Saltar al contenido principal

# 12.4: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

$\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\text{.} \nonumber$

## 2

Demostrar que$$O(n)$$ es un grupo.

## 3

Demostrar que las siguientes matrices son ortogonales. ¿Alguna de estas matrices está en$$SO(n)\text{?}$$

1. $\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \nonumber$
2. $\begin{pmatrix} 1 / \sqrt{5} & 2 / \sqrt{5} \\ - 2 /\sqrt{5} & 1/ \sqrt{5} \end{pmatrix} \nonumber$
3. $\begin{pmatrix} 4/5 & 0 & 3 /5 \\ -3 /5 & 0 & 4 /5 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \nonumber$
4. $\begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & - 2/3 \\ - 2/3 & 2/3 & 1/3 \\ 2/3 & 1/3 & 2/3 \end{pmatrix} \nonumber$

## 4

Determinar el grupo de simetría de cada una de las figuras de la Figura$$12.25$$.

$$Figure 12.25.$$

## 5

Dejar$${\mathbf x}\text{,}$$$${\mathbf y}\text{,}$$ y$${\mathbf w}$$ ser vectores en$${\mathbb R}^n$$ y$$\alpha \in {\mathbb R}\text{.}$$ Probar cada una de las siguientes propiedades de los productos internos.

1. $$\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}$$
2. $$\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} + {\mathbf w} \rangle = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle + \langle {\mathbf x}, {\mathbf w} \rangle\text{.}$$
3. $$\langle \alpha {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf x}, \alpha {\mathbf y} \rangle = \alpha \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.}$$
4. $$\langle {\mathbf x}, {\mathbf x} \rangle \geq 0$$con igualdad exactamente cuando$${\mathbf x} = 0\text{.}$$
5. Si$$\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = 0$$ para todos$${\mathbf x}$$ en$${\mathbb R}^n\text{,}$$ entonces$${\mathbf y} = 0\text{.}$$

## 6

Verificar que

$E(n) = \{(A, {\mathbf x}) : A \in O(n) \text{ and } {\mathbf x} \in {\mathbb R}^n \} \nonumber$

es un grupo.

## 7

Demostrar eso$$\{ (2,1), (1,1) \}$$ y$$\{ ( 12, 5), ( 7, 3) \}$$ son bases para una misma celosía.

## 8

$$G$$Sea un subgrupo de$$E(2)$$ y supongamos que$$T$$ es el subgrupo de traducción de$$G\text{.}$$ Probar que el grupo puntual de$$G$$ es isomórfico a$$G/T\text{.}$$

## 9

Vamos$$A \in SL_2({\mathbb R})$$ y supongamos que los vectores$${\mathbf x}$$ y$${\mathbf y}$$ forman dos lados de un paralelogramo en$${\mathbb R}^2\text{.}$$ Probar que el área de este paralelogramo es la misma que el área del paralelogramo con lados$$A{\mathbf x}$$ y$$A{\mathbf y}\text{.}$$

## 10

Demostrar que$$SO(n)$$ es un subgrupo normal de$$O(n)\text{.}$$

## 11

Demuestre que cualquier isometría$$f$$ en$${\mathbb R}^n$$ es un mapa uno a uno.

## 12

Demostrar o desmentir: un elemento en$$E(2)$$ la forma$$(A, {\mathbf x})\text{,}$$ donde$${\mathbf x} \neq 0\text{,}$$ tiene orden infinito.

## 13

Demostrar o desmentir: Existe un subgrupo abeliano infinito de$$O(n)\text{.}$$

## 14

Dejar$${\mathbf x} = (x_1, x_2)$$ ser un punto en el círculo unitario en$${\mathbb R}^2\text{;}$$ eso es,$$x_1^2 + x_2^2 = 1\text{.}$$ Si$$A \in O(2)\text{,}$$ mostrar que también$$A {\mathbf x}$$ es un punto en el círculo unitario.

## 15

Dejar$$G$$ ser un grupo con un subgrupo$$H$$ (no necesariamente normal) y un subgrupo normal$$N\text{.}$$ Entonces$$G$$ es un producto semidirecto de$$N$$ por$$H$$ si

• $$H \cap N = \{ \identity \}\text{;}$$
• $$HN=G\text{.}$$

Demostrar que cada uno de los siguientes es cierto.

1. $$S_3$$es el producto semidirecto de$$A_3$$ por$$H = \{(1), (1 \,2) \}\text{.}$$
2. El grupo cuaternión,$$Q_8\text{,}$$ no puede escribirse como un producto semidirecto.
3. $$E(2)$$es el producto semidirecto de$$O(2)$$ por$$H\text{,}$$ donde$$H$$ consta de todas las traducciones en$${\mathbb R}^2\text{.}$$

## 16

Determinar cuál de los 17 grupos de papel tapiz conserva la simetría del patrón en la Figura$$12.16$$.

## 17

Determinar cuál de los 17 grupos de papel tapiz conserva la simetría del patrón en la Figura$$12.26$$.

$$Figure \text { } 12.26.$$

## 18

Encuentra el grupo de rotación de un dodecaedro.

## 19

Para cada uno de los 17 grupos de papel tapiz, dibuje un patrón de papel tapiz que tenga ese grupo como grupo de simetría.

This page titled 12.4: Ejercicios is shared under a GNU Free Documentation License 1.3 license and was authored, remixed, and/or curated by Thomas W. Judson (Abstract Algebra: Theory and Applications) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.