11.7: Resolver sistemas con inversos

Objetivos de aprendizaje

• Encuentra la inversa de una matriz.
• Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz inversa

Nancy planea invertir$$10,500$ en dos bonos diferentes para repartir su riesgo. El primer bono tiene un rendimiento anual de$10%$, y el segundo bono tiene un rendimiento anual de$6%$. Para recibir un$8.5%$ retorno de los dos bonos, ¿cuánto debería invertir Nancy en cada bono? ¿Cuál es el mejor método para resolver este problema? Hay varias formas en las que podemos resolver este problema. Como hemos visto en secciones anteriores, los sistemas de ecuaciones y matrices son útiles para resolver problemas del mundo real que involucran finanzas. Después de estudiar esta sección, contaremos con las herramientas para resolver el problema de los bonos utilizando la inversa de una matriz.

Encontrar el inverso de una matriz

Sabemos que la inversa multiplicativa de un número real$a$ es$a^{−1}$, entonces

$$aa^{−1}=a^{−1}a=\left(\dfrac{1}{a}\right)a=1 \label{eq0}$$

Por ejemplo, considere la situación de multiplicación escalar

$$2^{−1}=\dfrac{1}{2} \nonumber$$

por lo tanto de Ecuación\ ref {eq0}

$$\left(\dfrac{1}{2}\right)2=1. \nonumber$$

El inverso multiplicativo de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz$A$ y su inverso$A^{−1}$ es igual a la matriz de identidad. La matriz de identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en todas partes. Identificamos matrices de identidad por$I_n$ donde$n$ representa la dimensión de la matriz. Las ecuaciones\ ref {eq1} y\ ref {eq2} son las matrices de identidad para una$2×2$ matriz y una$3×3$ matriz, respectivamente:

$$I_2=\begin{bmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \label{eq1}$$

$$I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} \label{eq2}$$

La matriz de identidad actúa como$1$ en álgebra matricial. Por ejemplo,

$$AI=IA=A\nonumber$$

Una matriz que tiene un inverso multiplicativo tiene las propiedades

$$AA^{−1}=I$$

$$A^{−1}A=I$$

Una matriz que tiene un inverso multiplicativo se denomina matriz invertible. Sólo una matriz cuadrada puede tener una inversa multiplicativa, como la reversibilidad,

$$AA^{−1}=A^{−1}A=I$$

es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si$A$ es invertible, entonces$A^{−1}$ es única. Analizaremos dos métodos para encontrar la inversa de una$2 × 2$ matriz y un tercer método que se puede usar en ambas$2 × 2$ y$3 × 3$ matrices.

Definiciones: MATRIZ DE IDENTIDAD E INVERSA

La matriz de identidad,$I_n$, es una matriz cuadrada que contiene unos por debajo de la diagonal principal y ceros en todas partes.

$$I_2=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix}$$

en cuanto a la matriz$2 × 2$ de identidad

$$I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\ 0&1&0 \nonumber \\ 0&0&1\end{bmatrix}$$

en cuanto a la matriz$3 × 3$ de identidad

Si$A$ es una$n × n$ matriz y$B$ es una$n × n$ matriz tal que$AB=BA=I_n$, entonces$B=A−1$, la inversa multiplicativa de una matriz$A$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Showing That the Identity Matrix Acts as a 1

Dada la matriz$A$, demuestra eso$AI=IA=A$.

$$A=\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix}$$

Solución

Utilice la multiplicación matricial para mostrar que el producto de$A$ y la matriz de identidad es igual al producto de la matriz de identidad y$A$.

$$\begin{align*} AI&=\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}3⋅1+4⋅0&3⋅0+4⋅1 \nonumber \\ −2⋅1+5⋅0&−2⋅0+5⋅1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \end{align*}$$

$$\begin{align*} AI&=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1⋅3+0⋅(−2)&1⋅4+0⋅5 \nonumber \\ 0⋅3+1⋅(−2)&0⋅4+1⋅5\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \end{align*}$$

Cómo: Dadas dos matrices, mostrar que una es la inversa multiplicativa de la otra

