2.4: Propiedades de la Multiplicación Matricial
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Comparar los productos\(AB\) y\(BA\), para matrices\(A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right], B= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]\)
Solución
Primero, fíjate que\(A\) y ambos\(B\) son de tamaño\(2 \times 2\). Por lo tanto, ambos productos\(AB\) y\(BA\) están definidos. El primer producto,\(AB\) es
\[AB = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array} \right] \nonumber\]
El segundo producto,\(BA\) es
\[\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} \right] \nonumber\]
Por lo tanto,\(AB \neq BA\).
Este ejemplo ilustra que no se puede asumir\(AB=BA\) incluso cuando la multiplicación está definida en ambos órdenes. Si por algunas matrices\(A\) y\(B\) es cierto eso\(AB=BA\), entonces decimos eso\(A\) y\(B\) conmutamos. Esta es una propiedad importante de la multiplicación matricial.
Las siguientes son otras propiedades importantes de la multiplicación matricial. Observe que estas propiedades se mantienen solo cuando el tamaño de las matrices es tal que se definen los productos.
La siguiente retención para matrices\(A,B,\) y\(C\) y para escalares\(r\) y\(s\),
\[ \begin{align} A\left( rB+sC\right) &= r\left( AB\right) +s\left( AC\right) \label{matrixproperties1} \\[4pt] \left( B+C\right) A &=BA+CA \label{matrixproperties2} \\[4pt] A\left( BC\right) &=\left( AB\right) C \label{matrixproperties3} \end{align}\]
- Prueba
-
Primero vamos a probar\(\eqref{matrixproperties1}\). Utilizaremos la Definición 2.3.1 y probaremos esta afirmación usando las\(ij^{th}\) entradas de una matriz. Por lo tanto,
\[\begin{aligned} \left( A\left( rB+sC\right) \right) _{ij} &=\sum_{k}a_{ik}\left( rB+sC\right) _{kj} \\[4pt] &= \sum_{k}a_{ik}\left( rb_{kj}+sc_{kj}\right) \\[4pt] &=r\sum_{k}a_{ik}b_{kj}+s\sum_{k}a_{ik}c_{kj} \\[4pt] &=r\left( AB\right) _{ij}+s\left( AC\right) _{ij} \\[4pt] &=\left( r\left( AB\right) +s\left( AC\right) \right) _{ij} \end{aligned}\]
Así\(A\left( rB+sC\right) =r(AB)+s(AC) \) como se afirma.
La prueba de Ecuación\(\eqref{matrixproperties2}\) sigue el mismo patrón y se deja como un ejercicio.
Declaración La ecuación\(\eqref{matrixproperties3}\) es la ley asociativa de la multiplicación. Usando la definición 2.3.1,
\[ \begin{align*}\left( A\left( BC\right) \right) _{ij} &=\sum_{k}a_{ik}\left( BC\right) _{kj} \\[4pt] &=\sum_{k}a_{ik}\sum_{l}b_{kl}c_{lj} \\[4pt] &=\sum_{l}\left( AB\right) _{il}c_{lj}=\left( \left( AB\right) C\right) _{ij}. \end{align*}\]
Esto prueba\(\eqref{matrixproperties3}\).