18.4: Ejercicios

1

Let\(z = a + b \sqrt{3}\, i\) be in\({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i]\text{.}\) Si\(a^2 + 3 b^2 = 1\text{,}\) muestra que\(z\) debe ser una unidad. Demostrar que las únicas unidades de\({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) son\(1\) y\(-1\text{.}\)

2

Los enteros gaussianos,\({\mathbb Z}[i]\text{,}\) son un UFD. Factorizar cada uno de los siguientes elementos\({\mathbb Z}[i]\) en un producto de irreducibles.

1. \(\displaystyle 5\)
2. \(\displaystyle 1 + 3i\)
3. \(\displaystyle 6 + 8i\)
4. \(\displaystyle 2\)

3

\(D\)Sea un dominio integral.

1. Demostrar que\(F_D\) es un grupo abeliano bajo operación de adición.
2. Demostrar que la operación de multiplicación está bien definida en el campo de las fracciones,\(F_D\text{.}\)
3. Verificar las propiedades asociativas y conmutativas para la multiplicación en\(F_D\text{.}\)

4

Demostrar o desacreditar: Cualquier subring de un campo\(F\) que contenga\(1\) es un dominio integral.

5

Demostrar o desmentir: Si\(D\) es un dominio integral, entonces cada elemento principal en también\(D\) es irreducible en\(D\text{.}\)

6

Dejar\(F\) ser un campo de cero característico. Demostrar que\(F\) contiene un subcampo isomórfico a\({\mathbb Q}\text{.}\)

7

Que\(F\) sea un campo.

1. Demostrar que el campo de fracciones de\(F[x]\text{,}\) denotado por\(F(x)\text{,}\) es isomórfico al conjunto todas las expresiones racionales\(p(x) / q(x)\text{,}\) donde no\(q(x)\) está el polinomio cero.
2. Dejar\(p(x_1, \ldots, x_n)\) y\(q(x_1, \ldots, x_n)\) ser polinomios en\(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Mostrar que el conjunto de todas las expresiones racionales\(p(x_1, \ldots, x_n) / q(x_1, \ldots, x_n)\) es isomorfo al campo de fracciones de\(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Denotamos el campo de fracciones de\(F[x_1, \ldots, x_n]\) por\(F(x_1, \ldots, x_n)\text{.}\)

8

\(p\)Sea primo y denote el campo de fracciones de\({\mathbb Z}_p[x]\) por\({\mathbb Z}_p(x)\text{.}\) Demostrar que\({\mathbb Z}_p(x)\) es un campo infinito de características\(p\text{.}\)

9

Demostrar que el campo de fracciones de los enteros gaussianos,\({\mathbb Z}[i]\text{,}\) es

\[ {\mathbb Q}(i) = \{ p + q i : p, q \in {\mathbb Q} \}\text{.} \nonumber \]

10

Un campo\(F\) se llama campo primo si no tiene subcampos adecuados. Si\(E\) es un subcampo de\(F\) y\(E\) es un campo primo, entonces\(E\) es un subcampo primo de\(F\text{.}\)

1. Demuestra que cada campo contiene un subcampo primo único.
2. Si\(F\) es un campo de característica 0, probar que el subcampo primo de\(F\) es isomórfico al campo de números racionales,\({\mathbb Q}\text{.}\)
3. Si\(F\) es un campo de característica\(p\text{,}\) demostrar que el subcampo primo de\(F\) es isomórfico a\({\mathbb Z}_p\text{.}\)

11

Vamos\({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)

1. Demostrar que\({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\) es un dominio integral.
2. Encuentra todas las unidades en\({\mathbb Z}[\sqrt{2}\, ]\text{.}\)
3. Determinar el campo de fracciones de\({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\text{.}\)
4. Demostrar que\({\mathbb Z}[ \sqrt{2} i ]\) es un dominio euclidiano bajo la valoración euclidiana\(\nu( a + b \sqrt{2}\, i) = a^2 + 2b^2\text{.}\)

12

Que\(D\) sea una UFD. Un elemento\(d \in D\) es un divisor más común de\(a\) y\(b\) en\(D\) if\(d \mid a\) y\(d \mid b\) y\(d\) es divisible por cualquier otro elemento que divide ambos\(a\) y\(b\text{.}\)

