18.1: Campos de Fracciones

Cada campo es también un dominio integral; sin embargo, hay muchos dominios integrales que no son campos. Por ejemplo, los enteros\({\mathbb Z}\) forman un dominio integral pero no un campo. Una pregunta que surge naturalmente es cómo podríamos asociar un dominio integral con un campo. Existe una manera natural de construir los racionales a\({\mathbb Q}\) partir de los enteros: los racionales pueden representarse como cocientes formales de dos enteros. Los números racionales son sin duda un campo. De hecho, se puede demostrar que los racionales son el campo más pequeño que contiene los enteros. Dado un dominio integral\(D\text{,}\) nuestra pregunta ahora se convierte en cómo construir un campo más pequeño\(F\) que contenga\(D\text{.}\) Haremos esto de la misma manera que construimos los racionales a partir de los enteros.

Un elemento\(p/q \in {\mathbb Q}\) es el cociente de dos enteros\(p\) y\(q\text{;}\) sin embargo, diferentes pares de enteros pueden representar el mismo número racional. Por ejemplo,\(1/2 = 2/4 = 3/6\text{.}\) sabemos que

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \nonumber \]

si y sólo si\(ad = bc\text{.}\) Una forma más formal de considerar este problema es examinar fracciones en términos de relaciones de equivalencia. Podemos pensar en elementos en\({\mathbb Q}\) como pares ordenados en\({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Un cociente se\(p/q\) puede escribir como\((p, q)\text{.}\) Por ejemplo,\((3, 7)\) representaría la fracción\(3/7\text{.}\) Sin embargo, hay problemas si consideramos todos los pares posibles en No\({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\) hay fracción\(5/0\) correspondiente al par\((5,0)\text{.}\) También, los pares\((3,6)\) y\((2,4)\) ambos representan la fracción\(1/2\text{.}\) El primer problema se resuelve fácilmente si requerimos que la segunda coordenada sea distinta de cero. El segundo problema se resuelve considerando dos pares\((a, b)\) y\((c, d)\) ser equivalente si\(ad = bc\text{.}\)

Si utilizamos el enfoque de pares ordenados en lugar de fracciones, entonces podemos estudiar dominios integrales en general. Dejar\(D\) ser cualquier dominio integral y dejar

\[ S = \{ (a, b) : a, b \in D \text{ and } b \neq 0 \}\text{.} \nonumber \]

Definir una relación en\(S\) por\((a, b) \sim (c, d)\) si\(ad = bc\text{.}\)

Lema\(18.1\)

La relación\(\sim\) entre elementos de\(S\) es una relación de equivalencia.

Prueba

Ya que\(D\) es conmutativo, de\(ab = ba\text{;}\) ahí,\(\sim\) es reflexivo sobre\(D\text{.}\) Ahora supongamos que\((a,b) \sim (c,d)\text{.}\) Entonces\(ad=bc\) o\(cb = da\text{.}\) Por lo tanto,\((c,d) \sim (a, b)\) y la relación es simétrica. Finalmente, para demostrar que la relación es transitiva, let\((a, b) \sim (c, d)\) y\((c, d) \sim (e,f)\text{.}\) En este caso\(ad = bc\) y\(cf = de\text{.}\) Multiplicando ambos lados de\(ad = bc\) por\(f\) rendimientos

\[ a f d = a d f = b c f = b d e = bed\text{.} \nonumber \]

Dado que\(D\) es un dominio integral, podemos deducir que\(af = be\) o\((a,b ) \sim (e, f)\text{.}\)

Vamos a denotar el conjunto de clases de equivalencia on\(S\) by Ahora\(F_D\text{.}\) necesitamos definir las operaciones de suma y multiplicación en\(F_D\text{.}\) Recordar cómo se agregan y multiplican las fracciones en\({\mathbb Q}\text{:}\)

\ begin {alinear*}\ frac {a} {b} +\ frac {c} {d} & =\ frac {ad + b c} {b d};\\ frac {a} {b}\ cdot\ frac {c} {d} & =\ frac {ac} {b d}\ text {.} \ end {alinear*}

Parece razonable definir las operaciones de suma y multiplicación de\(F_D\) manera similar. Si denotamos la clase de equivalencia\((a, b) \in S\) de para\([a, b]\text{,}\) entonces nos llevan a definir las operaciones de suma y multiplicación\(F_D\) por

\[ [a, b] + [c, d] = [ad + b c,b d] \nonumber \]

y

\[ [a, b] \cdot [c, d] = [ac, b d]\text{,} \nonumber \]

respectivamente. El siguiente lema demuestra que estas operaciones son independientes de la elección de los representantes de cada clase de equivalencia.

