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# 3.5: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

## 1

Encuentra todos$$x \in {\mathbb Z}$$ satisfaciendo cada una de las siguientes ecuaciones.

1. $$\displaystyle 3x \equiv 2 \pmod{7}$$
2. $$\displaystyle 5x + 1 \equiv 13 \pmod{23}$$
3. $$\displaystyle 5x + 1 \equiv 13 \pmod{26}$$
4. $$\displaystyle 9x \equiv 3 \pmod{5}$$
5. $$\displaystyle 5x \equiv 1 \pmod{6}$$
6. $$\displaystyle 3x \equiv 1 \pmod{6}$$

## 2

¿Cuáles de las siguientes tablas de multiplicación definidas en el conjunto$$G = \{ a, b, c, d \}$$ forman un grupo? Apoya su respuesta en cada caso.

1. $\begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & a & c & d & a \\ b & b & b & c & d \\ c & c & d & a & b \\ d & d & a & b & c \end{array} \nonumber$
2. $\begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & a & d & c \\ c & c & d & a & b \\ d & d & c & b & a \end{array} \nonumber$
3. $\begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & c & d & a \\ c & c & d & a & b \\ d & d & a & b & c \end{array} \nonumber$
4. $\begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & a & c & d \\ c & c & b & a & d \\ d & d & d & b & c \end{array} \nonumber$

## 3

Escribe tablas Cayley para grupos formados por las simetrías de un rectángulo y para$$({\mathbb Z}_4, +)\text{.}$$ ¿Cuántos elementos hay en cada grupo? ¿Los grupos son iguales? ¿Por qué o por qué no?

## 4

Describir las simetrías de un rombo y demostrar que el conjunto de simetrías forma un grupo. Regala mesas Cayley tanto para las simetrías de un rectángulo como para las simetrías de un rombo. ¿Son iguales las simetrías de un rectángulo y las de un rombo?

## 5

Describir las simetrías de un cuadrado y demostrar que el conjunto de simetrías es un grupo. Regala una mesa Cayley para las simetrías. ¿De cuántas maneras se pueden permutar los vértices de un cuadrado? ¿Cada permutación es necesariamente una simetría del cuadrado? El grupo de simetría del cuadrado se denota por$$D_4\text{.}$$

## 6

Dar una tabla de multiplicar para el grupo$$U(12)\text{.}$$

## 7

Dejar$$S = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}$$ y definir una operación binaria on$$S$$ by$$a \ast b = a + b + ab\text{.}$$ Prove que$$(S, \ast)$$ es un grupo abeliano.

## 8

Dar un ejemplo de dos elementos$$A$$ y$$B$$ en$$GL_2({\mathbb R})$$ con$$AB \neq BA\text{.}$$

## 9

Demostrar que el producto de dos matrices en$$SL_2({\mathbb R})$$ tiene determinante una.

## 10

Demostrar que el conjunto de matrices de la forma

$\begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \nonumber$

es un grupo bajo multiplicación matricial. Este grupo, conocido como el Grou p de Heisenberg, es importante en la física cuántica. La multiplicación matricial en el grupo Heisenberg se define por

$\begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x' & y' \\ 0 & 1 & z' \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x+x' & y+y'+xz' \\ 0 & 1 & z+z' \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\text{.} \nonumber$

## 11

Demostrar que$$\det(AB) = \det(A) \det(B)$$ en$$GL_2({\mathbb R})\text{.}$$ Usar este resultado para mostrar que la operación binaria en el grupo$$GL_2({\mathbb R})$$ está cerrada; es decir, si$$A$$ y$$B$$ están en$$GL_2({\mathbb R})\text{,}$$ entonces$$AB \in GL_2({\mathbb R})\text{.}$$

## 12

Dejar$${\mathbb Z}_2^n = \{ (a_1, a_2, \ldots, a_n) : a_i \in {\mathbb Z}_2 \}\text{.}$$ Definir una operación binaria en$${\mathbb Z}_2^n$$ por

$(a_1, a_2, \ldots, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n)\text{.} \nonumber$

Demostrar que$${\mathbb Z}_2^n$$ es un grupo bajo esta operación. Este grupo es importante en la teoría de la codificación algebraica.

