1.25: Sumando y restando expresiones racionales

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Piense en el capítulo sobre las expresiones racionales. Recordemos que una expresión racional (también llamada fracción algebraica) es aquella que se puede escribir como una relación de\(\dfrac{P}{Q}\) donde\(\mathrm{P}\) y\(\mathrm{Q}\) son polinomios y\(\mathrm{Q} \neq 0 .\) podemos sumar y restar expresiones racionales de la misma manera podemos sumar y restar fracciones.

Expresiones racionales con denominadores “Me gusta”

Sumando y restando expresiones racionales

Dejar\(P, Q\) y\(R\) ser polinomios con\(R \neq 0\)

\(\dfrac{P}{R}+\dfrac{Q}{R}=\dfrac{P+Q}{R}\)
\(\dfrac{P}{R}-\dfrac{Q}{R}=\dfrac{P-Q}{R}\)

Ejemplo 23.1

Agrega y escribe la respuesta en la forma más simple:

\[\dfrac{3 y}{16}+\dfrac{5 y}{16}\nonumber\]

\[\dfrac{3 y}{16}+\dfrac{5 y}{16}=\dfrac{3 y+5 y}{16}=\dfrac{8 y}{16}=\dfrac{y}{2}\nonumber\]

Ejemplo 23.2

Restar y escribir la respuesta en la forma más simple:

\[\dfrac{5 x}{x-3}-\dfrac{15}{x-3}\nonumber\]

Comenzamos restando los numeradores para obtener

\[\dfrac{5 x}{x-3}-\dfrac{15}{x-3}\nonumber\]

A continuación, simplificamos la expresión racional mediante el uso de un método que aprendimos en la sección anterior. Facturamos el numerador y luego cancelamos el factor común del numerador y denominador

\[\dfrac{5 x-15}{x-3}=\dfrac{5\not{(x-3)}}{\not{(x-3)}}=5\nonumber\]

Expresiones racionales con denominadores diferentes

Recordemos que para combinar fracciones “diferentes” (aquellas con diferentes denominadores) primero tuvimos que reescribirlas con un denominador común. Elegimos trabajar con el mínimo denominador común porque agilizó el proceso. Combinar expresiones distintas a las racionales nos obliga a hacer lo mismo. Podemos encontrar la LCD para expresiones racionales exactamente de la misma manera que encontramos la LCD para fracciones, consulte el Capítulo 2 para el procedimiento. La única diferencia a tener en cuenta es que los denominadores de expresiones racionales pueden ser polinomios. Pero esto no nos entorpece. Cuando factorizamos nuestros denominadores, simplemente los factorizamos como productos de poderes de números primos y polinomios. Un polinomio primo (o irreducible) es un polinomio que no se puede factorizar más.

Ejemplo 23.3

Combinar\(\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{2 x}{3}\).

Recuérdese los pasos para encontrar la pantalla LCD (Capítulo 2):

Paso 1 Factor (los denominadores): 6 factores en\(2 \cdot 3\) y 3 factores en\(3 \cdot 1\)
Paso 2. Lista (los primos) 2,3
Paso 3. (Forma el) LCD:\(2 \cdot 3=6\)

Ahora que hemos encontrado el LCD, lo usamos para reescribir cada expresión racional para transformar nuestro problema de

\[\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{2 x}{3}\nonumber\]

\[\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{2 \cdot 2 x}{2 \cdot 3} =\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{4 x}{6}\nonumber\]

Ahora podemos combinar las expresiones racionales para obtener

\[\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{4 x}{6}=\dfrac{x}{6}\nonumber\]

Ejemplo 23.4

Combinar\(\dfrac{7}{x}+\dfrac{4}{3}\)

Nos encontramos aquí con nuestro primer “polinomio principal” que es\(x\). El LCD para este ejemplo es\(3 x\) y así comenzamos por reescribir el problema para leer

\[\dfrac{7}{x}+\dfrac{4}{3}\nonumber\]

\[=\dfrac{3 \cdot 7}{3 \cdot x}+\dfrac{4 \cdot x}{3 \cdot x}\nonumber\]

\[=\dfrac{21}{3 x}+\dfrac{4 x}{3 x}\nonumber\]

Ahora, combinamos las expresiones racionales “me gusta” para dar la solución

\[\dfrac{21+4 x}{3 x}\nonumber\]

lo que no puede simplificarse más.

Ejemplo 23.5

Combinar\(\dfrac{5}{4 a}-\dfrac{7 b}{6}\).

Empecemos por computar la pantalla LCD, teniendo en cuenta que aquí\(a\) hay un polinomio primo.

Paso 1. Factor:\(4 a\) factores en\(2^{2} \cdot a\) y 6 factores en\(2 \cdot 3\)
Paso 2. Lista:\(2,3, a\)
Paso 3. LCD:\(2^{2} \cdot 3 \cdot a=12 a\)

A continuación, reescribimos cada fracción usando esta pantalla LCD:

\[\begin{align*} \dfrac{5}{4 a}-\dfrac{7 b}{6} &=\dfrac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4 a}-\dfrac{7 b \cdot 2 a}{6 \cdot 2 a} \\[4pt] &=\dfrac{15}{12 a}-\dfrac{14 a b}{12 a}\end{align*}\]

Finalmente podemos combinar expresiones racionales “me gusta” para obtener

\[\dfrac{15}{12 a}-\dfrac{14 a b}{12 a}=\dfrac{15-14 a b}{12 a}\nonumber\]

que no se puede reducir más.

Problema de salida

Simplificar:\(\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{8 b}\)