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# 1.4: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

## 1

Supongamos que

\ begin {align*} A & =\ {x: x\ in\ mathbb N\ text {y} x\ text {es par}\},\\ B & =\ {x: x\ in\ mathbb N\ text {y} x\ text {es primo}\},\\ C & =\ {x: x\ in\ mathbb N\ text {y} x\ text {es un múltiplo de} 5\}\ texto {.} \ end {alinear*}

Describa cada uno de los siguientes conjuntos.

1. $$\displaystyle A \cap B$$
2. $$\displaystyle B \cap C$$
3. $$\displaystyle A \cup B$$
4. $$\displaystyle A \cap (B \cup C)$$

## 2

Si$$A = \{ a, b, c \}\text{,}$$$$B = \{ 1, 2, 3 \}\text{,}$$$$C = \{ x \}\text{,}$$ y$$D = \emptyset\text{,}$$ enumere todos los elementos en cada uno de los siguientes conjuntos.

1. $$\displaystyle A \times B$$
2. $$\displaystyle B \times A$$
3. $$\displaystyle A \times B \times C$$
4. $$\displaystyle A \times D$$

## 3

Encuentra un ejemplo de dos conjuntos no vacíos$$A$$ y$$B$$ para los cuales$$A \times B = B \times A$$ es cierto.

## 4

Demostrar$$A \cup \emptyset = A$$ y$$A \cap \emptyset = \emptyset\text{.}$$

## 5

Demostrar$$A \cup B = B \cup A$$ y$$A \cap B = B \cap A\text{.}$$

## 6

Demostrar$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}$$

## 7

Demostrar$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\text{.}$$

## 8

Demostrar$$A \subset B$$ si y solo si$$A \cap B = A\text{.}$$

## 9

Demostrar$$(A \cap B)' = A' \cup B'\text{.}$$

## 10

Demostrar$$A \cup B = (A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\text{.}$$

## 11

Demostrar$$(A \cup B) \times C = (A \times C ) \cup (B \times C)\text{.}$$

## 12

Demostrar$$(A \cap B) \setminus B = \emptyset\text{.}$$

## 13

Demostrar$$(A \cup B) \setminus B = A \setminus B\text{.}$$

## 14

Demostrar$$A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}$$

## 15

Demostrar$$A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C)\text{.}$$

## 16

Demostrar$$(A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\text{.}$$

## 17

¿Cuál de las siguientes relaciones$$f: {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Q}$$ define un mapeo? En cada caso, suministrar una razón por la cual$$f$$ es o no es un mapeo.

1. $$\displaystyle \displaystyle f(p/q) = \frac{p+ 1}{p - 2}$$
2. $$\displaystyle \displaystyle f(p/q) = \frac{3p}{3q}$$
3. $$\displaystyle \displaystyle f(p/q) = \frac{p+q}{q^2}$$
4. $$\displaystyle \displaystyle f(p/q) = \frac{3 p^2}{7 q^2} - \frac{p}{q}$$

## 18

Determine cuáles de las siguientes funciones son uno a uno y cuáles están en. Si la función no está encendida, determine su rango.

1. $$f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$$definido por$$f(x) = e^x$$
2. $$f: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}$$definido por$$f(n) = n^2 + 3$$
3. $$f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$$definido por$$f(x) = \sin x$$
4. $$f: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}$$definido por$$f(x) = x^2$$

## 19

Dejar$$f :A \rightarrow B$$ y$$g : B \rightarrow C$$ ser mapeos invertibles; es decir, mapeos tales que$$f^{-1}$$ y$$g^{-1}$$ existen. Demostrar que$$(g \circ f)^{-1} =f^{-1} \circ g^{-1}\text{.}$$

## 20

1. Definir una función$$f: {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$$ que sea uno a uno pero no sobre.
2. Definir una función$$f: {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$$ que esté en pero no uno a uno.

## 21

Demostrar la relación definida$${\mathbb R}^2$$ por$$(x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)$$ si$$x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2$$ es una relación de equivalencia.

## 22

Dejar$$f : A \rightarrow B$$ y$$g : B \rightarrow C$$ ser mapas.

