4.7: Funciones compuestas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Similar a la forma en que usamos transformaciones para analizar la ecuación de una función, a veces es útil considerar una función dada como varias funciones de la variable combinadas entre sí.
Por ejemplo, en lugar de pensar en la funciónf(x)=(2x−7)3 como una sola función, podemos pensar en ella como dos funciones:
\ [
\ begin {array} {c}
g (x) =2 x-7\
\ text {y}\\
h (x) =x^ {3}
\ end {array}
\]
Entoncesf(x) es la combinación o “composición” de estas dos funciones juntas. La primera función multiplica la variable por2, y resta 7 del resultado. La segunda función toma esta respuesta y la eleva a la tercera potencia. La notación para la composición de funciones es un círculo abierto: 0
En el ejemplo anterior diríamos que la funciónf(x)=(2x−7)3 es equivalente a la composiciónh∘g(x) oh(g(x)). El orden de composición de la función es importante. La funcióng∘h(x) sería equivalente a lag(h(x)), que sería
\ [
\ text {igual a} g\ left (x^ {3}\ right) =2\ left (x^ {3}\ right) -7=2 x^ {3} -7
\]
Ejercicios 4.7
Encuentraf∘g(x) yg∘f(x) para cada uno de los siguientes problemas.
1)f(x)=x2g(x)=x−1
2)f(x)=|x−3|g(x)=2x+3
3)f(x)=xx−2g(x)=x+3x
4)\boldsymbol{\quad f(x)=x^{3}-1 \\ g(x)=\frac{1}{x^{3}+1}
5)f(x)=√x+1g(x)=x4−1
6)\boldsymbol{\quad f(x)=2 x^{3}-1 \\ g(x)=\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}
Buscar funcionesf(x) yg(x) para que el función dadah(x)=f∘g(x)
7)h(x)=(3x+1)2
8)h(x)=(x2−2x)3
9)h(x)=√1−4x
10)h(x)=3√x2−1
11)h(x)=(x+1x−1)2
12)h(x)=(1−2x1+2x)3
13)h(x)=(3x2−1)−3
14)h(x)=(1+1x)−2
15) h(x)=√xx−1
16)h(x)=3√x−1x
17)h(x)=√(x2−x−1)3
18)h(x)=3√(1−x4)2
19)h(x)=2√4−x2
20)h(x)=−(3x−1)5
21) Se infla un globo meteorológico esférico de manera que el radio en el momentot viene dado por el ecuación:
\ [
r=f (t) =\ frac {1} {2} t+2
\]
Supongamos quer está en metros yt está en segundos, cont=0 correspondiente al tiempo en que el globo comienza a inflarse. Si el volumen de una esfera viene dado por la fórmula:
\ [
v (r) =\ frac {4} {3}\ pi r^ {3}
\]
EncuentraV(f(t)) y usa esto para calcular el tiempo en el que se encuentra el volumen del globo36πm3