• Dada matriz$A$ de orden$n × n$ y matriz$B$ de orden$n × n$ se multiplican$AB$.
• Si$AB=I$, entonces encuentra el producto$BA$. Si$BA=I$, entonces$B=A^{−1}$ y$A=B^{−1}$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Showing That Matrix $A$ Is the Multiplicative Inverse of Matrix $B$

Mostrar que las matrices dadas son inversas multiplicativas entre sí.

$$A=\begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&−9\end{bmatrix}$$

y

$$B=\begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1\end{bmatrix}$$

Solución

Multiplicar$AB$ y$BA$. Si ambos productos son iguales a la identidad, entonces las dos matrices son inversas la una de la otra.

$$\begin{align*} AB &= \begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&−9\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1(−9)+5(2)&1(−5)+5(1) \nonumber \\ −2(−9)−9(2)&−2(−5)−9(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix} \end{align*}$$

y

$$\begin{align*} BA &= \begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&−9\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−9(1)−5(−2)&−9(5)−5(−9) \nonumber \\ 2(1)+1(−2)&2(−5)+1(−9)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\0&1\end{bmatrix} \end{align*}$$

$A$y$B$ son inversos el uno del otro.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Demostrar que las siguientes dos matrices son inversas entre sí.

$$A=\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3\end{bmatrix}$$

y

$$B=\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1\end{bmatrix}$$

Responder

$\begin{align*} AB&=\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1(−3)+4(1)&1(−4)+4(1) \nonumber \\[4pt] −1(−3)+−3(1)&−1(−4)+−3(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} BA&=\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−3(1)+−4(−1)&−3(4)+−4(−3) \nonumber \\[4pt] 1(1)+1(−1)&1(4)+1(−3)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix} \end{align*}$

Encontrar el inverso multiplicativo usando la multiplicación matricial

Ahora podemos determinar si dos matrices son inversas, pero ¿cómo encontraríamos la inversa de una matriz dada? Como sabemos que el producto de una matriz y su inversa es la matriz de identidad, podemos encontrar la inversa de una matriz configurando una ecuación utilizando la multiplicación matricial.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Finding the Multiplicative Inverse Using Matrix Multiplication

Utilice la multiplicación matricial para encontrar la inversa de la matriz dada.

$$A=\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}$$

Solución

Para este método, multiplicamos$A$ por una matriz que contiene constantes desconocidas y la establecemos igual a la identidad.

$\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}$

Encuentra el producto de las dos matrices en el lado izquierdo del signo igual.

$$\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1a−2c&1b−2d \nonumber \\[4pt] 2a−3c&2b−3d\end{bmatrix}$$

A continuación, configurar un sistema de ecuaciones con la entrada en la fila 1, columna 1 de la nueva matriz igual a la primera entrada de la identidad,$1$. Establecer la entrada en la fila 2, columna 1 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, que es$0$.

$1a−2c=1\space R_1$

$2a−3c=0\space R_2$

Usando operaciones de fila, multiplica y suma de la siguiente manera:$(−2)R_1+R_2\rightarrow R_2$. Agregue las ecuaciones, y resuelva para$c$.

$$\begin{align*} 1a−2c &=1 \nonumber \\[4pt] 0+1c &=−2 \nonumber \\[4pt] c=−2 \nonumber \end{align*} \nonumber$$

Sustituto de la parte posterior para resolver$a$.

$$\begin{align*} a−2(−2)&=1 \nonumber \\[4pt] a+4&=1 \nonumber \\[4pt] a&=−3 \nonumber\end{align*} \nonumber$$

Escribir otro sistema de ecuaciones estableciendo la entrada en la fila 1, columna 2 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad,$0$. Establecer la entrada en la fila 2, columna 2 igual a la entrada correspondiente de la identidad.

