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13.7: Salvia

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    111195
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    Los grupos cíclicos, y los productos directos de los grupos cíclicos, se implementan en Sage como grupos de permutación. Sin embargo, estos grupos rápidamente se convierten en representaciones muy difíciles de manejar y debería ser más fácil trabajar con grupos abelianos finitos en Sage. Por lo que vamos a posponer cualquier específico para este capítulo hasta que eso suceda. Sin embargo, ahora que entendemos la noción de grupos isomórficos y la estructura de grupos abelianos finitos, podemos volver a nuestra búsqueda de clasificar todos los grupos con un orden menor que\(16\text{.}\)

    Clasificación de Grupos Finitos

    No se necesitan herramientas sofisticadas para entender grupos de orden\(2p\text{,}\) donde\(p\) es un primo impar. Hay dos posibilidades: un grupo cíclico de orden\(2p\) y el grupo diedro de orden\(2p\) que es el conjunto de simetrías de un\(p\) -gon regular. La prueba requiere de algún razonamiento cercano y apretado, pero los teoremas requeridos son generalmente solo órdenes de elementos de preocupación, Teorema de Lagrange y cosets. Ver\ (2p\) ">Ejercicio 9.4.55. Esto se encarga de los pedidos\(n=6,\,10,\,14\text{.}\)

    Para\(n=9\text{,}\) el próximo Corolario 14.16 nos dirá que cualquier grupo de orden\(p^2\) (donde\(p\) es primo) es abeliano. Entonces sabemos por esta sección que las únicas dos posibilidades son\({\mathbb Z}_9\) y\({\mathbb Z}_3\times{\mathbb Z}_3\text{.}\) De igual manera, el próximo Teorema 15.10 nos dirá que cada grupo de orden\(n=15\) es abeliano. Ahora bien, esto deja solo una posibilidad para este pedido:\({\mathbb Z}_3\times{\mathbb Z}_5\cong{\mathbb Z}_{15}\text{.}\)

    Apenas nos quedan dos órdenes por analizar:\(n=8\) y\(n=12\text{.}\) Las posibilidades son grupos que ya conocemos, con una excepción. No obstante, el análisis de que estas son las únicas posibilidades es más complicado, y no se perseguirá ahora, ni en los próximos capítulos. Observe que\(n=16\) es aún más complicado, con\(14\) diferentes posibilidades (lo que explica por qué nos detuvimos aquí).

    Porque\(n=8\) hay grupos\(3\) abelianos, y los dos grupos no abelianos son el grupo diedro (simetrías de un cuadrado) y los cuaterniones.

    Porque\(n=12\) hay grupos\(2\) abelianos, y grupos\(3\) no abelianos. Conocemos a dos de los grupos no abelianos como un grupo diedro, y el grupo alterno sobre\(4\) símbolos (que es también las simetrías de un tetraedro). El tercer grupo no abeliano es un ejemplo de un grupo “dicíclico”, que es una familia infinita de grupos, cada uno con orden divisible por\(4\text{.}\) El grupo\(12\) dicíclico del orden también se puede construir como un “producto semidirecto” de dos grupos cíclicos — esta es una construcción que vale la pena conocer a medida que persigue más estudio de la teoría de grupos. El grupo\(8\) dicíclico del orden es también los cuaterniones y más generalmente, los grupos dicíclicos de orden\(2^k\text{,}\)\(k>2\) se conocen como “grupos de cuaterniones generalizados”.

    Los siguientes ejemplos te mostrarán cómo construir algunos de estos grupos, a la vez que ejercitas algunos de los comandos y permitiéndonos estar más seguros de que la siguiente tabla es precisa.

    Grupos de Orden Pequeño como Grupos de Permutación

    Enumeramos aquí las construcciones, como grupos de permutación en Sage, para todos los grupos de orden menor que\(16\text{.}\)

    Cuadro 13.20. Los Grupos de Orden\(\mathbf{16}\) o Menos en Sabio
    Orden Construcción Notas, Alternativas
    1 Grupo de permutación cíclica (1) Trivial
    2 Grupo de permutación cíclica (2) SymmetricGroup (2)
    3 Grupo de permutación cíclica (3) Pedido Prime
    4 Grupo de permutación cíclica (4) Cíclicos
    4 KleinFourGroup () Abeliano, no cíclico
    5 Grupo de permutación cíclica (5) Pedido Prime
    6 Grupo de permutación cíclica (6) Cíclicos
    6 SymmetricGroup (3) No abeliano
    DihedralGroup (3)
    7 Grupo de permutación cíclica (7) Pedido Prime
    8 Grupo de permutación cíclica (8) Cíclicos
    8 c2=Grupo de permutación cíclica (2)
    c4=Grupo de permutación cíclica (4)
    g=Direct_Product_PermGroups ([C2, C4]) Abeliano, no cíclico
    8 c2=Grupo de permutación cíclica (2)
    g=DIRECT_PRODUCT_PERMGroups ([C2, C2, C2]) Abeliano, no cíclico
    8 DihedralGroup (4) No abeliano
    8 Grupo QuaternionGroup () Cuaterniones
    DicyClicGroup (2)
    9 Grupo de permutación cíclica (9) Cíclicos
    9 c3=Grupo de permutación cíclica (3)
    g=DIRECT_PRODUCT_PERMGroups ([C3, C3]) Abeliano, no cíclico
    10 Grupo de permutación cíclica (10) Cíclicos
    10 DihedralGroup (5) No abeliano
    11 Grupo cíclicoPermutaciónGrupo (11) Pedido Prime
    12 Grupo de permutación cíclica (12) Cíclicos
    12 c2=Grupo de permutación cíclica (2)
    c6=Grupo PermutaciónCíclicoGrupo (6)
    g=DIRECT_PRODUCT_PERMGroups ([C2, C6]) Abeliano, no cíclico
    12 DihedralGroup (6) No abeliano
    12 AlternativoGrupo (4) No abeliano
    Simetrías de tetraedro
    12 DicyClicGroup (3) No abeliano
    Producto semidirecto\(Z_3\rtimes Z_4\)
    13 Grupo de permutación cíclica (13) Pedido Prime
    14 Grupo cíclicoPermutaciónGrupo (14) Cíclicos
    14 DihedralGroup (7) No abeliano
    15 Grupo CíclicoPermutaciónGrupo (15) Cíclicos

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