7.6: Probabilidad
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La probabilidad se define como el número de formas en que el evento en cuestión puede ocurrir dividido por el número de posibilidades totales. Podemos definir la colección de todos los resultados posibles en una experiencia con todos los resultados igualmente probables que el espacio muestral del experimento. Entonces se puede definir el número de formas en que puede ocurrir el evento en cuestión\(n(E)\) y el tamaño del espacio muestral se puede definir como\(n(S) .\) En esta notación, la probabilidad de un evento\(P(E)\) se define a continuación:
\ [
P (E) =\ frac {n (E)} {n (S)} =\ frac {\ text {número de elementos en } E} {\ text {número de elementos en} S}
\]
La pregunta al inicio de esta sección aborda una situación en la que una moneda es arrojada tres veces. Podemos utilizar un diagrama de árbol para examinar el espacio muestral de esta situación.
Las posibilidades en este experimento son:
\(\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THH}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\}\)
dado que hay ocho posibilidades, con 3 de ellas teniendo exactamente dos cabezas, la probabilidad es\(\frac{3}{8}=0.375\)
La probabilidad de obtener al menos dos cabezas es\(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\) o 0.5
La probabilidad de no tener cabezas es\(\frac{1}{8}=0.125\)
Ejemplo
Una mano de póquer de cinco cartas es extraída de una baraja estándar de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco cartas sean corazones?
El número de formas de sacar cinco cartas de una baraja de 52 es\(_{52} C_{5}\). Esta es una combinación ya que el orden en que se roben las cartas no afecta el resultado.
El número de formas de elegir 5 corazones de los 13 en la baraja es\(13 \mathrm{C}_{5}\)
Así que la probabilidad de sacar cinco corazones de una baraja de 52 cartas es\(\frac{13 C_{5}}{52 C_{5}}=\)\(\frac{1287}{2598960} \approx 0.000495\)
Ejemplo
Una bolsa contiene 20 pelotas de tenis, de las cuales cuatro están defectuosas . Si se extraen dos bolas al azar de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean defectuosas?
El espacio de muestra es el número de formas de elegir dos bolas de la bolsa:\(\quad_{20} C_{2}\)
ya que hay 4 bolas defectuosas, el número de formas de dibujar dos de ellas es\(_{4} C_{2}\)
Entonces, la probabilidad de que ambas bolas sean defectuosas es También\(\frac{4}{20 C_{2}}=\frac{6}{190} \approx 0.0316\)
podemos calcular el probabilidad de dibujar una bola defectuosa:
\(\frac{_{4} C_{1} *_{16} C_{1}}{_{20} C_{2}}=\frac{64}{190} \approx 0.3368\)
Y la probabilidad de dibujar bolas no defectuosas:
\(\frac{_{16} C_{2}}{_{20} C_{2}}=\frac{120}{190} \approx 0.6316\)
Observe\(0.0316+0.3368+0.6316=1\) eso\(6+64+120=190\) y eso Es decir que las probabilidades para todos los eventos posibles deben sumar hasta 1
Esto nos permite calcular las probabilidades en función de la probabilidad de que un evento no suceda.
Si la probabilidad de un evento es\(P(E),\) entonces la probabilidad de que el evento no suceda es\(1-P(E)\)
Ejemplo
Una urna contiene 10 bolas rojas y 15 bolas verdes. Si seis de las bolas se dibujan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea roja?
Podemos calcular esta probabilidad encontrando la probabilidad de que no se emprendan bolas rojas. El número de formas de dibujar seis bolas verdes es\(_{15} C_{6} .\) El número de formas de sacar seis bolas de la urna es\(_{25} C_{6}\). Entonces la probabilidad de dibujar seis bolas verdes es:
\(\frac{_{15} C_{6}}{_{25} C_{6}}=\frac{5005}{177,100} \approx 0.02826\)
Esto significa que la probabilidad de dibujar al menos una bola roja es de\(1-0.02826=\) 0.97174 También
podríamos encontrar esta respuesta sumando las posibilidades de dibujar una bola roja, dos bolas rojas y así sucesivamente, hasta seis bolas rojas:
\(\frac{_{10} C_{1} *_{15} C_{5}}{_{25} C_{6}}+\frac{10 C_{2} *_{15} C_{4}}{25 C_{6}}+\frac{10 C_{3} *_{15} C_{3}}{25 C_{6}}+\frac{10 C_{4} *_{15} C_{2}}{25 C_{6}}+\frac{10 C_{5} *_{15} C_{1}}{25 C_{6}}+\frac{10 C_{6}}{25 C_{6}}\)
\(=0.1696+0.3468+0.3083+0.1245+0.0213+0.0012=\)
0.9717
Ejemplo
Dados 100 componentes de computadora, se sabe que 10 de los 100 están defectuosos. Si alguien eligiera 6 de estos componentes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) dos de ellos sean defectuosos?
b) ¿al menos 1 de ellos es defectuoso?
