2.4: Propiedades de la Multiplicación Matricial

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Como se señaló anteriormente, a veces es posible multiplicar matrices en un orden pero no en el otro orden. No obstante, aunque ambos\(AB\) y\(BA\) estén definidos, pueden no ser iguales.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Matrix Multiplication is Not Commutative

Comparar los productos\(AB\) y\(BA\), para matrices\(A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right], B= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]\)

Solución

Primero, fíjate que\(A\) y ambos\(B\) son de tamaño\(2 \times 2\). Por lo tanto, ambos productos\(AB\) y\(BA\) están definidos. El primer producto,\(AB\) es

\[AB = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array} \right] \nonumber\]

El segundo producto,\(BA\) es

\[\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} \right] \nonumber\]

Por lo tanto,\(AB \neq BA\).

Este ejemplo ilustra que no se puede asumir\(AB=BA\) incluso cuando la multiplicación está definida en ambos órdenes. Si por algunas matrices\(A\) y\(B\) es cierto eso\(AB=BA\), entonces decimos eso\(A\) y\(B\) conmutamos. Esta es una propiedad importante de la multiplicación matricial.

Las siguientes son otras propiedades importantes de la multiplicación matricial. Observe que estas propiedades se mantienen solo cuando el tamaño de las matrices es tal que se definen los productos.

Proposición\(\PageIndex{1}\): Properties of Matrix Multiplication

La siguiente retención para matrices\(A,B,\) y\(C\) y para escalares\(r\) y\(s\),

\[ \begin{align} A\left( rB+sC\right) &= r\left( AB\right) +s\left( AC\right) \label{matrixproperties1} \\[4pt] \left( B+C\right) A &=BA+CA \label{matrixproperties2} \\[4pt] A\left( BC\right) &=\left( AB\right) C \label{matrixproperties3} \end{align}\]

Prueba

Primero vamos a probar\(\eqref{matrixproperties1}\). Utilizaremos la Definición 2.3.1 y probaremos esta afirmación usando las\(ij^{th}\) entradas de una matriz. Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \left( A\left( rB+sC\right) \right) _{ij} &=\sum_{k}a_{ik}\left( rB+sC\right) _{kj} \\[4pt] &= \sum_{k}a_{ik}\left( rb_{kj}+sc_{kj}\right) \\[4pt] &=r\sum_{k}a_{ik}b_{kj}+s\sum_{k}a_{ik}c_{kj} \\[4pt] &=r\left( AB\right) _{ij}+s\left( AC\right) _{ij} \\[4pt] &=\left( r\left( AB\right) +s\left( AC\right) \right) _{ij} \end{aligned}\]

Así\(A\left( rB+sC\right) =r(AB)+s(AC) \) como se afirma.

La prueba de Ecuación\(\eqref{matrixproperties2}\) sigue el mismo patrón y se deja como un ejercicio.

Declaración La ecuación\(\eqref{matrixproperties3}\) es la ley asociativa de la multiplicación. Usando la definición 2.3.1,

\[ \begin{align*}\left( A\left( BC\right) \right) _{ij} &=\sum_{k}a_{ik}\left( BC\right) _{kj} \\[4pt] &=\sum_{k}a_{ik}\sum_{l}b_{kl}c_{lj} \\[4pt] &=\sum_{l}\left( AB\right) _{il}c_{lj}=\left( \left( AB\right) C\right) _{ij}. \end{align*}\]

Esto prueba\(\eqref{matrixproperties3}\).