13: La estructura de los grupos

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El objetivo final de la teoría de grupos es clasificar todos los grupos hasta el isomorfismo; es decir, dado un grupo en particular, deberíamos poder emparejarlo con un grupo conocido a través de un isomorfismo. Por ejemplo, ya hemos demostrado que cualquier grupo cíclico finito de orden\(n\) es isomórfico para\({\mathbb Z}_n\text{;}\) por lo tanto, “conocemos” todos los grupos cíclicos finitos. Probablemente no sea razonable esperar que alguna vez conozcamos todos los grupos; sin embargo, muchas veces podemos clasificar ciertos tipos de grupos o distinguir entre grupos en casos especiales.

En este capítulo vamos a caracterizar todos los grupos abelianos finitos. También investigaremos grupos con secuencias de subgrupos. Si un grupo tiene una secuencia de subgrupos, digamos

\[ G = H_n \supset H_{n - 1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,} \nonumber \]

donde cada subgrupo\(H_i\) es normal en\(H_{i+1}\) y cada uno de los grupos\(H_{i+1}/H_i\) factoriales es abeliano, entonces\(G\) es un grupo solucionable. Además de permitirnos distinguir entre ciertas clases de grupos, los grupos solucionables resultan ser centrales para el estudio de soluciones a ecuaciones polinómicas.