11.7: Ejercicios de salvia

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 111047

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

1

Un automorfismo es un isomorfismo entre un grupo y él mismo. La función de identidad (\(x\mapsto x\)) es siempre un isomorfismo, que consideramos trivial. Use Sage para construir un automorfismo no trivial del grupo cíclico de orden\(12\text{.}\) Verifique que el mapeo sea tanto en como uno a uno calculando la imagen y el kernel y realizando las pruebas adecuadas en estos subgrupos. Ahora construya todos los posibles automorfismos del grupo cíclico del orden\(12\) sin duplicados.

2

Los cuatro homomorfismos creados por la construcción directa del producto son cada uno un ejemplo de una construcción más general de homomorfismos que involucran grupos\(G\text{,}\)\(H\) y\(G\times H\text{.}\) Al usar los mismos grupos que en el ejemplo de la subsección anterior, vea si puede descubrir y describir estos construcciones con definiciones exactas de los cuatro homomorfismos en general.

Tus herramientas para investigar un homomorfismo grupal de Sage son limitadas, podrías tomar cada generador del dominio y ver cuál es su imagen. Aquí hay un ejemplo del tipo de cálculo que podrías hacer repetidamente. Investigaremos el segundo homomorfismo. El dominio es el grupo diedro, y calcularemos la imagen del primer generador.

3

Considera dos grupos de permutación. El primero es el subgrupo de\(S_7\) generado por\((1, 2, 3)\) y\((4, 5, 6, 7)\text{.}\) El segundo es un subgrupo de\(S_{12}\) generados por\((1, 2, 3)(4, 5, 6)(7, 8, 9)(10, 11, 12)\) y\((1, 10, 7, 4)(2, 11, 8, 5)(3, 12, 9, 6)\text{.}\) Construye estos dos grupos y usa el comando Sage adecuado para ver que son isomórficos. Luego construir un homomorfismo entre estos dos grupos que sea un isomorfismo e incluir suficientes detalles para verificar que el mapeo es realmente un isomorfismo.

4

El segundo párrafo de este capítulo describe informalmente un homomorfismo desde\(S_n\)\({\mathbb Z}_2\text{,}\) donde todas las permutaciones pares se mapean a uno de los elementos y las permutaciones impares todas se mapean al otro elemento. Reemplazar\(S_n\) por\(S_6\) y reemplazar\({\mathbb Z}_2\) por la versión de permutación del subgrupo cíclico de orden\(2\text{,}\) y construir un homomorfismo no trivial entre estos dos grupos. Evalúa tu homomorfismo con suficientes permutaciones pares e impares para estar convencido de que es correcto. Después construye el kernel y verifica que es el grupo que esperas.

Consejos: Primero, decidir qué elementos del grupo de orden se\(2\) asociarán con permutaciones pares y cuáles se asociarán con permutaciones impares. Luego examina los generadores de\(S_6\) para ayudar a decidir cómo construir el homomorfismo.

5

El grupo diedro\(D_{20}\) tiene varios subgrupos normales, como se ve a continuación. Cada uno de estos es el núcleo de un homomorfismo con\(D_{20}\) como dominio. Para cada subgrupo normal de\(D_{20}\) constructo un homomorfismo de\(D_{20}\) a\(D_{20}\) que tiene el subgrupo normal como núcleo. Incluya en su trabajo verificaciones que está creando los kernels deseados. Hay un patrón para muchos de estos, pero los tres de orden\(20\) serán un reto.