1. Si$$f$$ y$$g$$ son ambas funciones uno a uno, muestre que$$g \circ f$$ es uno a uno.
2. Si$$g \circ f$$ está encendido, muestra que$$g$$ está en.
3. Si$$g \circ f$$ es uno a uno, muestra que$$f$$ es uno a uno.
4. Si$$g \circ f$$ es uno a uno y$$f$$ está encendido, muestra que$$g$$ es uno a uno.
5. Si$$g \circ f$$ está encendido y$$g$$ es uno a uno, muestra que$$f$$ está encendido.

## 23

Definir una función sobre los números reales por

$f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}\text{.} \nonumber$

¿Cuáles son el dominio y el rango de$$f\text{?}$$ Cuál es la inversa de$$f\text{?}$$ Computación$$f \circ f^{-1}$$ y$$f^{-1} \circ f\text{.}$$

## 24

Deja$$f: X \rightarrow Y$$ ser un mapa con$$A_1, A_2 \subset X$$ y$$B_1, B_2 \subset Y\text{.}$$

1. Demostrar$$f( A_1 \cup A_2 ) = f( A_1) \cup f( A_2 )\text{.}$$
2. Demostrar$$f( A_1 \cap A_2 ) \subset f( A_1) \cap f( A_2 )\text{.}$$ Dar un ejemplo en el que la igualdad falla.
3. Demostrar$$f^{-1}( B_1 \cup B_2 ) = f^{-1}( B_1) \cup f^{-1}(B_2 )\text{,}$$ dónde

$f^{-1}(B) = \{ x \in X : f(x) \in B \}\text{.} \nonumber$

4. Demostrar$$f^{-1}( B_1 \cap B_2 ) = f^{-1}( B_1) \cap f^{-1}( B_2 )\text{.}$$
5. Demostrar$$f^{-1}( Y \setminus B_1 ) = X \setminus f^{-1}( B_1)\text{.}$$

## 25

Determinar si las siguientes relaciones son o no relaciones de equivalencia en el conjunto dado. Si la relación es una relación de equivalencia, describa la partición dada por ella. Si la relación no es una relación de equivalencia, exponer por qué no lo es.

1. $$x \sim y$$en$${\mathbb R}$$ si$$x \geq y$$
2. $$m \sim n$$en$${\mathbb Z}$$ si$$mn > 0$$
3. $$x \sim y$$en$${\mathbb R}$$ si$$|x - y| \leq 4$$
4. $$m \sim n$$en$${\mathbb Z}$$ si$$m \equiv n \pmod{6}$$

## 26

Definir una relación$$\sim$$ sobre$${\mathbb R}^2$$ afirmando que$$(a, b) \sim (c, d)$$ si y solo si$$a^2 + b^2 \leq c^2 + d^2\text{.}$$ Mostrar eso$$\sim$$ es reflexivo y transitivo pero no simétrico.

## 27

Mostrar que una$$m \times n$$ matriz da lugar a un mapa bien definido de$${\mathbb R}^n$$ a$${\mathbb R}^m\text{.}$$

## 28

Encuentra el error en el siguiente argumento proporcionando un contraejemplo. “La propiedad reflexiva es redundante en los axiomas para una relación de equivalencia. Si$$x \sim y\text{,}$$ entonces$$y \sim x$$ por la propiedad simétrica. Usando la propiedad transitiva, podemos deducir que$$x \sim x\text{.}$$

## 29. Línea Real Proyectiva

Definir una relación on$${\mathbb R}^2 \setminus \{ (0,0) \}$$ dejando$$(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)$$ si existe un número real distinto de cero$$\lambda$$ tal que$$(x_1, y_1) = ( \lambda x_2, \lambda y_2)\text{.}$$ Prove que$$\sim$$ define una relación de equivalencia en$${\mathbb R}^2 \setminus (0,0)\text{.}$$ ¿Cuáles son las clases de equivalencia correspondientes? Esta relación de equivalencia define la línea proyectiva, denotada por la$${\mathbb P}({\mathbb R}) \text{,}$$ cual es muy importante en geometría.

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