10.6: Ejercicios de salvia

1

Construye cada subgrupo del grupo alterno en 5 símbolos,\(A_5\text{,}\) y verifica que cada uno no sea un subgrupo normal (a excepción de los dos casos triviales). Este comando podría tardar un par de segundos en ejecutarse. Compare esto con el tiempo necesario para ejecutar el método .is_simple () y darse cuenta de que hay una cantidad significativa de teoría e ingenio para acelerar comandos como este. (Es posible que tu instalación de Sage carezca de la biblioteca “Table of Marks” de GAP y no puedas calcular la lista de subgrupos).

2

Consideremos el grupo cociente del grupo de simetrías de un\(8\) -gon, formado con el subgrupo cíclico de orden\(4\) generado por un cuarto de vuelta. Utilice la función coset_product para determinar la tabla Cayley para este grupo de cocientes. Utilice el número de cada coconjunto, producido por el método.cosets () como nombres para los elementos del grupo de cocientes. Necesitarás construir la mesa “a mano” ya que no hay una manera fácil de que el comando de mesa Cayley de Sage haga este por ti. Puede construir una tabla en el editor emergente de Sage Notebook (Mayúsculas-clic en una línea azul) o puede leer la documentación del método html.table ().

3

Considera el subgrupo cíclico de orden\(4\) en las simetrías de un\(8\) -gon. Verifique que el subgrupo sea normal construyendo primero los coconjuntos primarios izquierdo y derecho (sin usar el método .cosets ()) y luego verificando su igualdad en Sage, todo con un solo comando que emplee la ordenación con el comando sort ().

4

Nuevamente, utilizar el mismo subgrupo cíclico de orden\(4\) en el grupo de simetrías de un\(8\) -gon. Comprobar que el subgrupo es normal mediante el uso de la parte (2) del Teorema\(10.3\). Construye un comando unifilar que haga la comprobación completa y devuelva True. Tal vez ordenar primero los elementos del subgrupo S, luego construir lentamente las listas, comandos y condiciones necesarios en pasos. Observe que esta comprobación no requiere construir nunca los cosets.

5

Repita la demostración de la subsección anterior de que para las simetrías de un tetraedro, un subgrupo cíclico de orden\(3\) da como resultado una multiplicación de coconjuntos indefinida. Arriba, la configuración predeterminada para el método .cosets () construye cosets correctos, pero en este problema, trabaja en su lugar con cosets izquierdos. Es necesario elegir dos cosets para multiplicar, y luego demostrar dos opciones para los representantes que conduzcan a resultados diferentes para el producto de los cosets.

6

Construir algunos grupos diedros de orden\(2n\) (es decir, simetrías de un\(n\) -gon,\(D_{n}\) en el texto, DiedralGroup (n) en Sage). Quizás todos ellos para\(3\leq n \leq 100\text{.}\) Para cada grupo diedro, construya una lista de los órdenes de cada uno de los subgrupos normales (así use .normal_subgroups ()). Es posible que deba esperar diez o veinte segundos para que esto termine, tenga paciencia. Observe suficientes ejemplos para plantear la hipótesis de un patrón a sus observaciones, verifique su hipótesis contra cada uno de sus ejemplos y luego establezca su hipótesis con claridad.

¿Se puede predecir cuántos subgrupos normales hay en el grupo diedro\(D_{470448}\) sin usar Sage para construir todos los subgrupos normales? ¿Puedes describir todos los subgrupos normales de un grupo diedro de una manera que nos permita predecir todos los subgrupos normales de\(D_{470448}\) sin usar Sage?