Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

13: La estructura de los grupos

  • Page ID
    111182
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    El objetivo final de la teoría de grupos es clasificar todos los grupos hasta el isomorfismo; es decir, dado un grupo en particular, deberíamos poder emparejarlo con un grupo conocido a través de un isomorfismo. Por ejemplo, ya hemos demostrado que cualquier grupo cíclico finito de orden\(n\) es isomórfico para\({\mathbb Z}_n\text{;}\) por lo tanto, “conocemos” todos los grupos cíclicos finitos. Probablemente no sea razonable esperar que alguna vez conozcamos todos los grupos; sin embargo, muchas veces podemos clasificar ciertos tipos de grupos o distinguir entre grupos en casos especiales.

    En este capítulo vamos a caracterizar todos los grupos abelianos finitos. También investigaremos grupos con secuencias de subgrupos. Si un grupo tiene una secuencia de subgrupos, digamos

    \[ G = H_n \supset H_{n - 1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,} \nonumber \]

    donde cada subgrupo\(H_i\) es normal en\(H_{i+1}\) y cada uno de los grupos\(H_{i+1}/H_i\) factoriales es abeliano, entonces\(G\) es un grupo solucionable. Además de permitirnos distinguir entre ciertas clases de grupos, los grupos solucionables resultan ser centrales para el estudio de soluciones a ecuaciones polinómicas.


    This page titled 13: La estructura de los grupos is shared under a GNU Free Documentation License 1.3 license and was authored, remixed, and/or curated by Thomas W. Judson (Abstract Algebra: Theory and Applications) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.