4.7: Funciones compuestas

Similar a la forma en que usamos transformaciones para analizar la ecuación de una función, a veces es útil considerar una función dada como varias funciones de la variable combinadas entre sí.

Por ejemplo, en lugar de pensar en la función$f(x)=(2 x-7)^{3}$ como una sola función, podemos pensar en ella como dos funciones:
\ [
\ begin {array} {c}
g (x) =2 x-7\
\ text {y}\\
h (x) =x^ {3}
\ end {array}
\]
Entonces$f(x)$ es la combinación o “composición” de estas dos funciones juntas. La primera función multiplica la variable por$2,$ y resta 7 del resultado. La segunda función toma esta respuesta y la eleva a la tercera potencia. La notación para la composición de funciones es un círculo abierto: 0

En el ejemplo anterior diríamos que la función$f(x)=(2 x-7)^{3}$ es equivalente a la composición$h \circ g(x)$ o$h(g(x))$. El orden de composición de la función es importante. La función$g \circ h(x)$ sería equivalente a la$g(h(x)),$ que sería
\ [
\ text {igual a} g\ left (x^ {3}\ right) =2\ left (x^ {3}\ right) -7=2 x^ {3} -7
\]

Ejercicios 4.7
Encuentra$f \circ g(x)$ y$g \circ f(x)$ para cada uno de los siguientes problemas.
1)$\quad f(x)=x^{2} \\ g(x)=x-1$
2)$\quad f(x)=|x-3| \\ g(x)=2 x+3$

3)$\quad f(x)=\frac{x}{x-2} \\ g(x)=\frac{x+3}{x}$
4)$\quad f(x)=x^{3}-1 \\ g(x)=\frac{1}{x^{3}+1$

5)$\quad f(x)=\sqrt{x+1} \\ g(x)=x^{4}-1$
6)$\quad f(x)=2 x^{3}-1 \\ g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}$

Buscar funciones$f(x)$ y$g(x)$ para que el función dada$h(x)=f \circ g(x)$
7)$\quad h(x)=(3 x+1)^{2}$
8)$\quad h(x)=\left(x^{2}-2 x\right)^{3}$
9)$\quad h(x)=\sqrt{1-4 x}$
10)$\quad h(x)=\sqrt[3]{x^{2}-1}$
11)$\quad h(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}$
12)$\quad h(x)=\left(\frac{1-2 x}{1+2 x}\right)^{3}$
13)$\quad h(x)=\left(3 x^{2}-1\right)^{-3}$
14)$\quad h(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-2}$
15) $\quad h(x)=\sqrt{\frac{x}{x-1}}$
16)$\quad h(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x}}$
17)$\quad h(x)=\sqrt{\left(x^{2}-x-1\right)^{3}}$
18)$\quad h(x)=\sqrt[3]{\left(1-x^{4}\right)^{2}}$
19)$\quad h(x)=\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}$
20)$\quad h(x)=-\left(\frac{3}{x-1}\right)^{5}$

21) Se infla un globo meteorológico esférico de manera que el radio en el momento$t$ viene dado por el ecuación:
\ [
r=f (t) =\ frac {1} {2} t+2
\]
Supongamos que$r$ está en metros y$t$ está en segundos, con$t=0$ correspondiente al tiempo en que el globo comienza a inflarse. Si el volumen de una esfera viene dado por la fórmula:
\ [
v (r) =\ frac {4} {3}\ pi r^ {3}
\]
Encuentra$V(f(t))$ y usa esto para calcular el tiempo en el que se encuentra el volumen del globo$36 \pi \mathrm{m}^{3}$