9.5: Salvia

Sage tiene un soporte limitado para crear realmente isomorfismos, aunque es posible. Sin embargo, existe un excelente soporte para determinar si dos grupos de permutación son isomórficos. Esto nos permitirá comenzar un pequeño proyecto para ubicar a todos los grupos de orden menos que\(16\) en los grupos de permutación de Sage.

Pruebas de isomorfismo

Si G y H son dos grupos de permutación, entonces el comando G.is_isomorphic (H) devolverá Verdadero o Falso ya que los dos grupos son, o no, isomórficos. Dado que “isomorpic to” es una relación de equivalencia por Teorema\(9.10\), no importa qué grupo juega el papel de G y cuál desempeña el papel de H.

Entonces tenemos algunos ejemplos más con los que trabajar, presentemos el comando Sage que crea un producto directo externo. Si G y H son dos grupos de permutación, entonces el comando direct_product_permgroups ([G, H]) devolverá el producto directo externo como un nuevo grupo de permutación. Observe que esta es una función (no un método) y la entrada es una lista. En lugar de simplemente combinar dos grupos en la lista, se puede suministrar cualquier número de grupos. Ilustramos pruebas de isomorfismo y productos directos en el contexto del Teorema\(9.21\), que es una equivalencia, así nos dice exactamente cuándo tenemos grupos isomórficos. Utilizamos grupos de permutación cíclica como stand-ins para\({\mathbb Z}_n\) por teorema\(9.8\).

Primero, dos grupos isomórficos.

Ahora, dos grupos no isomórficos.

Observe cómo el cálculo simple de un divisor más común predice el cómputo increíblemente complicado de determinar si dos grupos son isomórficos. Esta es una bonita ilustración del poder de las matemáticas, reemplazando un problema difícil (isomorfismo grupal) por uno simple (factorización y divisibilidad de enteros). Construyamos un producto más directo de grupos cíclicos, pero con tres grupos, cada uno con órdenes que son pares relativamente primos.

Si intentas lo siguiente con parámetros más grandes es posible que obtengas un error (database_gap).

Clasificación de grupos finitos

Una vez que entendemos los grupos isomórficos como “iguales”, o “fundamentalmente no diferentes”, o “estructuralmente idénticos”, entonces es natural preguntarse cuántos grupos finitos “realmente diferentes” hay. El corolario\(9.9\) da una respuesta parcial: para cada primo solo hay un grupo finito, con\({\mathbb Z}_p\) como manifestación concreta.

Embárquemos en una búsqueda para encontrar a todos los grupos de orden menos que\(16\) en Sage como grupos de permutación. Para los pedidos prime\(1,2,3,5,7,11\) y\(13\) sabemos que realmente hay un solo grupo cada uno, y podemos realizarlos todos:

Entonces ahora nuestro caso desconocido más pequeño es el orden\(4\text{.}\) Sage conoce al menos tres de esos grupos, y podemos usar Sage para verificar si algún par es isomórfico. Observe que dado que “isomórfico a” es una relación de equivalencia, y de ahí una relación transitiva, las dos pruebas a continuación son suficientes.

Entonces tenemos al menos dos grupos diferentes:\({\mathbb Z}_4\) y\({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_2\text{,}\) con este último también conocido como el grupo Klein 4. Sage no podrá decirnos si tenemos una lista completa —esto siempre requerirá resultados teóricos como Teorema\(9.10\). En breve tendremos un resultado más general que maneja el caso del orden\(4\text{,}\) pero ahora mismo, un cuidadoso análisis (a mano) de las posibilidades para la tabla Cayley de un grupo de orden\(4\) debería llevarte a las dos posibilidades anteriores como únicas posibilidades. Intenta deducir cómo debería ser la tabla Cayley de un\(4\) grupo de pedidos, ya que conoces elementos de identidad, inversos y cancelación.

Hemos visto al menos dos grupos de orden\(6\) (el siguiente en nuestra lista de órdenes no prime). Uno es abeliano y otro no, así que no necesitamos que Sage nos diga que son estructuralmente diferentes. Pero hagámoslo de todos modos.

