1.1: Una breve nota sobre las pruebas

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La matemática abstracta es diferente de otras ciencias. En ciencias de laboratorio como la química y la física, los científicos realizan experimentos para descubrir nuevos principios y verificar teorías. Aunque las matemáticas suelen estar motivadas por la experimentación física o por simulaciones por computadora, se hace rigurosa mediante el uso de argumentos lógicos. Al estudiar matemáticas abstractas, tomamos lo que se llama un enfoque axiomático; es decir, tomamos una colección de objetos\(\mathcal S\) y asumimos algunas reglas sobre su estructura. Estas reglas se llaman axiomas. Usando los axiomas para\(\mathcal S\text{,}\) que deseamos derivar otra información sobre\(\mathcal S\) mediante el uso de argumentos lógicos. Requerimos que nuestros axiomas sean consistentes; es decir, no deben contradecirse entre sí. También exigimos que no haya demasiados axiomas. Si un sistema de axiomas es demasiado restrictivo, habrá pocos ejemplos de la estructura matemática.

Una afirmación en lógica o matemática es una afirmación que es verdadera o falsa. Considere los siguientes ejemplos:

\(3 + 56 - 13 + 8/2 \text{.}\)
Todos los gatos son negros.
\(2 + 3 = 5\text{.}\)
\(2x = 6\)exactamente cuando\(x = 4\text{.}\)
Si\(ax^2 + bx + c = 0\) y\(a \neq 0\text{,}\) entonces
\ [ x =\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\ texto {.} \ nonumber\]
\(x^3 - 4x^2 + 5 x - 6\text{.}\)

Todos menos el primer y último ejemplo son declaraciones, y deben ser verdaderas o falsas.

Una prueba matemática no es más que un argumento convincente sobre la exactitud de una declaración. Tal argumento debe contener los detalles suficientes para convencer a la audiencia; por ejemplo, podemos ver que la afirmación “\(2x = 6\)exactamente cuándo\(x = 4\)” es falsa evaluando\(2 \cdot 4\) y señalando que\(6 \neq 8\text{,}\) un argumento que satisfaría a cualquiera. Por supuesto, las audiencias pueden variar ampliamente: las pruebas pueden dirigirse a otro estudiante, a un profesor o al lector de un texto. Si en la prueba se presenta más detalle del necesario, entonces la explicación será larga o mal escrita. Si se omiten demasiados detalles, entonces la prueba puede no ser convincente. Nuevamente es importante tener presente al público. Los estudiantes de secundaria requieren mucho más detalle que los estudiantes de posgrado. Una buena regla general para un argumento en un curso introductorio de álgebra abstracta es que debe escribirse para convencer a sus compañeros, ya sean esos compañeros otros estudiantes u otros lectores del texto.

Examinemos diferentes tipos de declaraciones. Una declaración podría ser tan simple como “\(10/5 = 2\text{;}\)” sin embargo, los matemáticos suelen estar interesados en declaraciones más complejas como “Si\(p\text{,}\) entonces\(q\text{,}\)” donde\(p\) y\(q\) son ambas declaraciones. Si se sabe o se supone que ciertas afirmaciones son verdaderas, deseamos saber qué podemos decir de otras afirmaciones. Aquí\(p\) se llama la hipótesis y\(q\) se conoce como la conclusión. Considera la siguiente declaración: Si\(ax^2 + bx + c = 0\) y\(a \neq 0\text{,}\) luego

\ [ x =\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\ texto {.} \ nonumber\]

La hipótesis es\(ax^2 + bx + c = 0\) y\(a \neq 0\text{;}\) la conclusión es

\ [ x =\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\ texto {.} \ nonumber\]

Observe que la afirmación no dice nada sobre si la hipótesis es cierta o no. No obstante, si toda esta afirmación es cierta y podemos demostrar que\(ax^2 + bx + c = 0\) con\(a \neq 0\) es verdad, entonces la conclusión debe ser cierta. Una prueba de esta afirmación podría ser simplemente una serie de ecuaciones:

\ begin {alinear*} ax^2 + bx + c & = 0\\ x^2 +\ frac {b} {a} x & = -\ frac {c} {a}\\ x^2 +\ frac {b} {a} x +\ izquierda (\ frac {b} {2a}\ derecha) ^2 & =\ izquierda (\ frac {b} {2a}\ derecha) ^2 -\ frac {c} {a}\\ \ izquierda (x +\ frac {b} {2a}\ derecha) ^2 & =\ frac {b^2 - 4ac} {4a^2}\\ x +\ frac {b} {2a} & =\ frac {\ pm\ sqrt {b^2 -4ac}} {2a}\\ x & =\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\ text {.} \ end {alinear*}

Si podemos probar que una afirmación es verdadera, entonces esa afirmación se llama proposición. Una proposición de mayor importancia se llama teorema. A veces, en lugar de probar un teorema o proposición de una vez, desglosamos la prueba en módulos; es decir, probamos varias proposiciones de apoyo, que se llaman lemmas, y utilizamos los resultados de estas proposiciones para probar el resultado principal. Si podemos probar una proposición o un teorema, muchas veces, con muy poco esfuerzo, podremos derivar otras proposiciones relacionadas llamadas corolarios.

Algunas Precauciones y Sugerencias

Existen varias estrategias diferentes para probar proposiciones. Además de utilizar diferentes métodos de prueba, los estudiantes suelen cometer algunos errores comunes cuando están aprendiendo por primera vez a probar teoremas. Para ayudar a los estudiantes que están estudiando matemáticas abstractas por primera vez, enumeramos aquí algunas de las dificultades que pueden encontrar y algunas de las estrategias de prueba disponibles para ellos. Es una buena idea seguir refiriéndose a esta lista como recordatorio. (Otras técnicas de prueba se harán evidentes a lo largo de este capítulo y el resto del texto.)

Un teorema no se puede probar con el ejemplo; sin embargo, la forma estándar de mostrar que una declaración no es un teorema es proporcionar un contraejemplo.
Los cuantificadores son importantes. Palabras y frases como solo, para todos, para cada, y para algunos poseen significados diferentes.
Nunca asuma ninguna hipótesis que no esté explícitamente enunciada en el teorema. No se pueden dar las cosas por sentado.
Supongamos que desea demostrar que un objeto existe y es único. Primero demuestre que en realidad existe tal objeto. Para demostrar que es único, asumir que hay dos de esos objetos, decir\(r\)\(s\text{,}\) y luego mostrar que\(r = s\text{.}\)
A veces es más fácil demostrar el contrapositivo de una declaración. Demostrar la declaración “Si\(p\text{,}\) entonces\(q\)” es exactamente lo mismo que probar la declaración “Si no\(q\text{,}\), entonces no\(p\text{.}\)”
Aunque suele ser mejor encontrar una prueba directa de un teorema, esta tarea a veces puede ser difícil. Puede ser más fácil asumir que el teorema que está tratando de probar es falso, y esperar que en el transcurso de su argumento se vea obligado a hacer alguna afirmación que no puede ser cierta.

Recuerde que uno de los principales objetivos de las matemáticas superiores es probar teoremas. Los teoremas son herramientas que hacen posibles nuevas y productivas aplicaciones de las matemáticas. Usamos ejemplos para dar una idea de los teoremas existentes y para fomentar intuiciones sobre lo que los nuevos teoremas podrían ser ciertos. Las aplicaciones, los ejemplos y las pruebas están estrechamente interconectadas, mucho más de lo que parecen en la primera aparición.