7.5: Permutaciones distinguibles

Si hay una colección de 15 bolas de varios colores, entonces el número de permutaciones en alinear las bolas en fila es\(_{15} P_{15}=15 !\). Si todas las bolas fueran del mismo color solo habría una permutación distinguible al alinearlas en fila porque las bolas mismas se verían igual sin importar cómo estuvieran dispuestas.

Si 10 de las bolas fueran amarillas y las otras 5 bolas fueran todas de diferentes colores, ¿cuántas permutaciones distinguibles habría?

No importa cómo estén dispuestas las bolas, debido a que las 10 bolas amarillas son indistinguibles entre sí, podrían intercambiarse sin ningún cambio perceptible en el arreglo general. En consecuencia, el número de permutaciones distinguibles en este caso sería\(\frac{15 !}{10 !},\) ya que hay\(10 !\) reordenamientos de las bolas amarillas para cada posición fija de las otras bolas.

La regla general para este tipo de escenarios es que, dados\(n\) los objetos en los que hay\(n_{1}\) objetos de un tipo que son indistinguibles,\(n_{2}\) objetos de otro tipo que son indistinguibles y así sucesivamente, entonces el número de permutaciones distinguibles será:
\ [
\ begin {array} {c}
n! \\
\ frac {n} {n_ {1}! * n_ {2}! * n_ {3}! *\ cdots * n_ {k}!} \
\ texto {con} n_ {1} +n_ {2} +n_ {3} +\ cdots+n_ {k} =n
\ end {array}
\]
Ejemplo
Encuentra el número de formas de colocar 12 bolas en fila dado que 5 son rojas, 3 son verdes y 4 son amarillas.
Esto sería\(\frac{12 !}{5 ! 3 ! 4 !}=\frac{12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1}{5 * 4 * 3 * 2 * 3 * 2 * 4 * 3 * 2}\)
\ [
\ begin {array} {l}
=\ frac {12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6} {3 * 2 * 4 * 3 * 2}\\
=27,720
\ end {array}
\]

Otra forma de pensar sobre este problema es elegir cinco de los doce espacios en los que colocar las bolas rojas -ya que el orden de selección no es importante, hay\(_{12} C_{5}\) formas de hacerlo. Entonces, de los 7 espacios restantes disponibles, tenemos que elegir tres de ellos en los que colocar las bolas verdes. Hay\(_{7} C_{3}\) formas de hacerlo. Las cuatro bolas amarillas se colocan luego en los cuatro espacios restantes.

El resultado de este proceso es que hay\(_{12} C_{5}\) formas de elegir los lugares para las bolas rojas y\(_{7} C_{3}\) formas de elegir los lugares para las bolas verdes, lo que resulta en:
\ [
_ {12} C_ {5} *_ {7} C_ {3} =\ frac {12!} {5! ¡7!} *\ frac {7!} {3! ¡4!} =\ frac {12!} {5! ¡3! ¡4!}
\]
Esto da como resultado la misma respuesta que cuando abordamos el problema como una permutación. Considerar el problema de esta manera nos ayuda a resolver problemas que implican la asignación de tareas a grupos de individuos.
Ejemplo
Catorce trabajadores de la construcción deben ser asignados a tres tareas diferentes. Se necesitan seis trabajadores para mezclar cemento, cinco para colocar ladrillos y tres para llevar los ladrillos a las capas de ladrillo. ¿De cuántas maneras diferentes se puede asignar a los trabajadores a estas tareas?

Esto también es un problema de permutación distinguible. Aunque el orden de los trabajadores no es importante aquí, el resultado es el mismo:
\ [
\ frac {14!} {¡6! ¡5! ¡3!}
\]
Otra forma de pensar sobre problemas de este tipo es que son problemas de combinación, ya que el orden en que se asignan los trabajadores no es importante. En ese caso, necesitamos seleccionar seis de los catorce trabajadores para mezclar cemento, cinco para colocar ladrillos y tres para transportar ladrillos.
Para seleccionar seis trabajadores para mezclar cemento:\(\quad_{14} C_{6}=\frac{14 !}{6 ! 8 !}\)
Para seleccionar cinco trabajadores (de los 8 restantes) para colocar ladrillos:\(\quad_{8} C_{5}=\frac{8 !}{5 ! 3 !}\)
Para seleccionar tres trabajadores (de los tres reaminantes) para llevar ladrillos: 1

Si hay\(\frac{14 !}{6 ! 8 !}\) formas de elegir la tripulación de cemento y\(\frac{8 !}{5 ! 3 !}\) formas de elegir a los albañiles entre los ocho trabajadores restantes, luego habrá:
\ [
\ frac {14!} {¡6! ¡8!} *\ frac {8!} {5! ¡3!} =\ frac {14!} {¡6! ¡5! ¡3!}
\]
formas de asignar a los trabajadores a estas tareas.

Ejercicios 7.5
Encuentra el número de permutaciones distinguibles de las letras dadas.
1)\(\quad A A A B B C\)
2)\(\quad A A A B B B C C C\)
3)\(\quad A A B C D\)
4)\(\quad A B C D D D E E\)
5) ¿De cuántas maneras se pueden disponer dos canicas azules y cuatro canicas rojas en fila?
6) ¿De cuántas maneras se pueden arreglar cinco bolas rojas, dos bolas blancas y siete bolas amarillas en fila?
7) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden arreglar en fila cuatro centavos, tres centavos, dos centavos y tres cuartos?
8) ¿De cuántas maneras se pueden arreglar las letras de la palabra ELEEMOSINARIO?
9) Un hombre compró tres conos de helado de vainilla, dos conos de chocolate, cuatro conos de fresa y cinco conos de caramelo para 14 niños. De cuántas maneras puede distribuir los conos entre los niños.
10) Cuando siete estudiantes hacen un viaje, encuentran un hotel con tres habitaciones disponibles: una habitación para una persona, una habitación para dos personas y una habitación para tres personas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden asignarse los alumnos a estas salas? (un estudiante dormirá en el carro)
11) Ocho trabajadores están limpiando una casa grande. Se necesitan cinco para limpiar ventanas, dos para limpiar alfombras y uno para limpiar el resto de la casa. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden asignar estas tareas a los ocho trabajadores?