## 13

Demostrar que$${\mathbb R}^{\ast} = {\mathbb R} \setminus \{0 \}$$ es un grupo bajo la operación de multiplicación.

## 14

Dados los grupos$${\mathbb R}^{\ast}$$ y$${\mathbb Z}\text{,}$$ vamos$$G = {\mathbb R}^{\ast} \times {\mathbb Z}\text{.}$$ Definir una operación binaria$$\circ$$ on$$G$$ by$$(a,m) \circ (b,n) = (ab, m + n)\text{.}$$ Show que$$G$$ es un grupo bajo esta operación.

## 15

Demostrar o desmentir que cada grupo que contenga seis elementos es abeliano.

## 16

Dar un ejemplo específico de algunos grupos$$G$$ y elementos$$g, h \in G$$ donde$$(gh)^n \neq g^nh^n\text{.}$$

## 17

Dé un ejemplo de tres grupos diferentes con ocho elementos. ¿Por qué los grupos son diferentes?

## 18

Mostrar que hay$$n!$$ permutaciones de un conjunto que contiene$$n$$ elementos.

## 19

Demostrar que

$0 + a \equiv a + 0 \equiv a \pmod{ n } \nonumber$

para todos$$a \in {\mathbb Z}_n\text{.}$$

## 20

Demostrar que existe una identidad multiplicativa para los enteros módulo$$n\text{:}$$

$a \cdot 1 \equiv a \pmod{n}\text{.} \nonumber$

## 21

Para cada uno$$a \in {\mathbb Z}_n$$ encuentra un elemento$$b \in {\mathbb Z}_n$$ tal que

$a + b \equiv b + a \equiv 0 \pmod{ n}\text{.} \nonumber$

## 22

Demostrar que el mod de suma y multiplicación$$n$$ son operaciones bien definidas. Es decir, mostrar que las operaciones no dependen de la elección del representante de las clases de equivalencia mod$$n\text{.}$$

## 23

Mostrar que el mod de suma y multiplicación$$n$$ son operaciones asociativas.

## 24

Mostrar que la multiplicación distribuye sobre el módulo de suma$$n\text{:}$$

$a(b + c) \equiv ab + ac \pmod{n}\text{.} \nonumber$

## 25

Dejar$$a$$ y$$b$$ ser elementos en un grupo$$G\text{.}$$ Demostrar que$$ab^na^{-1} = (aba^{-1})^n$$ para$$n \in \mathbb Z\text{.}$$

## 26

Dejar$$U(n)$$ ser el grupo de unidades en$${\mathbb Z}_n\text{.}$$ Si$$n \gt 2\text{,}$$ probar que hay un elemento$$k \in U(n)$$ tal que$$k^2 = 1$$ y$$k \neq 1\text{.}$$

## 27

Demostrar que la inversa de$$g _1 g_2 \cdots g_n$$ es$$g_n^{-1} g_{n-1}^{-1} \cdots g_1^{-1}\text{.}$$

## 28

Demostrar el resto de la Proposición 3.21: si$$G$$ es un grupo y$$a, b \in G\text{,}$$ luego la ecuación$$xa = b$$ tiene una solución única en$$G\text{.}$$

## 29

Demostrar Teorema 3.23.

## 30

Demostrar las leyes de cancelación derecha e izquierda para un grupo es$$G\text{;}$$ decir, demostrar que en el grupo$$G\text{,}$$$$ba = ca$$ implica$$b = c$$ e$$ab = ac$$ implica$$b = c$$ para elementos$$a, b, c \in G\text{.}$$

## 31

Demostrar que si$$a^2 = e$$ por todos$$a$$ los elementos de un grupo$$G\text{,}$$ entonces$$G$$ debe ser abeliano.

## 32

Demostrar que si$$G$$ es un grupo finito de orden par, entonces hay$$a \in G$$ tal que no$$a$$ es la identidad y$$a^2 = e\text{.}$$

## 33

Seamos$$G$$ un grupo y supongamos que$$(ab)^2 = a^2b^2$$ para todos$$a$$ y$$b$$ en$$G\text{.}$$ Demostrar que$$G$$ es un grupo abeliano.

