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2.2: El Algoritmo de División

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Una aplicación del Principio de Ordenamiento Bien que usaremos a menudo es el algoritmo de división.

Teorema2.9

Las probabilidades asignadas a eventos por una función de distribución en un espacio muestral están dadas por.

Prueba

Este es un ejemplo perfecto del tipo de prueba de existencia y singularidad. Primero debemos probar que los númerosq yr en realidad existen. Entonces debemos demostrar que siq yr son otros dos números de este tipo, entoncesq=q yr=r.

Existencia deq yr. Let

S={abk:kZ and abk0}.

Si0S, entoncesb dividea, y podemos dejarq=a/b yr=0. Si0S, podemos usar el Principio de Ordenamiento Bien. Primero debemos demostrar que noS está vacío. Sia>0, entoncesab0S. Sia<0, entoncesab(2a)=a(12b)S. En cualquier casoS. Por el Principio Bien Ordenado,S debe tener un miembro más pequeño, digamosr=abq. Por lo tanto, Ahoraa=bq+r,r0. mostramos quer<b. Supongamos quer>b. Entonces

ab(q+1)=abqb=rb>0.

En este caso tendríamosab(q+1) en el setS. Pero entoncesab(q+1)<abq, lo que contradiría el hecho de quer=abq es el miembro más pequeño de SoS.rb. Since0S,rb y asír<b.

Singularidad deq yr. Supongamos que existen enterosr,r,q, yq tales que

a=bq+r,0r<banda=bq+r,0r<b.

Entoncesbq+r=bq+r. Supongamos querr. De la última ecuación que tenemosb(qq)=rr; por lo tanto,b debemos dividirrr y0rrr<b. Esto es posible sólo sirr=0. Por lo tanto,r=r yq=q.

Dejara yb ser enteros. Sib=ak para algún enterok, escribimosab. Un enterod se llama un divisor común dea yb ifda ydb. El mayor divisor común de enterosa yb es un entero positivod tal qued es un divisor común dea yb y sid es cualquier otro divisor común dea yb, luegodd. escribimosd=gcd(a,b); por ejemplo,gcd(24,36)=12 ygcd(120,102)=6. Decimos que dos enterosa y bson relativamente primos sigcd(a,b)=1.

Teorema2.10

Dejara yb ser enteros no nulos. Entonces existen enterosr ys tal que

gcd(a,b)=ar+bs.

Además, el mayor divisor común dea yb es único.

Prueba

Let

S={am+bn:m,nZ and am+bn>0}.

Claramente, el conjunto noS está vacío; de ahí que por el Principio de Ordenamiento Bien seS debe tener un miembro más pequeño, digamosd=ar+bs. Afirmamos qued=gcd(a,b). Escribea=dq+r donde0r<d. Sir>0, entonces

\ begin {align*} r'& = a - dq\\ & = a - (ar + bs) q\\ & = a - arq - bsq\\ & = a (1 - rq) + b (-sq)\ text {,}\ end {align*}

que está enS. Pero esto contradiría el hecho de qued es el miembro más pequeño deS. Por lo tanto,r=0 yd dividea. Un argumento similar muestra qued divideb. Por lo tanto,d es un divisor común dea yb.

Supongamos qued es otro divisor común deab, y y queremos demostrar quedd. si dejamosa=dh yb=dk, luego

d=ar+bs=dhr+dks=d(hr+ks).

Así qued hay que dividird. Por lo tanto,d debe ser el único mayor divisor común dea yb.

Corolario 2.11

Leta yb ser dos enteros que son relativamente primos. Entonces existen enterosr ys tal quear+bs=1.

El Algoritmo Euclidiana

Entre otras cosas, el Teorema 2.10 nos permite computar el mayor divisor común de dos enteros.

Ejemplo2.12

Vamos a calcular el mayor divisor común de945 y2415.

Solución

En primer lugar, observe que

\ begin {align*} 2415 & = 945\ cdot 2 + 525\\ 945 & = 525\ cdot 1 + 420\\ 525 & = 420\ cdot 1 + 105\\ 420 & = 105\ cdot 4 + 0\ texto {.} \ end {alinear*}

Revertiendo nuestros pasos,105420,105 divide divide525,105 divide945, y105 divide2415. Por lo tanto,105 divide ambos945 y2415. Sid fueran otro divisor común de945 y2415, entoncesd también tendría que dividir105. Por lo tanto,gcd(945,2415)=105.

Si trabajamos hacia atrás a través de la secuencia de ecuaciones anterior, también podemos obtener númerosr ys tal que945r+2415s=105. Observe que

\ begin {alinear*} 105 & = 525 + (-1)\ cdot 420\\ & = 525 + (-1)\ cdot [945 + (-1)\ cdot 525]\\ & = 2\ cdot 525 + (-1)\ cdot 945\ & = 2\ cdot [2415 + (-2)\ cdot 945] + (-1)\ cdot 945\ & = 2\ cdot 2415 + (-5)\ cdot 945\ texto {.} \ end {alinear*}

Entoncesr=5 ys=2. Observe quer y nos son únicos, ya quer=41 y tambiéns=16 funcionarían.