$1b−2d=0\space R_1$

$2b−3d=1\space R_2$

Usando operaciones de fila, multiplica y suma de la siguiente manera:$(−2)R_1+R_2=R_2$. Agrega las dos ecuaciones y resuelve para$d$.

$$\begin{align*} 1b−2d&=0 \nonumber \\[4pt] 0+1d&=1 \nonumber \\[4pt] d&=1 \nonumber \end{align*} \nonumber$$

Una vez más, volver a sustituir y resolver para$b$.

$$\begin{align*} b−2(1)&=0 \nonumber \\[4pt] b&−2=0 \nonumber \\[4pt] b &=2 \nonumber \end{align*} \nonumber$$

$$A^{−1}=\begin{bmatrix}−3&2 \nonumber \\[4pt] −2&1\end{bmatrix}$$

Encontrar el Inverso Multiplicativo Aumentando con la Identidad

Otra forma de encontrar el inverso multiplicativo es incrementando con la identidad. Cuando la matriz$A$ se transforma en$I$, la matriz aumentada$I$ se transforma en$A^{−1}$.

Por ejemplo, dado

$A=\begin{bmatrix}2&1 \nonumber \\[4pt] 5&3\end{bmatrix}$

aumentar$A$ con la identidad

$\left[ \begin{array}{cc|cc} 2&1&1&0 \\ 5&3&0&1\end{array} \right]$

Realizar operaciones de fila con el objetivo de convertir A en la identidad.

1. Cambie la fila 1 y la fila 2.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 5&3&0&1 \nonumber \\[4pt] 2&1&1&0\end{array} \right]$

2. Multiplica la fila 2 por −2 y suma a la fila 1.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&1&-2&1 \nonumber \\[4pt] 2&1&1&0\end{array} \right]$

3. Multiplica la fila 1 por −2 y suma a la fila 2.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&1&-2&1 \nonumber \\[4pt] 0&-1&5&-2\end{array} \right]$

4. Agrega la fila 2 a la fila 1.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&3&-1 \nonumber \\[4pt] 0&-1&5&-2\end{array} \right]$

5. Multiplica la fila 2 por−1. −1.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&3&-1 \nonumber \\[4pt] 0&1&-5&2\end{array} \right]$

La matriz que hemos encontrado es$A^{−1}$.

$A^{−1}=\begin{bmatrix}3&−1 \nonumber \\[4pt] −5&2\end{bmatrix}$

Encontrar el inverso multiplicativo de$2×2$ matrices usando una fórmula

Cuando necesitamos encontrar la inversa multiplicativa de una$2 × 2$ matriz, podemos usar una fórmula especial en lugar de usar la multiplicación matricial o aumentarla con la identidad.

Si$A$ es una$2×2$ matriz, como

$A=\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}$

la inversa multiplicativa de$A$ viene dada por la fórmula

$A^{−1}=\dfrac{1}{ad−bc}\begin{bmatrix}d&−b \nonumber \\[4pt] −c&a\end{bmatrix}$

donde$ad−bc≠0$. Si$ad−bc=0$, entonces no$A$ tiene inversa.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Using the Formula to Find the Multiplicative Inverse of Matrix $A$

Usa la fórmula para encontrar el inverso multiplicativo de

$$A=\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}$$

Solución

Podemos comprobar que nuestra fórmula funciona utilizando uno de los otros métodos para calcular la inversa. Aumentemos$A$ con la identidad.

$\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&-2&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&-3&0&1\end{array}\right]$

Realizar operaciones de fila con el objetivo de$A$ convertirse en la identidad.

1. Multiplica la fila 1 por$−2$ y agrega a la fila 2.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&-2&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&-2&1\end{array} \right]$

2. Multiplica la fila 1 por$2$ y agrega a la fila 1.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&-3&2 \nonumber \\[4pt] 0&1&-2&1\end{array} \right]$

Entonces, hemos verificado nuestra solución original.

$A^{−1}=\begin{bmatrix}−3&2 \nonumber \\[4pt] −2&1\end{bmatrix}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Usa la fórmula para encontrar la inversa de la matriz$A$. Verifica tu respuesta aumentando con la matriz de identidad.

$A=\begin{bmatrix}1&−1 \nonumber \\[4pt] 2&3\end{bmatrix}$

Responder

$A^{−1}=\begin{bmatrix}\dfrac{3}{5}&\dfrac{1}{5} \nonumber \\[4pt] −\dfrac{2}{5}&\dfrac{1}{5}\end{bmatrix}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Finding the Inverse of the Matrix, If It Exists

Encuentra la inversa, si existe, de la matriz dada.

$A=\begin{bmatrix}3&6 \nonumber \\[4pt] 1&2\end{bmatrix}$

Solución

Utilizaremos el método de aumentar con la identidad.