1. Si\(D\) es un PID\(a\) y y\(b\) son ambos elementos distintos de cero de\(D\text{,}\) probar existe un único mayor divisor común de\(a\) y\(b\) hasta asociados. Es decir, si\(d\) y\(d'\) son ambos mayores divisores comunes de\(a\) y\(b\text{,}\) entonces\(d\) y\(d'\) son asociados. Escribimos\(\gcd( a, b)\) para el mayor divisor común de\(a\) y\(b\text{.}\)
2. Dejar\(D\) ser un PID y\(a\) y\(b\) ser elementos distintos de cero de\(D\text{.}\) Demostrar que existen elementos\(s\) y\(t\) en\(D\) tal que\(\gcd(a, b) = as + bt\text{.}\)

13

\(D\)Sea un dominio integral. Definir una relación sobre\(D\) por\(a \sim b\) si\(a\) y\(b\) son asociados en\(D\text{.}\)\(\sim\) Probarse que es una relación de equivalencia en\(D\text{.}\)

14

Dejar\(D\) ser un dominio euclidiano con valuación euclidiana\(\nu\text{.}\) Si\(u\) es una unidad en\(D\text{,}\) mostrar que\(\nu(u) = \nu(1)\text{.}\)

15

Dejar\(D\) ser un dominio euclidiano con valoración euclidiana\(\nu\text{.}\) Si\(a\) y\(b\) son asociados en\(D\text{,}\) demostrar que\(\nu(a) = \nu(b)\text{.}\)

16

Demostrar que no\({\mathbb Z}[\sqrt{5}\, i]\) es un dominio de factorización único.

17

Demostrar o desmentir: Cada subdominio de una UFD también es una UFD.

18

Se dice que un ideal de un anillo\(R\) conmutativo se genera finitamente si existen elementos\(a_1, \ldots, a_n\) de\(R\) tal manera que cada elemento\(r\) en el ideal pueda escribirse como\(a_1 r_1 + \cdots + a_n r_n\) para algunos\(r_1, \ldots, r_n\) en\(R\text{.}\) Prove que\(R\) satisface la condición de cadena ascendente si y solo si cada ideal de\(R\) se genera finitamente.

19

Dejar\(D\) ser un dominio integral con una cadena descendente de ideales\(I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots\text{.}\) Supongamos que existe\(N\) tal que\(I_k = I_N\) para todos\(k \geq N\text{.}\) A anillo que satisface esta condición se dice que satisface la condición de cadena descendente, o DCC. Los anillos que satisfacen el DCC se llaman anillos artinianos, después de Emil Artin. Mostrar que si\(D\) satisface la condición de cadena descendente, debe satisfacer la condición de cadena ascendente.

20

Que\(R\) sea un anillo conmutativo con identidad. Definimos un subconjunto multiplicativo de\(R\) ser un subconjunto\(S\) tal que\(1 \in S\) y\(ab \in S\) si\(a, b \in S\text{.}\)

1. Definir una relación\(\sim\) en\(R \times S\) por\((a, s) \sim (a', s')\) si existe\(s^\ast \in S\) tal que\(s^\ast(s' a -s a') = 0\text{.}\) Mostrar que\(\sim\) es una relación de equivalencia en\(R \times S\text{.}\)
2. Dejar\(a/s\) denotar la clase de equivalencia de\((a,s) \in R \times S\) y dejar\(S^{-1}R\) ser el conjunto de todas las clases de equivalencia con respecto a\(\sim\text{.}\) Definir las operaciones de suma y multiplicación en\(S^{-1} R\) por

   \ begin {align*}\ frac {a} {s} +\ frac {b} {t} & =\ frac {at + b s} {s t}\\ frac {a} {s}\ frac {b} {t} & =\ frac {a b} {s t}\ text {,}\ end {align*}

   respectivamente. Demostrar que estas operaciones están bien definidas\(S^{-1}R\) y que\(S^{-1}R\) es un anillo con identidad bajo estas operaciones. El anillo\(S^{-1}R\) se llama el anillo de cocientes de\(R\) con respecto a\(S\text{.}\)

3. Mostrar que el mapa\(\psi : R \rightarrow S^{-1}R\) definido por\(\psi(a) = a/1\) es un homomorfismo de anillo.
4. Si no\(R\) tiene cero divisores y\(0 \notin S\text{,}\) muestra que\(\psi\) es uno a uno.
5. Demostrar que\(P\) es un ideal primo de\(R\) si y solo si\(S = R \setminus P\) es un subconjunto multiplicativo de\(R\text{.}\)
6. Si\(P\) es un ideal primo de\(R\) y\(S = R \setminus P\text{,}\) demostrar que el anillo de cocientes\(S^{-1}R\) tiene un ideal máximo único. Cualquier anillo que tenga un ideal máximo único se llama anillo local.