9.2: Productos Directos

Dados dos grupos\(G\) y\(H\text{,}\) es posible construir un nuevo grupo a partir del producto cartesiano de\(G\) y\(H\text{,}\)\(G \times H\text{.}\) Por el contrario, dado un grupo grande, a veces es posible descomponer el grupo; es decir, un grupo es a veces isomórfico al producto directo de dos más pequeños grupos. En lugar de estudiar un grupo grande, a menudo\(G\text{,}\) es más fácil estudiar los grupos componentes de\(G\text{.}\)

Productos Directos Externos

Si\((G,\cdot)\) y\((H, \circ)\) son grupos, entonces podemos convertir el producto cartesiano de\(G\) y\(H\) en un nuevo grupo. Como conjunto, nuestro grupo es solo los pares ordenados\((g, h) \in G \times H\) donde\(g \in G\) y\(h \in H\text{.}\) Podemos definir una operación binaria on\(G \times H\) by

\[ (g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \circ h_2); \nonumber \]

es decir, simplemente multiplicamos elementos en la primera coordenada como lo hacemos en\(G\) y elementos en la segunda coordenada como lo hacemos en\(H\text{.}\) Hemos especificado las operaciones particulares\(\cdot\) y\(\circ\) en cada grupo aquí en aras de la claridad; usualmente solo escribimos\((g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\text{.}\)

Proposición\(9.13\)

Dejar\(G\) y\(H\) ser grupos. El conjunto\(G \times H\) es un grupo bajo la operación\((g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\) donde\(g_1, g_2 \in G\) y\(h_1, h_2 \in H\text{.}\)

Prueba

Claramente la operación binaria definida anteriormente está cerrada. Si\(e_G\) y\(e_H\) son las identidades de los grupos\(G\) y\(H\) respectivamente, entonces\((e_G, e_H)\) es la identidad de\(G \times H\text{.}\) La inversa de\((g, h) \in G \times H\) es\((g^{-1}, h^{-1})\text{.}\) El hecho de que la operación sea asociativa se desprende directamente de la asociatividad de\(G\) y\(H\text{.}\)

Ejemplo\(9.14\)

\({\mathbb R}\)Sea el grupo de números reales en suma.

Solución

El producto cartesiano de\({\mathbb R}\) consigo mismo,\({\mathbb R} \times {\mathbb R} = {\mathbb R}^2\text{,}\) es también un grupo, en el que la operación grupal es solo suma en cada coordenada; es decir,\((a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\text{.}\) La identidad es\((0,0)\) y la inversa de\((a, b)\) es\((-a, -b)\text{.}\)

Ejemplo\(9.15\)

Considerar

\[ {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 = \{ (0, 0), (0, 1), (1, 0),(1, 1) \}\text{.} \nonumber \]

Solución

Aunque\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) y\({\mathbb Z}_4\) ambos contienen cuatro elementos, no son isomórficos. Cada elemento\((a,b)\) en\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) otro que no sea la identidad tiene orden\(2\text{,}\) ya que\((a,b) + (a,b) = (0,0)\text{;}\) sin embargo,\({\mathbb Z}_4\) es cíclico.

Al grupo\(G \times H\) se le llama el producto directo externo de\(G\) y\(H\text{.}\) Observe que no hay nada especial en el hecho de que solo hemos utilizado dos grupos para construir un nuevo grupo. El producto directo

\[ \prod_{i = 1}^n G_i = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n \nonumber \]

de los grupos\(G_1, G_2, \ldots, G_n\) se define exactamente de la misma manera. Si\(G = G_1 = G_2 = \cdots = G_n\text{,}\) escribimos a menudo\(G^n\) en lugar de\(G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\text{.}\)

Ejemplo\(9.16\)

El grupo\({\mathbb Z}_2^n\text{,}\) considerado como un conjunto, es solo el conjunto de todas las\(n\) -tuplas binarias. La operación de grupo es la “exclusiva o” de dos\(n\) -tuplas binarias.

Solución

Por ejemplo,

\[ (01011101) + (01001011) = (00010110)\text{.} \nonumber \]

Este grupo es importante en la teoría de la codificación, en la criptografía y en muchas áreas de la informática.