Para calculargcd(a,b)=d, estamos usando divisiones repetidas para obtener una secuencia decreciente de enteros positivos esr1>r2>>rn=d; decir,

\ begin {align*} b & = a q_1 + r_1\\ a & = r_1 q_2 + r_2\\ r_1 & = r_2 q_3 + r_3\\ &\ vdots\\ r_ {n - 2} & = r_ {n - 1} q_ {n} + r_ {n}\\ r_ {n - 1} & = r_n q_ {n + 1}\ texto {.} \ end {alinear*}

Para encontrarr ys tal quear+bs=d, iniciemos con esta última ecuación y sustituimos los resultados obtenidos de las ecuaciones anteriores:

\ begin {alinear*} d & = r_n\\ & = r_ {n - 2} - r_ {n - 1} q_n\\ & = r_ {n - 2} - q_n (r_ {n - 3} - q_ {n - 1} r_ {n - 2})\\ & = -q_n r_ {n - 3} + (1+ q_n q_ {n-1}) r_ {n - 2}\\ &\ vdots\\ & = ra + sb\ texto {.} \ end {alinear*}

El algoritmo que acabamos de usar para encontrar el mayor divisor comúnd de dos enterosa yb y para escribird como la combinación lineal dea yb se conoce como el algoritmo euclidiano.

Números primos

Dejarp ser un entero tal quep>1. Decimos quep es un número primo, o simplementep es primo, si los únicos números positivos que dividenp son1 yp en sí mismos. Se dicen>1 que un entero que no es primo es compuesto.

Lema2.13. Euclid

Dejara yb ser enteros yp ser un número primo. Sipab, entonces cualquierapa opb.

Prueba

Supongamos quep no dividea. Debemos demostrar quepb. ya quegcd(a,p)=1, existen enterosr ys tal quear+ps=1. Así

b=b(ar+ps)=(ab)r+p(bs).

Ya quep divide tanto comoab a sí mismo,p debe dividirb=(ab)r+p(bs).

Teorema2.14. Euclid

Existe un número infinito de primos.

Prueba

Vamos a probar este teorema por contradicción. Supongamos que sólo hay un número finito de primos,p1,p2,,pn. digamos LetP=p1p2pn+1. ThenP debe ser divisible por algunospi para1in. En este caso,pi debe dividirPp1p2pn=1, lo que es una contradicción. Por lo tanto, o bienP es primo o existe un número primo adicionalppi que divideP.

Teorema2.15. Fundamental Theorem of Arithmetic

Dejarn ser un entero tal quen>1. Entonces

n=p1p2pk,

dondep1,,pk son primos (no necesariamente distintos). Además, esta factorización es única; es decir, si

n=q1q2ql,

entoncesk=l y losqi 's son solo lospi' s reorganizados.

Prueba

Singularidad. Para mostrar singularidad utilizaremos la inducción enn. El teorema es ciertamente cierton=2 ya que en este cason es primo. Ahora supongamos que el resultado se mantiene para todos los enteros dem tal manera que1m<n, y

n=p1p2pk=q1q2ql,

dondep1p2pk yq1q2ql. Por Lema 2.13,p1qi para algunosi=1,,l yq1pj para algunosj=1,,k. Dado que todos lospi's yqi's son primos,p1=qi yq1=pj. Por lo tanto,p1=q1 desdep1pj=q1qi=p1. Por la hipótesis de inducción,

n=p2pk=q2ql

tiene una factorización única. Por lo tanto,k=l yqi=pi parai=1,,k.

Existencia. Para mostrar la existencia, supongamos que hay algún entero que no se puede escribir como producto de primos. SSea el conjunto de todos esos números. Por el Principio de Bien Ordenado,S tiene un número menor, digamosa. Si los únicos factores positivos dea sona y1, luegoa es primo, lo cual es una contradicción. De ahí,a=a1a2 dónde1<a1<a y1<a2<a. Nia1S nia2S, desde quea es el elemento más pequeño enS. So

\ begin {align*} a_1 & = p_1\ cdots p_r\\ a_2 & = q_1\ cdots q_s\ texto {.} \ end {alinear*}

Por lo tanto,

a=a1a2=p1prq1qs.

EntoncesaS,, que es una contradicción.

Nota Histórica

Los números primos fueron estudiados por primera vez por los antiguos griegos. Dos resultados importantes de la antigüedad son la prueba de Euclides de que existe un número infinito de primos y el Tamiz de Eratóstenes, un método para calcular todos los números primos menos de un entero positivo fijon. Un problema en la teoría de números es encontrar una funciónf tal quef(n) sea primo por cada enteron. Pierre Fermat (1601? —1665) conjeturó que22n+1 era primo para todosn, pero más tarde fue mostrado por Leonhard Euler (1707—1783) que

225+1=4,294,967,297

es un número compuesto. Una de las muchas conjeturas no comprobadas sobre los números primos es la Conjetura de Goldbach. En una carta a Euler en 1742, Christian Goldbach declaró la conjetura de que cada entero par con la excepción de2 parecía ser la suma de dos primos:4=2+2,6=3+3,8=3+5,. Aunque la conjetura ha sido verificada para los números arriba a través de4×1018, ella aún no ha sido probado en general. Dado que los números primos juegan un papel importante en la criptografía de clave pública, actualmente existe un gran interés en determinar si un número grande es primo o no.


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