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LibreTexts Español

4.4: Transformaciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Hay tres tipos principales de transformación que consideraremos:
1) Desplazamientos horizontales y verticales
2) Reflexiones sobre ely ejex o
3) Estiramientos horizontales y verticales
Si tomamos una función dada, digamosf(x)=x, entonces esto tiene la gráfica que vemos a continuación - una línea recta con una pendiente de 1 y unay -intercepción de0. Si agregamos a la funciónf(x)+6=x+6, entonces esto agregará 6 a todos losy -valores que desplaza la gráfica 6 lugares hacia arriba.

clipboard_edb94f846b02456aeaf26cb9d5d4ae93a.png

Desplazamientos verticales
Entonces, si tenemos una función generalf(x) que es descrita por una gráfica, podemos determinar una gráfica paraf(x)+k, dondek está algún número que ya sea desplazará haciaf(x) arriba( if k>0) o hacia abajo (sik<0)
Por ejemplo, considere el siguiente gráfico paraf(x)
clipboard_e1868c85fac715e9cc59d36869608e752.png

Entonces, si queremos una gráfica paraf(x)2, simplemente desplaza todos losy -valores hacia abajo 2 lugares:
clipboard_e384d64a193e49d8d61bd23533e44a9c5.png
Esta es una transformación de desplazamiento vertical estándar de una función.

Desplazamientos horizontales
Una función también se puede desplazar horizontalmente sumando o restando un número dentro de los paréntesis.
Si empezamos con nuestra función originalf(x)
clipboard_e0a58a36da1538d0151b00fc036bc5f2b.png

Entonces la transformaciónf(x2) desplazará la gráfica horizontalmente, excepto que se moverá en sentido contrario al signo. Elf(x2) turno moverá la gráfica 2 lugares a la derecha mientras que un desplazamiento def(x+2) moverá la gráfica 2 lugares a la izquierda.

La razón por la que esto sucede será más clara si miramos una tabla de valores para la función:
clipboard_e3f5d56400b176ab907f8f40093fbc2c3.png
Ahora, si, en lugar def(x), queremosf(x2), entonces agregamos otra columna a la tabla:
clipboard_e6edd92e2223e347c7bfb6507c763b105.png
Observe que para tener la mismay -valor como la gráfica original, debemos ir 2 lugares a la derecha para que después de restar 2 delx -valor, lleguemos de nuevo alx -valor original. Entonces la gráfica def(x2) se verá así:
clipboard_e7ab3b4b08959c213634cd486b7c18eb4.png
Observe cómo los valores en la gráfica coinciden con los valores de la tabla.

Reflexiones La
negación dey los valoresx o de una función tendrá el efecto de reflejar la función sobre elx ejey o. Si consideramos la funciónf(x) - la misma que usamos en los ejemplos anteriores:
clipboard_e347cd8db4203bc3a2a618eccde38de61.png
Entonces la gráfica de sey=f(x) reflejará sobre elx eje -eje. El signo negativo frente a la función niega todos losy valores, reflejándolos sobre elx eje. Veamos esto en una tabla de valores:
clipboard_e9dd6028bd7beb4188d4eec9848e996bf.png
Entonces la gráfica se vería así:
clipboard_ec75725e96bda259ad5fbe6e863659f51.png
Por otro lado, si negamos lax variable(f(x)), -entonces los valores de la función previamente asociados con los valores positivos de xestaría asociado con los valores negativos dex y viceversa. Esto reflejaría la función sobre ely eje -eje.
Si volvemos a considerar nuestra función original y una tabla de valores:
clipboard_e64f52485364cf255f8cc8ba15f4f0fdb.png
En la tabla:
clipboard_e0ab871f54621ac5390d031306b8528ef.png
Y la gráfica se reflejaría sobre ely eje -eje:
clipboard_e6c4501bcd8113f99eba11ba445467c0d.png

Estiramiento y compresión de gráficos

El último tipo de transformación que examinaremos es el de estirar o comprimir una gráfica multiplicando dentro o fuera de los paréntesis. Comenzando con nuestra función de ejemplo familiary=f(x)
clipboard_ee635edba8ef54a89bb7811cb6c266823.png
Si multiplicamos la función por una constante fuera de los paréntesis:y=2f(x) entonces esto tendrá el efecto de multiplicar todos losy valores por2. En la tabla:
clipboard_e21f2103671930d6dda497ea205cadf67.png

La gráfica de sey=2f(x) vería así:
clipboard_e921e2a2750a616f22f39cb90a3920425.png
De manera similar, multiplicar por un número menor a 1 comprimiría la gráfica. La gráfica paray=12f(x) está a continuación:
clipboard_e25e17cc193f3365e2d03e6efdf81864a.png

La multiplicación dentro de los paréntesis afecta a lasx variables.
Si consideramos la funcióny=f(2x), entonces esto tendrá el efecto de comprimir la gráfica a lo largo delx eje -axis:
clipboard_ef614db647c95609a575f1342bfd8177a.png

Observe cómo cadax valor tuvo que ser cortado a la mitad para que cuando lo multiplicamos por 2 terminemos con elx valor original. La gráfica se vería así:

clipboard_e61bc69029c85ba4a1b495259129bcf73.png

Multiplicar dentro de los paréntesis por un número menor que uno estiraría la gráfica.
clipboard_e0e8e7f6a564fce4a37dca0e019782025.png
clipboard_ef9392f4aa2d448f5c2b1adaec789aca2.png
En estos ejemplos, solo hemos considerado una transformación a la vez. En los ejercicios deberás considerar el efecto de varias transformaciones a la vez.