$\left[ \begin{array}{cc|cc} 3&6&1&0 \nonumber \\[4pt] 1&3&0&1\end{array} \right]$

1. Cambie la fila 1 y la fila 2.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&3&0&1 \nonumber \\[4pt] 3&6&1&0\end{array} \right]$

2. Multiplica la fila 1 por −3 y agrégala a la fila 2.

   $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&-3&1\end{array} \right]$

3. No hay nada más que podamos hacer. Los ceros en la fila 2 indican que esta matriz no tiene inversa.

Encontrar el inverso multiplicativo de$3×3$ matrices

Desafortunadamente, no tenemos una fórmula similar a la de una$2×2$ matriz para encontrar la inversa de una$3×3$ matriz. En cambio, aumentaremos la matriz original con la matriz de identidad y usaremos operaciones de fila para obtener la inversa.

Dada una$3 × 3$ matriz

$$A=\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}$$

aumentar$A$ con la matriz de identidad

$$\begin{array}{c|c}A&I\end{array}=\left[ \begin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1\end{array} \right]$$

Para comenzar, escribimos la matriz aumentada con la identidad a la derecha y a$A$ la izquierda. Al realizar operaciones elementales de fila para que la matriz de identidad aparezca a la izquierda, obtendremos la matriz inversa a la derecha. Encontraremos la inversa de esta matriz en el siguiente ejemplo.

Cómo: Dado un$3 × 3$ matrix, find the inverse

1. Escribe la matriz original aumentada con la matriz de identidad a la derecha.
2. Utilice operaciones elementales de fila para que la identidad aparezca a la izquierda.
3. Lo que se obtiene a la derecha es el inverso de la matriz original.
4. Utilice la multiplicación matricial para mostrar eso$AA^{−1}=I$ y$A^{−1}A=I$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Finding the Inverse of a $3 × 3$ Matrix

Dada la$3 × 3$ matriz$A$, encuentra la inversa.

$A=\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}$

Solución

Aumente$A$ con la matriz de identidad y luego comience las operaciones de fila hasta que la matriz de identidad se sustituya$A$. La matriz de la derecha será la inversa de$A$.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1 \end{array} \right] \xrightarrow{Interchange\space R_2\space and\space R_1} \left[ \begin{array}{ccc|ccc}3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1 \end{array} \right]$

$−R_2+R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1\end{array} \right]$

$−R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1\end{array} \right]$

$R_2\leftrightarrow R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0\end{array} \right]$

$−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1 \nonumber \\[4pt] 0&3&1&3&-2&0\end{array} \right]$

$−3R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&6&-2&-3\end{array} \right]$

Así,

$A^{−1}=B=\begin{bmatrix}−1&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&0&1 \nonumber \\[4pt] 6&−2&−3\end{bmatrix}$

Análisis

Para probarlo$B=A^{−1}$, multipliquemos las dos matrices juntas para ver si el producto es igual a la identidad, si$AA^{−1}=I$ y$A^{−1}A=I$.

$$\begin{align*} AA^{−1} & =\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}−1&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&0&1 \nonumber \\[4pt] 6&−2&−3\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}2(−1)+3(−1)+1(6)&2(1)+3(0)+1(−2)&2(0)+3(1)+1(−3) \nonumber \\[4pt] 3(−1)+3(−1)+1(6)& 3(1)+3(0)+1(−2)& 3(0)+3(1)+1(−3) \nonumber \\[4pt] 2(−1)+4(−1)+1(6)& 2(1)+4(0)+1(−2)& 2(0)+4(1)+1(−3)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0&0&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] A^{−1}A &= \begin{bmatrix}−1&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&0&1 \nonumber \\[4pt] 6&−2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&2&31 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−1(2)+1(3)+0(2)& −1(3)+1(3)+0(4)& −1(1)+1(1)+0(1) \nonumber \\[4pt] −1(2)+0(3)+1(2)& −1(3)+0(3)+1(4)& −1(1)+0(1)+1(1) \nonumber \\[4pt] 6(2)+−2(3)+−3(2)& 6(3)+−2(3)+−3(4)& 6(1)+−2(1)+−3(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Encuentra la inversa de la$3×3$ matriz.

