiones sobre ely ejex o
3) Estiramientos horizontales y verticales
Si tomamos una función dada, digamosf(x)=x, entonces esto tiene la gráfica que vemos a continuación - una línea recta con una pendiente de 1 y unay -intercepción de0. Si agregamos a la funciónf(x)+6=x+6, entonces esto agregará 6 a todos losy -valores que desplaza la gráfica 6 lugares hacia arriba.
Desplazamientos verticales
Entonces, si tenemos una función generalf(x) que es descrita por una gráfica, podemos determinar una gráfica paraf(x)+k, dondek está algún número que ya sea desplazará haciaf(x) arriba( if k>0) o hacia abajo (sik<0)
Por ejemplo, considere el siguiente gráfico paraf(x)
Entonces, si queremos una gráfica paraf(x)−2, simplemente desplaza todos losy -valores hacia abajo 2 lugares:
Esta es una transformación de desplazamiento vertical estándar de una función.
Desplazamientos horizontales
Una función también se puede desplazar horizontalmente sumando o restando un número dentro de los paréntesis.
Si empezamos con nuestra función originalf(x)
Entonces la transformaciónf(x−2) desplazará la gráfica horizontalmente, excepto que se moverá en sentido contrario al signo. Elf(x−2) turno moverá la gráfica 2 lugares a la derecha mientras que un desplazamiento def(x+2) moverá la gráfica 2 lugares a la izquierda.
La razón por la que esto sucede será más clara si miramos una tabla de valores para la función:
Ahora, si, en lugar def(x), queremosf(x−2), entonces agregamos otra columna a la tabla:
Observe que para tener la mismay -valor como la gráfica original, debemos ir 2 lugares a la derecha para que después de restar 2 delx -valor, lleguemos de nuevo alx -valor original. Entonces la gráfica def(x−2) se verá así:
Observe cómo los valores en la gráfica coinciden con los valores de la tabla.
Reflexiones La
negación dey los valoresx o de una función tendrá el efecto de reflejar la función sobre elx ejey o. Si consideramos la funciónf(x) - la misma que usamos en los ejemplos anteriores:
Entonces la gráfica de sey=−f(x) reflejará sobre elx eje -eje. El signo negativo frente a la función niega todos losy valores, reflejándolos sobre elx eje. Veamos esto en una tabla de valores:
Entonces la gráfica se vería así:
Por otro lado, si negamos lax variable(f(−x)), -entonces los valores de la función previamente asociados con los valores positivos de xestaría asociado con los valores negativos dex y viceversa. Esto reflejaría la función sobre ely eje -eje.
Si volvemos a considerar nuestra función original y una tabla de valores:
En la tabla:
Y la gráfica se reflejaría sobre ely eje -eje:
Estiramiento y compresión de gráficos
El último tipo de transformación que examinaremos es el de estirar o comprimir una gráfica multiplicando dentro o fuera de los paréntesis. Comenzando con nuestra función de ejemplo familiary=f(x)
Si multiplicamos la función por una constante fuera de los paréntesis:y=2f(x) entonces esto tendrá el efecto de multiplicar todos losy valores por2. En la tabla:
La gráfica de sey=2f(x) vería así:
De manera similar, multiplicar por un número menor a 1 comprimiría la gráfica. La gráfica paray=12f(x) está a continuación:
La multiplicación dentro de los paréntesis afecta a lasx variables.
Si consideramos la funcióny=f(2x), entonces esto tendrá el efecto de comprimir la gráfica a lo largo delx eje -axis:
Observe cómo cadax valor tuvo que ser cortado a la mitad para que cuando lo multiplicamos por 2 terminemos con elx valor original. La gráfica se vería así:
Multiplicar dentro de los paréntesis por un número menor que uno estiraría la gráfica.
En estos ejemplos, solo hemos considerado una transformación a la vez. En los ejercicios deberás considerar el efecto de varias transformaciones a la vez.
Ejercicios 4.4
1) Emparejar cada una de las funciones de la gráfica con la transformación apropiada que se describe a continuación.
a)f(x−4)
b)f(x)+3
c)−3f(x)
d)2f(x+6)
2) Coincidir cada una de las descripciones con la transformación de función apropiada.
\ begin {array} {cc}
a)\ quad y=f (x-1) & 1)\ text {Desplazar a la izquierda una unidad}\\
b)\ quad y=f (x) -1 y 2)\ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar a la izquierda una unidad}\\
c)\ quad y=f (x) +1 y 3)\ text {Desplazar a la derecha una unidad}\\
d)\ quad y=f (x+1) y 4) \ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
e)\ quad y=f (-x) +1 y 5)\ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar hacia abajo una unidad}\\
f)\ quad y=f (-x) -1 & 6)\ text {Desplazar una unidad hacia abajo}\\
g)\ quad y=-f (x) +1 y 7)\ text {Reflejar sobre x-eje, reflejar sobrey -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
h)\ quad y=-f (x+1) & 8\ text {Desplazar a la izquierda una unidad, reflejar sobrey -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
i)\ quad y=-f (x) -1) & 9)\ text {Desplazar una unidad hacia arriba}\\
j)\ quad y=f (-x +1) & 10)\ text {Reflejar sobrey -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
k)\ quad y=-f (-x) & 11)\ text {Reflejar sobrey -eje, luego desplazar hacia abajo una unidad}\\
\ end {array}
3) Coincidir cada una de las descripciones con la adecuada transformación de funciones.
\ begin {array} {cc}
a)\ quad y=f (x+2) +3 & 1)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego bajar 3 unidades}\\
b)\ quad y=f (x+3) +2 & 2)\ text {Desplazar a la izquierda 3 unidades, luego desplazar hacia arriba 2 unidades}\\
c)\ quad y=f (x-2) +3 & 3)\ text {Desplazar a la derecha 3 unidades, luego turno up 2 unidades}\\
d)\ quad y=f (x-2) -3 & 4)\ text {Desplazar a la izquierda 3 unidades, luego cambiar hacia abajo 2 unidades}\\
e)\ quad y=f (x+2) -3 & 5)\ text {Desplazar a la derecha 3 unidades, luego desplazar hacia abajo 2 unidades}\\
f)\ quad y=f (x-3) +2 & 6)\ text {Reflejar sobre ely eje, luego desplazar up 2 unidades}\\
g)\ quad y=f (x-3) -2 & 7)\ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar a la derecha 2 unidades}\\
h)\ quad y=f (x+3) -2 & 8)\ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar a la izquierda 2 unidades}\\
i)\ quad y=-f (x+2) & 9)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego reflejar sobre ely -eje}\\
j)\ quad y=-f (x-2) & 10)\ text {Desplazar a la derecha 2 unidades, luego desplazar hacia arriba 3 unidades}\\
k)\ quad y=f (2-x) & 11)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego desplazar hacia arriba 3 unidades}\\
\ ell)\ quad y=f (-x) +2 & 12)\ text {Desplazar a la derecha 2 unidades, luego desplazar hacia abajo 3 unidades}
\ end {array}
Aplicar las transformaciones indicadas para cada función.
a)f(x−3)
b)−f(x)+2
c)12f(x−1)
d)f(−x)+1
a)g(x)−3
b)−g(x)−1
c)2g(x+2)
d)g(2x)−1
a)f(x)+2
b)−f(x−1)
c)f(x−1)−3
d)13f(x)+4
a)g(x−2)
b)−g(x)+1
c)2g(x−1)
d)12g(x)−3