Teorema\(9.17\)

Let\((g, h) \in G \times H\text{.}\) If\(g\) y\(h\) tienen órdenes finitas\(r\) y\(s\) respectivamente, entonces el orden de\((g, h)\) in\(G \times H\) es el múltiplo menos común de \(r\)y\(s\text{.}\)

Prueba

Supongamos que\(m\) es el mínimo común múltiplo de\(r\)\(s\) y y dejar\(n = |(g,h)|\text{.}\) Entonces

\ begin {reunir*} (g, h) ^m = (g^m, h^m) = (e_G, e_H)\\ (g^n, h^n) = (g, h) ^n = (e_G, e_H)\ text {.} \ end {reunir*}

De ahí,\(n\) debe dividir\(m\text{,}\) y\(n \leq m\text{.}\) Sin embargo, por la segunda ecuación, ambos\(r\) y\(s\) deben dividir por\(n\text{;}\) lo tanto,\(n\) es un múltiplo común de\(r\) y\(s\text{.}\) Dado que\(m\) es el múltiplo menos común de\(r\) y \(s\text{,}\)\(m \leq n\text{.}\)En consecuencia,\(m\) debe ser igual a\(n\text{.}\)

Corolario\(9.18\)

Let\((g_1, \ldots, g_n) \in \prod G_i\text{.}\) Si\(g_i\) tiene orden finito\(r_i\) en\(G_i\text{,}\) entonces el orden de\((g_1, \ldots, g_n)\) in\(\prod G_i\) es el mínimo común múltiplo de\ (r_1,\ ldots, r_n\ text { . }\

Ejemplo\(9.19\)

Vamos\((8, 56) \in {\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}\)

Solución

Ya que\(\gcd(8,12) = 4\text{,}\) el orden de\(8\) está\(12/4 = 3\) en\({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Similarmente, el orden de\(56\) in\({\mathbb Z}_{60}\) es\(15\text{.}\) El múltiplo menos común de\(3\) y\(15\) es\(15\text{;}\) por lo tanto,\((8, 56)\) tiene orden\(15\) en\({\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}\)

Ejemplo\(9.20\)

El grupo\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\) está formado por los pares

\ begin {alinear*} & (0,0), & (0, 1), & (0, 2), & & (1,0), & & (1, 1), & (1, 2)\ text {.} \ end {align*}

Solución

En este caso, a diferencia del de\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) y\({\mathbb Z}_4\text{,}\) es cierto que Solo\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \cong {\mathbb Z}_6\text{.}\) necesitamos mostrar que\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\) es cíclico. Es fácil ver que\((1,1)\) es un generador para\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\text{.}\)

El siguiente teorema nos dice exactamente cuándo el producto directo de dos grupos cíclicos es cíclico.

Teorema\(9.21\)

El grupo\({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) es isomórfico a\({\mathbb Z}_{mn}\) si y solo si\(\gcd(m,n)=1\text{.}\)

Prueba

Primero mostraremos que si\({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n \cong {\mathbb Z}_{mn}\text{,}\) entonces\(\gcd(m, n) = 1\text{.}\) probaremos lo contrapositivo; es decir, mostraremos que si\(\gcd(m, n) = d \gt 1\text{,}\) entonces\({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) no puede ser cíclico. Observe que\(mn/d\) es divisible por ambos\(m\) y por\(n\text{;}\) lo tanto, para cualquier elemento\((a,b) \in {\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{,}\)

\[ \underbrace{(a,b) + (a,b)+ \cdots + (a,b)}_{mn/d \; \text{times}} = (0, 0)\text{.} \nonumber \]

Por lo tanto, no\((a, b)\) se puede generar todos\({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{.}\)

Lo contrario sigue directamente del Teorema 9.17 ya que\(\lcm(m,n) = mn\) si y solo si\(\gcd(m,n)=1\text{.}\)

Corolario\(9.22\)

Dejar\(n_1, \ldots, n_k\) ser enteros positivos. Entonces

\[ \prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k} \nonumber \]

si y solo si\(\gcd( n_i, n_j) =1\) para\ (i\ neq j\ text { . }\

Corolario\(9.23\)

Si

\[ m = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}\text{,} \nonumber \]

donde los\(p_i\) s son primos distintos, entonces

\[ {\mathbb Z}_m \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}\text{.} \nonumber \]

Prueba

Dado que el mayor divisor común de\(p_i^{e_i}\) y\(p_j^{e_j}\) es 1 para\(i \neq j\text{,}\) la prueba se desprende del Corolario\(9.22\).

En el Capítulo 13, probaremos que todos los grupos abelianos finitos son isomórficos para dirigir productos de la forma

\[ {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}} \nonumber \]

donde\(p_1, \ldots, p_k\) son primos (no necesariamente distintos).

Productos Directos Internos

El producto directo externo de dos grupos construye un grupo grande de dos grupos más pequeños. Nos gustaría poder revertir este proceso y convenientemente descomponer un grupo en sus componentes directos del producto; es decir, nos gustaría poder decir cuando un grupo es isomórfico al producto directo de dos de sus subgrupos.

