4.7: Funciones compuestas

Similar a la forma en que usamos transformaciones para analizar la ecuación de una función, a veces es útil considerar una función dada como varias funciones de la variable combinadas entre sí.

Por ejemplo, en lugar de pensar en la función\(f(x)=(2 x-7)^{3}\) como una sola función, podemos pensar en ella como dos funciones:
\ [
\ begin {array} {c}
g (x) =2 x-7\
\ text {y}\\
h (x) =x^ {3}
\ end {array}
\]
Entonces\(f(x)\) es la combinación o “composición” de estas dos funciones juntas. La primera función multiplica la variable por\(2,\) y resta 7 del resultado. La segunda función toma esta respuesta y la eleva a la tercera potencia. La notación para la composición de funciones es un círculo abierto: 0

En el ejemplo anterior diríamos que la función\(f(x)=(2 x-7)^{3}\) es equivalente a la composición\(h \circ g(x)\) o\(h(g(x))\). El orden de composición de la función es importante. La función\(g \circ h(x)\) sería equivalente a la\(g(h(x)),\) que sería
\ [
\ text {igual a} g\ left (x^ {3}\ right) =2\ left (x^ {3}\ right) -7=2 x^ {3} -7
\]

Ejercicios 4.7
Encuentra\(f \circ g(x)\) y\(g \circ f(x)\) para cada uno de los siguientes problemas.
1)\(\quad f(x)=x^{2} \\ g(x)=x-1\)
2)\(\quad f(x)=|x-3| \\ g(x)=2 x+3\)

3)\(\quad f(x)=\frac{x}{x-2} \\ g(x)=\frac{x+3}{x} \)
4)\(\quad f(x)=x^{3}-1 \\ g(x)=\frac{1}{x^{3}+1\)

5)\(\quad f(x)=\sqrt{x+1} \\ g(x)=x^{4}-1\)
6)\(\quad f(x)=2 x^{3}-1 \\ g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}\)

Buscar funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) para que el función dada\(h(x)=f \circ g(x)\)
7)\(\quad h(x)=(3 x+1)^{2}\)
8)\(\quad h(x)=\left(x^{2}-2 x\right)^{3}\)
9)\(\quad h(x)=\sqrt{1-4 x}\)
10)\(\quad h(x)=\sqrt[3]{x^{2}-1}\)
11)\(\quad h(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}\)
12)\(\quad h(x)=\left(\frac{1-2 x}{1+2 x}\right)^{3}\)
13)\(\quad h(x)=\left(3 x^{2}-1\right)^{-3}\)
14)\(\quad h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-2}\)
15) \(\quad h(x)=\sqrt{\frac{x}{x-1}}\)
16)\(\quad h(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x}}\)
17)\(\quad h(x)=\sqrt{\left(x^{2}-x-1\right)^{3}}\)
18)\(\quad h(x)=\sqrt[3]{\left(1-x^{4}\right)^{2}}\)
19)\(\quad h(x)=\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}\)
20)\(\quad h(x)=-\left(\frac{3}{x-1}\right)^{5}\)

21) Se infla un globo meteorológico esférico de manera que el radio en el momento\(t\) viene dado por el ecuación:
\ [
r=f (t) =\ frac {1} {2} t+2
\]
Supongamos que\(r\) está en metros y\(t\) está en segundos, con\(t=0\) correspondiente al tiempo en que el globo comienza a inflarse. Si el volumen de una esfera viene dado por la fórmula:
\ [
v (r) =\ frac {4} {3}\ pi r^ {3}
\]
Encuentra\(V(f(t))\) y usa esto para calcular el tiempo en el que se encuentra el volumen del globo\(36 \pi \mathrm{m}^{3}\)