Ejercicios 4.4
1) Emparejar cada una de las funciones de la gráfica con la transformación apropiada que se describe a continuación.
a)f(x4)
b)f(x)+3
c)3f(x)
d)2f(x+6)

clipboard_e167d20f9d1498a9c40e7d33d1e23d22b.png

2) Coincidir cada una de las descripciones con la transformación de función apropiada.

\ begin {array} {cc}
a)\ quad y=f (x-1) & 1)\ text {Desplazar a la izquierda una unidad}\\
b)\ quad y=f (x) -1 y 2)\ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar a la izquierda una unidad}\\
c)\ quad y=f (x) +1 y 3)\ text {Desplazar a la derecha una unidad}\\
d)\ quad y=f (x+1) y 4) \ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
e)\ quad y=f (-x) +1 y 5)\ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar hacia abajo una unidad}\\
f)\ quad y=f (-x) -1 & 6)\ text {Desplazar una unidad hacia abajo}\\
g)\ quad y=-f (x) +1 y 7)\ text {Reflejar sobre x-eje, reflejar sobrey -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
h)\ quad y=-f (x+1) & 8\ text {Desplazar a la izquierda una unidad, reflejar sobrey -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
i)\ quad y=-f (x) -1) & 9)\ text {Desplazar una unidad hacia arriba}\\
j)\ quad y=f (-x +1) & 10)\ text {Reflejar sobrey -eje, luego desplazar hacia arriba una unidad}\\
k)\ quad y=-f (-x) & 11)\ text {Reflejar sobrey -eje, luego desplazar hacia abajo una unidad}\\
\ end {array}

3) Coincidir cada una de las descripciones con la adecuada transformación de funciones.
\ begin {array} {cc}
a)\ quad y=f (x+2) +3 & 1)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego bajar 3 unidades}\\
b)\ quad y=f (x+3) +2 & 2)\ text {Desplazar a la izquierda 3 unidades, luego desplazar hacia arriba 2 unidades}\\
c)\ quad y=f (x-2) +3 & 3)\ text {Desplazar a la derecha 3 unidades, luego turno up 2 unidades}\\
d)\ quad y=f (x-2) -3 & 4)\ text {Desplazar a la izquierda 3 unidades, luego cambiar hacia abajo 2 unidades}\\
e)\ quad y=f (x+2) -3 & 5)\ text {Desplazar a la derecha 3 unidades, luego desplazar hacia abajo 2 unidades}\\
f)\ quad y=f (x-3) +2 & 6)\ text {Reflejar sobre ely eje, luego desplazar up 2 unidades}\\
g)\ quad y=f (x-3) -2 & 7)\ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar a la derecha 2 unidades}\\
h)\ quad y=f (x+3) -2 & 8)\ text {Reflejar sobrex -eje, luego desplazar a la izquierda 2 unidades}\\
i)\ quad y=-f (x+2) & 9)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego reflejar sobre ely -eje}\\
j)\ quad y=-f (x-2) & 10)\ text {Desplazar a la derecha 2 unidades, luego desplazar hacia arriba 3 unidades}\\
k)\ quad y=f (2-x) & 11)\ text {Desplazar a la izquierda 2 unidades, luego desplazar hacia arriba 3 unidades}\\
\ ell)\ quad y=f (-x) +2 & 12)\ text {Desplazar a la derecha 2 unidades, luego desplazar hacia abajo 3 unidades}
\ end {array}

Aplicar las transformaciones indicadas para cada función.
clipboard_e763571b89dd30538d95b384b10a4bdf0.png
a)f(x3)
b)f(x)+2
c)12f(x1)
d)f(x)+1
clipboard_eaf108e96da326bd505a70cda92c9e49e.png
a)g(x)3
b)g(x)1
c)2g(x+2)
d)g(2x)1
clipboard_e7a2a4c14187e997b81b319f93be1f797.png
a)f(x)+2
b)f(x1)
c)f(x1)3
d)13f(x)+4

clipboard_ef971dd6033506d049e078dd2bfd9ee88.png
a)g(x2)
b)g(x)+1
c)2g(x1)
d)12g(x)3


This page titled 4.4: Transformaciones is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Richard W. Beveridge.

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