$A=\begin{bmatrix}2&−17&11 \nonumber \\[4pt] −1&11&−7 \nonumber \\[4pt] 0&3&−2\end{bmatrix}$

Responder

$A^{−1}=\begin{bmatrix}1&1&2 \nonumber \\[4pt] 2&4&−3 \nonumber \\[4pt] 3&6&−5\end{bmatrix}$

Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales Usando la Inversa de una Matriz

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando la inversa de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices:$X$ es la matriz que representa las variables del sistema, y$B$ es la matriz que representa las constantes. Usando la multiplicación matricial, podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones como variables como

$AX=B$

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz inversa, dejar$A$ ser la matriz de coeficientes, dejar$X$ ser la matriz variable, y dejar$B$ ser la matriz constante. Así, queremos resolver un sistema$AX=B$. Por ejemplo, mira el siguiente sistema de ecuaciones.

$a_1x+b_1y=c_1$

$a_2x+b_2y=c_2$

A partir de este sistema, la matriz de coeficientes es

$A=\begin{bmatrix}a_1&b_1 \nonumber \\[4pt] a_2&b_2\end{bmatrix}$

La matriz variable es

$X=\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}$

Y la matriz constante es

$B=\begin{bmatrix}c_1 \nonumber \\[4pt] c_2\end{bmatrix}$

Entonces$AX=B$ parece

$\begin{bmatrix}a_1&b_1 \nonumber \\[4pt] a_2&b_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 \nonumber \\[4pt] c_2\end{bmatrix}$

Recordemos la discusión anterior en esta sección respecto a multiplicar un número real por su inverso,$(2^{−1}) 2=\left(\dfrac{1}{2}\right) 2=1$. Para resolver una sola ecuación lineal$ax=b$ para$x$, simplemente multiplicaríamos ambos lados de la ecuación por el inverso multiplicativo (recíproco) de$a$. Así,

$$\begin{align*} ax&= b\\ \left(\dfrac{1}{a}\right)ax&= \left(\dfrac{1}{a}\right)b\\ \left(a^{-1}\right)ax&= \left(a^{-1}\right)b\\ \left[\left(a^{-1}\right)a\right]x&= \left(a^{-1}\right)b\\ 1x&= \left(a^{-1}\right)b\\ x&= \left(a^{-1}\right)b \end{align*}$$

La única diferencia entre una resolución de una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones escritas en forma de matriz es que encontrar la inversa de una matriz es más complicado, y la multiplicación matricial es un proceso más largo. Sin embargo, el objetivo es el mismo: aislar la variable.

Investigaremos esta idea en detalle, pero es útil comenzar con un$2 × 2$ sistema y luego pasar a un$3 × 3$ sistema.

RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES UTILIZANDO LA INVERSA DE

Dado un sistema de ecuaciones, escriba la matriz de coeficientes$A$, la matriz$X$ variable y la matriz constante$B$. Entonces

$AX=B$

Multiplique ambos lados por la inversa de$A$ para obtener la solución.

$$\begin{align*} \left(A^{-1}\right)AX&= \left(A^{-1}\right)B\\ \left[\left(A^{-1}\right)A \right]X&= \left(A^{-1}\right)B\\ IX&= \left(A^{-1}\right)B\\ X&= \left(A^{-1}\right)B \end{align*}$$

Q&A: Si la matriz de coeficientes no tiene una inversa, ¿significa eso que el sistema no tiene solución?

No, si la matriz de coeficientes no es invertible, el sistema podría ser inconsistente y no tener solución, o ser dependiente y tener infinitamente muchas soluciones.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Solving a $2 × 2$ System Using the Inverse of a Matrix

Resolver el sistema de ecuaciones dado usando la inversa de una matriz.

$$\begin{align*} 3x+8y&= 5\\ 4x+11y&= 7 \end{align*}$$

Solución

Escriba el sistema en términos de una matriz de coeficientes, una matriz variable y una matriz constante.