## 34

Encuentra todos los subgrupos de$${\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3\text{.}$$ Utilice esta información para mostrar que no$${\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3$$ es el mismo grupo que$${\mathbb Z}_9\text{.}$$ (Ver Ejemplo 3.28 para una breve descripción del producto de grupos.)

## 35

Encuentra todos los subgrupos del grupo de simetría de un triángulo equilátero.

## 37

Vamos$$H = \{2^k : k \in {\mathbb Z} \}\text{.}$$ Mostrar que$$H$$ es un subgrupo de$${\mathbb Q}^*\text{.}$$

## 38

Let$$n = 0, 1, 2, \ldots$$ and$$n {\mathbb Z} = \{ nk : k \in {\mathbb Z} \}\text{.}$$ Prove que$$n {\mathbb Z}$$ es un subgrupo de$${\mathbb Z}\text{.}$$ Mostrar que estos subgrupos son los únicos subgrupos de$$\mathbb{Z}\text{.}$$

## 39

Let$${\mathbb T} = \{ z \in {\mathbb C}^* : |z| =1 \}\text{.}$$ Prove que$${\mathbb T}$$ es un subgrupo de$${\mathbb C}^*\text{.}$$

## 40

Dejar$$G$$ constar de las$$2 \times 2$$ matrices de la forma

$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\text{,} \nonumber$

donde$$\theta \in {\mathbb R}\text{.}$$ Demostrar que$$G$$ es un subgrupo de$$SL_2({\mathbb R})\text{.}$$

## 41

Demostrar que

$G = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \text{ and } a \text{ and } b \text{ are not both zero} \} \nonumber$

es un subgrupo de$${\mathbb R}^{\ast}$$ bajo la operación grupal de multiplicación.

## 42

Dejar$$G$$ ser el grupo de$$2 \times 2$$ matrices en adición y

$H = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} : a + d = 0 \right\}\text{.} \nonumber$

Demostrar que$$H$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$

## 43

Demostrar o desacreditar:$$SL_2( {\mathbb Z} )\text{,}$$ el conjunto de$$2 \times 2$$ matrices con entradas enteras y determinante uno, es un subgrupo de$$SL_2( {\mathbb R} )\text{.}$$

## 44

Enumerar los subgrupos del grupo de cuaterniones,$$Q_8\text{.}$$

## 45

Demostrar que la intersección de dos subgrupos de un grupo$$G$$ es también un subgrupo de$$G\text{.}$$

## 46

Demostrar o desacreditar: Si$$H$$ y$$K$$ son subgrupos de un grupo$$G\text{,}$$ entonces$$H \cup K$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$

## 47

Demostrar o desmentir: Si$$H$$ y$$K$$ son subgrupos de un grupo$$G\text{,}$$ entonces$$H K = \{hk : h \in H \text{ and } k \in K \}$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$ ¿Y si$$G$$ es abeliano?

## 48

Seamos$$G$$ un grupo y$$g \in G\text{.}$$ Demuéstralo

$Z(G) = \{ x \in G : gx = xg \text{ for all } g \in G \} \nonumber$

es un subgrupo de$$G\text{.}$$ Este subgrupo se llama el centro de$$G\text{.}$$

## 49

Dejar$$a$$ y$$b$$ ser elementos de un grupo$$G\text{.}$$ Si$$a^4 b = ba$$ y$$a^3 = e\text{,}$$ probar que$$ab = ba\text{.}$$

## 50

Dar un ejemplo de un grupo infinito en el que cada subgrupo no trivial es infinito.

## 51

Si$$xy = x^{-1} y^{-1}$$ por todos$$x$$ y$$y$$ en$$G\text{,}$$ probar eso$$G$$ debe ser abeliano.

## 52

Demostrar o desmentir: Todo subgrupo propio de un grupo no abeliano es no abeliano.

## 53

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de$$G$$ y

$C(H) = \{ g \in G : gh = hg \text{ for all } h \in H \}\text{.} \nonumber$

Prove$$C(H)$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$ Este subgrupo se llama el centralizador de$$H$$ in$$G\text{.}$$

## 54

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de$$G\text{.}$$ If$$g \in G\text{,}$$ show que también$$gHg^{-1} = \{ghg^{-1} : h\in H\}$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$

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