9.6: Ejercicios de salvia

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Este ejercicio trata de poner en práctica el Teorema de Cayley. Primero, leer y estudiar el teorema. Darse cuenta de que este resultado por sí mismo es primordialmente de interés teórico, pero con alguna teoría más podríamos adentrarnos en algunos aspectos más sutilmente de esto (un tema conocido como “teoría de la representación”).

Deberías crear estas representaciones principalmente con trabajo de papel y papel, usando Sage como una calculadora y asistente elegantes. No es necesario incluir todos estos cálculos en su hoja de trabajo. Construye las representaciones grupales solicitadas y luego incluye suficientes verificaciones en Sage para demostrar que tu representación representa correctamente al grupo.

Comienza por construir una representación de permutación de los cuaterniones,\(Q\text{.}\) Hay ocho elementos en\(Q\) (\(\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\)), por lo que estarás construyendo un subgrupo de\(S_8\text{.}\) Para cada\(g\in Q\) forma la función\(T_g\text{,}\) definida como\(T_g(x)=xg\text{.}\) Observe que esta definición es el “reverso” de esa dado en el texto. Esto se debe a que Sage compone permutaciones de izquierda a derecha, mientras que tu texto compone de derecha a izquierda. Para crear las permutaciones\(T_g\text{,}\) la versión de dos líneas de las permutaciones de escritura podría ser muy útil como paso intermedio. Probablemente querrás “codificar” cada elemento de\(Q\) con un entero en\(\{1,2,\dots,8\}\text{.}\)

Una de esas representaciones se incluye en Sage como QuaternionGroup () — tu respuesta debería ser muy similar, pero quizás no idéntica. No envíe su respuesta para una representación de los cuaterniones, pero le sugiero encarecidamente trabajar esta representación grupal en particular hasta que esté seguro de que tiene razón; los problemas a continuación podrían ser muy difíciles de lo contrario. Puedes usar el método .is_isomorphic () de Sage para verificar si tus representaciones son correctas. No obstante, no utilices esto como sustituto de la parte de cada pregunta que te pida investigar propiedades de tu representación hacia este fin.

1. Construir la representación de permutación\({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\) descrita en el Teorema de Cayley. (Recuerda que este grupo es aditivo, mientras que el teorema usa notación multiplicativa). Incluya la representación de cada uno de los\(8\) elementos en su trabajo enviado. Después construye el grupo de permutación como un subgrupo de un grupo simétrico completo que es generado por exactamente dos de los ocho elementos que ya has construido. Sugerencia: qué dos elementos de\({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\) podría usar para generar todos los comandos\({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_4\text{?}\) Use en Sage para investigar varias propiedades de su grupo de permutación, además de solo .list (), para proporcionar evidencia de que su subgrupo es correcto, incluyéndolas en su hoja de trabajo enviada.
2. Construye una representación de permutación\(U(24)\text{,}\) del grupo de unidades mod 24. Nuevamente, enumere una representación de cada elemento en su trabajo enviado. Después construya el grupo como un subgrupo de un grupo simétrico completo creado con tres generadores. Para determinar estos tres generadores, es probable que necesite entender\(U(24)\) como un producto directo interno. Usa comandos en Sage para investigar varias propiedades de tu grupo, además de solo .list (), para proporcionar evidencia de que tu subgrupo es correcto; inclúyelas en tu hoja de trabajo enviada.

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Considera las simetrías de un 10-gon,\(D_{10}\) en tu texto, DihedralGroup (10) en Sage. Presume que los vértices del 10-gon han sido etiquetados\(1\) a través\(10\) en orden. Identificar la permutación que es una rotación de\(180\) grados y utilizarla para generar un subgrupo\(R\) de orden\(2\text{.}\) Luego identificar la permutación que es una rotación de\(72\) grados, y cualquiera de las diez permutaciones que son un reflejo del\(10\) -gon alrededor de una línea. Utilizar estas dos últimas permutaciones para generar un subgrupo\(S\) de orden\(10\text{.}\) Use Sage para verificar que el grupo diedro completo es el producto directo interno de los subgrupos\(R\) y\(S\) comprobando las condiciones en la definición de un producto directo interno.

Tenemos un teorema que dice que si un grupo es un producto directo interno, entonces es isomórfico a algún producto directo externo. Entiende que esto no significa que puedas usar lo contrario en este problema. Es decir, establecer un isomorfismo de\(G\) con un producto directo externo no prueba que\(G\) sea un producto directo interno.