¿Eso es todo? Hay\({\mathbb Z}_3\times{\mathbb Z}_2\text{,}\) pero eso es justo\({\mathbb Z}_6\) desde entonces\(2\) y\(3\) son relativamente primos. El grupo diedro,\(D_3\text{,}\) todas las simetrías de un triángulo, es solo\(S_3\text{,}\) el grupo simétrico sobre\(3\) símbolos.

El ejercicio\(9.4.55\) de esta sección clasifica todos los grupos de orden\(2p\text{,}\) donde\(p\) es un primo. Tal grupo es un grupo cíclico o diedro. Entonces los dos grupos anteriores,\({\mathbb Z}_6\) y\(D_3\text{,}\) son la lista completa de grupos de orden\(6\text{.}\)

Por este resultado general, además de ordenar también\(6\text{,}\) conocemos las listas completas de grupos de órdenes\(10\) y\(14\text{.}\) Para Ser Continuado.

Productos Directos Internos

Un producto directo interno es una declaración sobre subgrupos de un solo grupo, junto con un teorema que los vincula a un producto directo externo. Trabajaremos aquí un ejemplo que ilustrará la naturaleza de un producto directo interno.

Dado un entero\(n\text{,}\) el conjunto de enteros positivos menores que\(n\text{,}\) y relativamente primos para formar\(n\) un grupo bajo multiplicación mod\(n\text{.}\) Trabajaremos en el conjunto Enteros (n) donde podremos sumar y multiplicar, pero queremos quedarnos estrictamente con la multiplicación solamente.

Primero construimos el propio subgrupo. Observe cómo debemos convertir x en un entero (un elemento de ZZ) para que el cálculo del divisor más común funcione correctamente.

Entonces tenemos un grupo de orden\(12\text{.}\) Vamos a tratar de encontrar un subgrupo de orden\(6\) y un subgrupo de orden\(2\) para formar el producto directo interno, y vamos a restringir nuestra búsqueda inicialmente a subgrupos cíclicos de orden\(6\text{.}\) Sage tiene un método que dará el orden de cada uno de estos elementos, relativos a la multiplicación, así que examinemos los siguientes.

Tenemos muchas opciones para generadores de un subgrupo cíclico de orden\(6\) y para un subgrupo cíclico\(2\text{.}\) de orden Por supuesto, algunas de las elecciones para un generador del subgrupo de orden\(6\) generarán el mismo subgrupo. ¿Se puede decir, con sólo contar, cuántos subgrupos de orden\(6\) hay? Vamos a escoger el primer elemento de orden\(6\text{,}\) y el último elemento de orden sin ninguna\(2\text{,}\) razón en particular. Después de su trabajo a través de esta vez, le animamos a probar otras opciones para entender por qué algunas opciones conducen a un producto directo interno y otras no. Observe que elegimos los elementos de la lista U para que estén seguros de ser elementos de Z36 y se comporten correctamente cuando se multipliquen.

Entonces A y B son dos subgrupos cíclicos. Observe que su intersección es el elemento de identidad, uno de nuestros requisitos para un producto directo interno. Entonces este es un buen comienzo.

Z36 es un grupo abeliano, así se mantendrá la condición en todos los productos que viajen, pero ilustramos los comandos de Sage que comprobarán esto en una situación no abeliana.

Por último, tenemos que verificar que al formar productos con elementos de A y B creamos todo el grupo. Ordenar la lista resultante nos facilitará visualmente una verificación, y es obligatoria si queremos que Sage haga la comprobación.

Eso es. Ahora condensamos toda esta información en la afirmación de que “U es el producto directo interno de A y B”. Por teorema\(9.27\), vemos que U es isomórfico a un producto de un grupo cíclico de orden\(6\) y un grupo cíclico de orden\(2\text{.}\) Así que en un sentido muy real, U no es más ni menos complicado\({\mathbb Z}_6\times{\mathbb Z}_2\text{,}\) que lo que es a su vez isomórfico a\({\mathbb Z}_3\times{\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_2\text{.}\) Así que totalmente entender la “estructura” de U. Por ejemplo, podemos ver que U no es cíclico, ya que cuando se escribe como un producto de grupos cíclicos, los dos órdenes no son relativamente primos. La expresión final de U sugiere que podrías encontrar tres subgrupos cíclicos de U, con órdenes\(3\text{,}\)\(2\) y\(2\text{,}\) para que U sea un producto directo interno de los tres subgrupos.