Hay\(_{10} C_{2}\) formas de elegir 2 de los 10 componentes defectuosos y\(_{90} C_{4}\) formas de elegir 4 componentes no defectuosos. El tamaño del espacio muestral (el número de formas de elegir 6 componentes de los 100) es\(_{100} C_{6}\)
Entonces, la probabilidad para la parte (a) sería:
\(\frac{_{10} C_{2} *_{90} C_{4}}{_{100} C_{6}} \approx 0.096\)
La probabilidad en la parte (b) se calcula más fácilmente al encontrar la probabilidad de que no haya componentes defectuosos se seleccionan y luego restan ese valor de 1
\(1-\frac{_{90} C_{6}}{_{100} C_{6}} \approx 1-0.5223 \approx 0.4777\)
Ejercicios 7.6
SET I
1)
\(\quad\) a) Si una moneda es arrojada dos veces, describa el espacio muestral.
\(\quad\)b) Encontrar la probabilidad de obtener exactamente dos cabezas.
\(\quad\)c) Encontrar la probabilidad de obtener al menos una cabeza.
\(\quad\)d) Encontrar la probabilidad de obtener exactamente una cabeza.
2)
\(\quad\) a) Si se arroja una moneda y se enrolla una sola matriz de seis lados, describa el espacio de muestra.
\(\quad\)b) Encontrar la probabilidad de conseguir cabezas y un número par.
\(\quad\)c) Encuentra la probabilidad de conseguir cabezas y un número mayor a 4
\(\quad\) d) Encuentra la probabilidad de obtener colas y un número impar.
3) Al rodar un solo troquel de seis lados, encuentre la probabilidad de:
\(\quad\) a) rodar un seis
\(\quad\) b) rodar un número par
\(\quad\) c) rodar un número mayor que 5
4) Al rodar un solo troquel de seis lados, encuentre el probabilidad de:
\(\quad\) a) rodar un dos o un tres
\(\quad\) b) rodar un número impar
\(\quad\) c) rodar un número divisible por tres
5) Si una carta es extraída aleatoriamente de una baraja estándar de 52 cartas, encuentre la probabilidad de:
\(\quad\)a) dibujar un rey
\(\quad\) b) dibujar una carta facial
\(\quad\) c) dibujar una carta que no sea una carta de cara
6) Si una carta es extraída aleatoriamente de una baraja estándar de 52 cartas, encuentra la probabilidad de:
\(\quad\) a) dibujar un corazón
\(\quad\)b) dibujar un corazón o una pala
\(\quad\) c) sacar una carta que sea un corazón, un diamante o una pala
7) Se extrae aleatoriamente una bola de una urna que contiene 8 bolas: cinco rojas, dos blancas y una amarilla. Encuentra la probabilidad de que:
\(\quad\) a) se elija una bola roja
\(\quad\) b) no se elija una bola amarilla
\(\quad\) c) se elija una bola verde
8, Se saca una bola al azar de una urna que contiene 8 bolas: cinco rojas, dos blancas y una amarilla. Encuentra la probabilidad de que:
\(\quad\) a) la bola dibujada no sea amarilla ni blanca
\(\quad\) b) la bola extraída sea blanca, amarilla o roja
\(\quad\) c) la bola elegida no sea blanca
9) Un cajón contiene 18 calcetines de los cuales 6 son rojos, 4 son blanco y 8 son negros.
\(\quad\)a) Si un calcetín es sacado al azar del cajón, ¿cuál es la probabilidad de que sea rojo?
\(\quad\)b) Si se dibuja un calcetín rojo con la primera opción, ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente calcetín dibujado sea también rojo?
Una mano de póquer se extrae al azar de una baraja estándar de 52 cartas.
10) Encuentra la probabilidad de obtener cinco corazones.
11) Encuentra la probabilidad de conseguir cinco cartas del mismo palo.
12) Encuentra la probabilidad de obtener cinco cartas faciales.
13) Encuentra la probabilidad de conseguir as, rey, reina, jota y diez del mismo palo.