Lema\(18.2\)

Las operaciones de adición y multiplicación\(F_D\) están bien definidas.

Prueba

Demostraremos que la operación de adición está bien definida. La prueba de que la multiplicación está bien definida se deja como ejercicio. Vamos\([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\) y\([c_1, d_1] =[ c_2, d_2]\text{.}\) Debemos demostrar que

\[ [a_1 d_1 + b_1 c_1,b_1 d_1] = [a_2 d_2 + b_2 c_2,b_2 d_2] \nonumber \]

o, equivalentemente, que

\[ (a_1 d_1 + b_1 c_1)( b_2 d_2) = (b_1 d_1) (a_2 d_2 + b_2 c_2)\text{.} \nonumber \]

Desde\([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\) y\([c_1, d_1] =[ c_2, d_2]\text{,}\) sabemos que\(a_1 b_2 = b_1 a_2\) y\(c_1 d_2 = d_1 c_2\text{.}\) por lo tanto,

\ begin {alinear*} (a_1 d_1 + b_1 c_1) (b_2 d_2) & = a_1 d_1 b_2 d_2 + b_1 c_1 b_2 d_2\\ & = a_1 b_2 d_1 d_2 + b_1 b_2 c_1 d_2\\ & = b_1 a_2 d_1 d_2 + b_1 b_2 d_1 c_2\\ & = (b_1 d_1) (a_2 d_2 + b_2 c_2)\ texto {.} \ end {alinear*}

Lema\(18.3\)

El conjunto de clases de equivalencia de\(S\text{,}\)\(F_D\text{,}\) bajo la relación de equivalencia\(\sim\text{,}\) junto con las operaciones de suma y multiplicación definidas por

\ begin {alinear*} [a, b] + [c, d] & = [ad + b c, b d]\\ [a, b]\ cdot [c, d] & = [ac, b d]\ text {,}\ end {align*}

es un campo.

Prueba

Las identidades aditiva y multiplicativa son\([0,1]\) y\([1,1]\text{,}\) respectivamente. Para demostrar que\([0,1]\) es la identidad aditiva, observe que

\[ [a, b] + [0, 1] = [ a 1 + b 0, b 1] = [a,b]\text{.} \nonumber \]

Es fácil demostrar que\([1, 1]\) es la identidad multiplicativa. Dejar\([a, b] \in F_D\) tal que\(a \neq 0\text{.}\) Entonces también\([b, a]\) está adentro\(F_D\) y\([a,b] \cdot [b, a] = [1,1]\text{;}\) por lo tanto,\([b, a]\) es la inversa multiplicativa para\([a, b]\text{.}\) Similarmente,\([-a,b]\) es la inversa aditiva de\([a, b]\text{.}\) Dejamos como ejercicios la verificación de las propiedades asociativas y conmutativas de multiplicación en También\(F_D\text{.}\) dejamos al lector demostrar que\(F_D\) es un grupo abeliano en adición.

Queda por demostrar que el bien distributivo se mantiene,\(F_D\text{;}\) sin embargo,

\ begin {alinear*} [a, b] [e, f] + [c, d] [e, f] & = [a e, b f] + [c e, d f]\\ & = [a e d f + b f c e, b d f^2]\\ & = [a e d + b c e, b d f]\\ & = [a d e + b c e, b d f]\\ & = ([a, b] + [c, d]) [e, f]\ final {alinear*}

y se prueba el lema.