Dejar\(G\) ser un grupo con subgrupos\(H\) y\(K\) satisfaciendo las siguientes condiciones.

• \(G = HK = \{ hk : h \in H, k \in K \}\text{;}\)
• \(H \cap K = \{ e \}\text{;}\)
• \(hk = kh\)para todos\(k \in K\) y\(h \in H\text{.}\)

Entonces\(G\) es el producto directo interno de\(H\) y\(K\text{.}\)

Ejemplo\(9.24\)

El grupo\(U(8)\) es el producto directo interno

Solución

de

\[ H = \{1, 3 \} \quad \text{and} \quad K = \{1, 5 \}\text{.} \nonumber \]

Ejemplo\(9.25\)

El grupo diedro\(D_6\) es un producto directo interno de sus dos subgrupos

\[ H = \{\identity, r^3 \} \quad \text{and} \quad K = \{\identity, r^2, r^4, s, r^2s, r^4 s \}\text{.} \nonumber \]

Solución

Se puede demostrar fácilmente que, en\(K \cong S_3\text{;}\) consecuencia,\(D_6 \cong {\mathbb Z}_2 \times S_3\text{.}\)

Ejemplo\(9.26\)

No todos los grupos pueden ser escritos como producto directo interno de dos de sus propios subgrupos. Si el grupo\(S_3\) fuera un producto directo interno de sus propios subgrupos\(H\) y\(K\text{,}\) luego uno de los subgrupos, digamos\(H\text{,}\) tendría que tener orden\(3\text{.}\)

Solución

En este caso\(H\) es el subgrupo\(\{ (1), (123), (132) \}\text{.}\) El subgrupo\(K\) debe tener orden\(2\text{,}\) pero no importa qué subgrupo elijamos para\(K\text{,}\) la condición que nunca se\(hk = kh\) cumplirá para\(h \in H\) y\(k \in K\text{.}\)

Teorema\(9.27\)

Dejar\(G\) ser el producto directo interno de los subgrupos\(H\) y\(K\text{.}\) Entonces\(G\) es isomórfico a\(H \times K\text{.}\)

Prueba

Dado que\(G\) es un producto directo interno, podemos escribir cualquier elemento\(g \in G\) como\(g =hk\) para algunos\(h \in H\) y algunos\(k \in K\text{.}\) Definir un mapa\(\phi : G \rightarrow H \times K\) por\(\phi(g) = (h,k)\text{.}\)

El primer problema que debemos enfrentar es mostrar que\(\phi\) es un mapa bien definido; es decir, debemos mostrarlo\(h\) y\(k\) estar determinados de manera única por\(g\text{.}\) Supongamos que\(g = hk=h'k'\text{.}\) Entonces\(h^{-1} h'= k (k')^{-1}\) está en ambos\(H\) y\(K\text{,}\) así debe ser la identidad. Por lo tanto,\(h = h'\) y lo\(k = k'\text{,}\) que demuestra que\(\phi\) es, efectivamente, bien definido.

Para demostrar que\(\phi\) conserva la operación del grupo, dejar\(g_1 = h_1 k_1\)\(g_2 = h_2 k_2\) y observar que

\ begin {alinear*}\ phi (g_1 g_2) & =\ phi (h_1 k_1 h_2 k_2)\\ & =\ phi (h_1 h_2 k_1 k_2)\\ & = (h_1 h_2, k_1 k_2)\\ & = (h_1, k_1) (h_2, k_2)\\ & =\ phi (_1)\ phi (g_2)\ texto {.} \ end {align*}

Dejaremos la prueba de que\(\phi\) es uno a uno y sobre como ejercicio.

Ejemplo\(9.28\)

El grupo\({\mathbb Z}_6\) es un producto directo interno isomórfico

Solución

a\(\{ 0, 2, 4\} \times \{ 0, 3 \}\text{.}\)

Podemos extender la definición de un producto directo interno de\(G\) a una colección de subgrupos\(H_1, H_2, \ldots, H_n\) de\(G\text{,}\) requiriendo que

• \(G = H_1 H_2 \cdots H_n = \{ h_1 h_2 \cdots h_n : h_i \in H_i \}\text{;}\)
• \(H_i \cap \langle \cup_{j \neq i} H_j \rangle = \{ e \}\text{;}\)
• \(h_i h_j = h_j h_i\)para todos\(h_i \in H_i\) y\(h_j \in H_j\text{.}\)

Dejaremos como ejercicio la prueba del siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(G\) ser el producto directo interno de los subgrupos\(H_i\text{,}\) donde\(i = 1, 2, \ldots, n\text{.}\) Entonces\(G\) es isomórfico a\(\prod_i H_i\text{.}\)