14) Para el problema #14 refiérase al espacio muestral en la Sección 4.1 (o cree el suyo propio
Si se tira un par de dados estándar de seis caras, cuál es la probabilidad de:
\(\quad\) a) rodar un 7
\(\quad\) b) rodar un 9
\(\quad\) c) dobles rodantes (el mismo número en cada dado)
\(\quad\) d) no rodando dobles
\(\quad\) e) rodando 9 o más
SET II
Una moneda imparcial se arroja 5 veces. Encuentra la probabilidad de que:
15) la moneda aterrice cabezas cinco veces
16) la moneda aterrice cabezas exactamente una vez
17) la moneda aterrice cabezas al menos una vez
18) la moneda aterriza cabezas más de una vez Se extraen
dos cartas sin reemplazo de un estándar baraja de 52 cartas. Encuentra la probabilidad de que:
19) se emita una pareja
20) no se dibuje una pareja
21) se roben dos cartas negras
22) se sortean dos cartas del mismo palo
Una jarra contiene tres bolas amarillas y cinco bolas rojas. Si cuatro bolas son sorteadas al azar (sin reemplazo), encuentra la probabilidad de que:
23) dos de las bolas sean amarillas y dos rojas
24) todas las bolas sean rojas
25) exactamente tres de las bolas sean rojas
26) dos o tres de las bolas son amarillas
Supongamos que la probabilidad de que nazca un niño es la misma que la probabilidad de que nazca\(a\)
una niña. Encuentra la probabilidad de que una familia con tres hijos tenga:
27) dos niños y una niña
28) al menos una niña
29) no niños
30) los dos hijos mayores son niñas
31) Un examen consta de diez preguntas verdaderas o falsas. Si un estudiante adivina en cada respuesta, ¿cuál es la probabilidad de que responda exactamente seis preguntas correctamente?
32) Un bufete emplea a 14 abogados, 8 de los cuales son socios del despacho. Si se elige al azar a un grupo de 3 abogados para asistir a una conferencia, ¿cuál es la probabilidad de que se seleccionen 3 socios?
33) En un lote de 24 componentes de computadora, hay cuatro componentes defectuosos. Si dos de los componentes se eligen al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:
\(\quad\) a) ambos componentes sean defectuosos?
\(\quad\)b) ¿al menos uno de los componentes está defectuoso?
34) Un barril de 60 manzanas contiene 4 manzanas podridas. Si se seleccionan 3 manzanas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que una o más de las manzanas esté podrida?
35) Una repisa en la tienda de mejoras para el hogar contiene 80 bombillas de las cuales 6 están defectuosas. Si un cliente elige 2 bombillas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:
\(\quad\) a) ambas estén defectuosas?
\(\quad\)b) ¿al menos uno es defectuoso?
36) Algunos componentes de computadora se envían en cajas de 24. Antes de ser enviados, el inspector de control de calidad elige aleatoriamente 8 componentes de cada caja. Si alguno de los 8 componentes seleccionados está defectuoso, la caja no se envía. ¿Cuál es la probabilidad de que de todos modos se envíe un lote que contenga exactamente 2 componentes defectuosos?
37) Un negocio se prepara para elegir a 12 personas para realizar un viaje de negocios de un grupo de 100 empleados, 60 de los cuales son mujeres y 40 de los cuales son hombres. Supongamos que Ed y Mary son ambos empleados y que las 12 personas para el viaje serán elegidas al azar.
\(\quad\)a) ¿Cuál es la probabilidad de que Ed sea elegido?
\(\quad\)b) ¿Cuál es la probabilidad de que Ed y Mary sean elegidos ambos?
\(\quad\)c) Si un número igual de hombres y mujeres van a ir al viaje, ¿cuál es la probabilidad de que Ed sea elegido?
\(\quad\)d) Si un número igual de hombres y mujeres van a ir al viaje, ¿cuál es la probabilidad de que Ed y Mary sean elegidos ambos?
38) Una empresa cuenta con 50 representantes de ventas en el personal. Hay tres llamadas de ventas que deben hacerse en el lado este de la ciudad y cinco llamadas de ventas en el lado oeste. Si los representantes de ventas se eligen al azar para estas ocho llamadas de ventas:
\(\quad\) a) ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un representante de ventas individual para cualquiera de las ocho llamadas de ventas?
\(\quad\)b) Cuál es la probabilidad de que se seleccionen dos representantes de ventas para realizar sus llamadas de ventas en el mismo lado de la ciudad.
39) Un estudiante que estudia para una prueba sabe hacer 12 de los 20 problemas de la guía de estudio. Si la prueba contiene 10 problemas elegidos al azar de la guía de estudio, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 de los problemas en la prueba sean problemas que el alumno sepa hacer?