El campo\(F_D\) en Lema 18.3 se denomina campo de fracciones o campo de cocientes del dominio integral\(D\text{.}\)

Teorema\(18.4\)

Seamos\(D\) un dominio integral. Luego se\(D\) puede incrustar en un campo de fracciones\(F_D\text{,}\) donde cualquier elemento en\(F_D\) puede expresarse como el cociente de dos elementos en\(D\text{.}\) Además, el campo de fracciones\(F_D\) es único en el sentido que si\(E\) hay algún campo que contenga\(D\text{,}\) entonces existe un mapa\(\psi : F_D \rightarrow E\) dando un isomorfismo con un subcampo de\(E\) tal manera que\(\psi(a) = a\) para todos los elementos\(a \in D\text{,}\) donde identificamos \(a\)con su imagen en\(F_D\text{.}\)

Prueba

Primero demostraremos que se\(D\) puede incrustar en el campo\(F_D\text{.}\) Definir un mapa\(\phi : D \rightarrow F_D\) por\(\phi(a) = [a, 1]\text{.}\) Entonces para\(a\) y\(b\) en\(D\text{,}\)

\[ \phi( a + b ) = [a+b, 1] = [a, 1] + [b, 1] = \phi(a ) + \phi(b) \nonumber \]

y

\[ \phi( a b ) = [a b, 1] = [a, 1] [b, 1] = \phi(a ) \phi(b); \nonumber \]

de ahí,\(\phi\) es un homomorfismo. Para demostrar que\(\phi\) es uno a uno, supongamos que\(\phi(a) = \phi( b)\text{.}\) Entonces\([a, 1] = [b, 1]\text{,}\) o\(a = a1 = 1b = b\text{.}\) Finalmente, cualquier elemento de\(F_D\) puede expresarse como el cociente de dos elementos en\(D\text{,}\) since

\[ \phi(a) [\phi(b)]^{-1} = [a, 1] [b, 1]^{-1} = [a, 1] \cdot [1, b] = [a, b]\text{.} \nonumber \]

Ahora vamos a\(E\) ser un campo que contiene\(D\) y define un mapa\(\psi :F_D \rightarrow E\) por\(\psi([a, b]) = a b^{-1}\text{.}\) Para mostrar que\(\psi\) está bien definido, let\([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\text{.}\) Entonces\(a_1 b_2 = b_1 a_2\text{.}\) Por lo tanto,\(a_1 b_1^{-1} = a_2 b_2^{-1}\) y\(\psi( [a_1, b_1]) = \psi( [a_2, b_2])\text{.}\)

Si\([a, b ]\) y\([c, d]\) están en\(F_D\text{,}\) entonces

\ begin {alinear*}\ psi ([a, b] + [c, d]) & =\ psi ([ad + b c, b d])\\ & = (ad + b c) (b d) ^ {-1}\\ & = a b^ {-1} + c d^ {-1}\\ & =\ psi ([a, b]) +\ psi ([c, d])\ end {align*}

y

\ begin {alinear*}\ psi ([a, b]\ cdot [c, d]) & =\ psi ([ac, b d])\\ & = (ac) (b d) ^ {-1}\\ & = a b^ {-1} c d^ {-1}\\ & =\ psi ([a, b])\ psi ([c, d])\ text {.} \ end {alinear*}

Por lo tanto,\(\psi\) es un homomorfismo.

Para completar la prueba del teorema, necesitamos demostrar que\(\psi\) es uno a uno. Supongamos que\(\psi( [a, b] ) = ab^{-1} = 0\text{.}\) Entonces\(a = 0b = 0\) y\([a, b] = [0, b]\text{.}\) Por lo tanto, el núcleo de\(\psi\) es el elemento cero\([ 0, b]\) en\(F_D\text{,}\) y\(\psi\) es inyectivo.

Ejemplo\(18.5\)

Ya que\({\mathbb Q}\) es un campo,\({\mathbb Q}[x]\) es un dominio integral. El campo de fracciones de\({\mathbb Q}[x]\) es

Solución

el conjunto de todas las expresiones racionales\(p(x)/q(x)\text{,}\) donde\(p(x)\) y\(q(x)\) son polinomios sobre los racionales y no\(q(x)\) es el polinomio cero. Vamos a denotar este campo por\({\mathbb Q}(x)\text{.}\)

Dejaremos\(18.4\) como ejercicios las pruebas de los siguientes corolarios del Teorema.

Corolario\(18.6\)

Dejar\(F\) ser un campo de cero característico. Luego\(F\) contiene un subcampo isomórfico a\ ({\ mathbb Q}\ text { . }\

Corolario\(18.7\)

Let\(F\) be a field of characteristic\(p\text{.}\) then\(F\) contains a subfield isomorphic to\({\mathbb Z}_p\text{.}\)