$A=\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11\end{bmatrix}$,$X=\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix}$

Entonces

$\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix}$

Primero, tenemos que calcular$A^{−1}$. Usando la fórmula para calcular la inversa de a$2$ by$2$ matrix, tenemos:

$$\begin{align*} A^{−1} &= \dfrac{1}{ad−bc}\begin{bmatrix}d&−b \nonumber \\[4pt] −c&a\end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{3(11)−8(4)}\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1}\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix} \end{align*}$$

Entonces,

$A^{−1}=\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4 &3\end{bmatrix}$

Ahora estamos listos para resolver. Multiplique ambos lados de la ecuación por$A^{−1}$.

$$\begin{align*} \left(A^{−1}\right)AX&=\left(A^{−1}\right)B \\[4pt] \begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix} \\[4pt] \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}11(5)+(−8)7 \nonumber \\[4pt] −4(5)+3(7)\end{bmatrix} \\[4pt] \begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}−1 \nonumber \\[4pt] 1\end{bmatrix} \end{align*}$$

La solución es$(−1,1)$.

Q&A: ¿Podemos resolver para$X$ by finding the product $BA^{−1}$?

No, recordemos que la multiplicación matricial no es conmutativa, entonces$A^{−1}B≠BA^{−1}$. Considera nuestros pasos para resolver la ecuación matricial.

$$\begin{align*} \left(A^{-1}\right)AX&= \left(A^{-1}\right)B\\ \left[ \left(A^{-1}\right)A \right]X&= \left(A^{-1}\right)B\\ IX&= \left(A^{-1}\right)B\\ X&= \left(A^{-1}\right)B \end{align*}$$

Observe en el primer paso multiplicamos ambos lados de la ecuación por$A^{−1}$, pero el$A^{−1}$ fue a la izquierda de$A$ en el lado izquierdo y a la izquierda de$B$ en el lado derecho. Debido a que la multiplicación matricial no es conmutativa, el orden importa.

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Solving a 3 × 3 System Using the Inverse of a Matrix

Resuelve el siguiente sistema usando la inversa de una matriz.

$$\begin{align*} 5x+15y+56z&= 35\\ -4x-11y-41z&= -26\\ -x-3y-11z&= -7 \end{align*}$$

Solución

Escribe la ecuación$AX=B$.

$\begin{bmatrix}5&15&56 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y \nonumber \\[4pt] z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}35 \nonumber \\[4pt] −26 \nonumber \\[4pt] −7\end{bmatrix}$

Primero, encontraremos lo inverso de$A$ al aumentar con la identidad.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}5&15&56&1&0&0 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41&0&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{array} \right]$

Multiplicar fila 1 por$\dfrac{1}{5}$.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41&0&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{array} \right]$

Multiplica la fila 1 por$4$ y agrega a la fila 2.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{array} \right]$

Agrega la fila 1 a la fila 3.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&\dfrac{1}{5}&\dfrac{1}{5}&0&1\end{array} \right]$

Multiplica la fila 2 por$−3$ y agrega a la fila 1.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\dfrac{1}{5}&-\dfrac{11}{5}&-3&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&\dfrac{1}{5}&\dfrac{1}{5}&0&1\end{array} \right]$

Multiplicar fila 3 por$5$.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\dfrac{1}{5}&-\dfrac{11}{5}&-3&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&1&0&5\end{array} \right]$

Multiplica la fila 3 por$\dfrac{1}{5}$ y agrega a la fila 1.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2&-3&1 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&1&0&5\end{array} \right]$

Multiplica la fila 3 por$−\dfrac{19}{5}$ y agrega a la fila 2.

$\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2&-3&1 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-3&1&-19 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&1&0&5\end{array} \right]$

Entonces,

$A^{−1}=\begin{bmatrix}−2&−3&1 \nonumber \\[4pt] −3&1&−19 \nonumber \\[4pt] 1&0&5\end{bmatrix}$

Multiplique ambos lados de la ecuación por$A^{−1}$. Queremos$A^{−1}AX=A^{−1}B$:

$\begin{bmatrix}−2&−3&1 \nonumber \\[4pt] −3&1&−19 \nonumber \\[4pt] 1&0&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5&15&56 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y \nonumber \\[4pt] z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}−2&−3&1 \nonumber \\[4pt] −3&1&−19 \nonumber \\[4pt] 1&0&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}35 \nonumber \\[4pt] −26 \nonumber \\[4pt] −7\end{bmatrix}$

Así,

$A^{−1}B=\begin{bmatrix}−70+78−7 \nonumber \\[4pt] −105−26+133 \nonumber \\[4pt] 35+0−35\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \nonumber \\[4pt] 2 \nonumber \\[4pt] 0\end{bmatrix}$

La solución es$(1,2,0)$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Resolver el sistema usando la inversa de la matriz de coeficientes.

$$\begin{align*} 2x-17y+11z&= 0\\ -x+11y-7z&= 8\\ 3y-2z&= -2 \end{align*}$$

Responder

$X=\begin{bmatrix}4 \nonumber \\[4pt] 38 \nonumber \\[4pt] 58\end{bmatrix}$

Cómo: Dado un sistema de ecuaciones, resolver con inversión matricial usando una calculadora

1. Guardar la matriz de coeficientes y la matriz constante como variables matriciales$[ A ]$ y$[ B ]$.
2. Ingresa la multiplicación en la calculadora, llamando a cada variable de matriz según sea necesario.
3. Si la matriz de coeficientes es invertible, la calculadora presentará la matriz de solución; si la matriz de coeficientes no es invertible, la calculadora presentará un mensaje de error.

Ejemplo$\PageIndex{9}$: Using a Calculator to Solve a System of Equations with Matrix Inverses

Resolver el sistema de ecuaciones con inversión matricial usando una calculadora

$$\begin{align*} 2x+3y+z&= 32\\ 3x+3y+z&= -27\\ 2x+4y+z&= -2 \end{align*}$$

Solución

En la página de matriz de la calculadora, ingrese la matriz de coeficientes como la variable de matriz$[ A ]$, e ingrese la matriz constante como la variable de matriz$[ B ]$.

$[A]=\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}$,$[B]=\begin{bmatrix}32 \nonumber \\[4pt] −27 \nonumber \\[4pt] −2\end{bmatrix}$

En la pantalla de inicio de la calculadora, escriba la multiplicación para resolver$X$, llamando a cada variable matricial según sea necesario.

$[A]^{−1}×[B]$

Evaluar la expresión.

$\begin{bmatrix}−59 \nonumber \\[4pt] −34 \nonumber \\[4pt] 252\end{bmatrix}$

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con sistemas de resolución con inversos.

• La Matriz de Identidad
• Determinación de Matrices Inversa
• Uso de una ecuación matricial para resolver un sistema de ecuaciones

Ecuaciones Clave

Matriz de identidad para una$2 × 2$ matriz	$I_2=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}$
Matriz de identidad para una$3 × 3$ matriz	$I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix}$
Inversa multiplicativa de una$2 × 2$ matriz	$A^{−1}=\dfrac{1}{ad−bc}\begin{bmatrix}d&−b \nonumber \\[4pt] −c&a\end{bmatrix}$, donde$ad−bc≠0$

Conceptos clave

• Una matriz de identidad tiene la propiedad$AI=IA=A$. Ver Ejemplo$\PageIndex{1}$.
• Una matriz invertible tiene la propiedad$AA^{−1}=A^{−1}A=I$. Ver Ejemplo$\PageIndex{2}$.
• Utilice la multiplicación matricial y la identidad para encontrar la inversa de una$2×2$ matriz. Ver Ejemplo$\PageIndex{3}$.
• El inverso multiplicativo se puede encontrar usando una fórmula. Ver Ejemplo$\PageIndex{4}$.
• Otro método para encontrar lo inverso es incrementando con la identidad. Ver Ejemplo$\PageIndex{5}$.
• Podemos aumentar una$3×3$ matriz con la identidad a la derecha y usar operaciones de fila para convertir la matriz original en la identidad, y la matriz de la derecha se convierte en la inversa. Ver Ejemplo$\PageIndex{6}$.
• Escribe el sistema de ecuaciones como$AX=B$, y multiplica ambos lados por la inversa de$A$:$A^{−1}AX=A^{−1}B$. Ver Ejemplo$\PageIndex{7}$ y Ejemplo$\PageIndex{8}$.
• También podemos usar una calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con inversión matricial. Ver Ejemplo$\PageIndex{9}$.