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# 18.4: Ejercicios

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

Let$$z = a + b \sqrt{3}\, i$$ be in$${\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i]\text{.}$$ Si$$a^2 + 3 b^2 = 1\text{,}$$ muestra que$$z$$ debe ser una unidad. Demostrar que las únicas unidades de$${\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]$$ son$$1$$ y$$-1\text{.}$$

## 2

Los enteros gaussianos,$${\mathbb Z}[i]\text{,}$$ son un UFD. Factorizar cada uno de los siguientes elementos$${\mathbb Z}[i]$$ en un producto de irreducibles.

1. $$\displaystyle 5$$
2. $$\displaystyle 1 + 3i$$
3. $$\displaystyle 6 + 8i$$
4. $$\displaystyle 2$$

## 3

$$D$$Sea un dominio integral.

1. Demostrar que$$F_D$$ es un grupo abeliano bajo operación de adición.
2. Demostrar que la operación de multiplicación está bien definida en el campo de las fracciones,$$F_D\text{.}$$
3. Verificar las propiedades asociativas y conmutativas para la multiplicación en$$F_D\text{.}$$

## 4

Demostrar o desacreditar: Cualquier subring de un campo$$F$$ que contenga$$1$$ es un dominio integral.

## 5

Demostrar o desmentir: Si$$D$$ es un dominio integral, entonces cada elemento principal en también$$D$$ es irreducible en$$D\text{.}$$

## 6

Dejar$$F$$ ser un campo de cero característico. Demostrar que$$F$$ contiene un subcampo isomórfico a$${\mathbb Q}\text{.}$$

## 7

Que$$F$$ sea un campo.

1. Demostrar que el campo de fracciones de$$F[x]\text{,}$$ denotado por$$F(x)\text{,}$$ es isomórfico al conjunto todas las expresiones racionales$$p(x) / q(x)\text{,}$$ donde no$$q(x)$$ está el polinomio cero.
2. Dejar$$p(x_1, \ldots, x_n)$$ y$$q(x_1, \ldots, x_n)$$ ser polinomios en$$F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}$$ Mostrar que el conjunto de todas las expresiones racionales$$p(x_1, \ldots, x_n) / q(x_1, \ldots, x_n)$$ es isomorfo al campo de fracciones de$$F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}$$ Denotamos el campo de fracciones de$$F[x_1, \ldots, x_n]$$ por$$F(x_1, \ldots, x_n)\text{.}$$

## 8

$$p$$Sea primo y denote el campo de fracciones de$${\mathbb Z}_p[x]$$ por$${\mathbb Z}_p(x)\text{.}$$ Demostrar que$${\mathbb Z}_p(x)$$ es un campo infinito de características$$p\text{.}$$

## 9

Demostrar que el campo de fracciones de los enteros gaussianos,$${\mathbb Z}[i]\text{,}$$ es

${\mathbb Q}(i) = \{ p + q i : p, q \in {\mathbb Q} \}\text{.} \nonumber$

## 10

Un campo$$F$$ se llama campo primo si no tiene subcampos adecuados. Si$$E$$ es un subcampo de$$F$$ y$$E$$ es un campo primo, entonces$$E$$ es un subcampo primo de$$F\text{.}$$

1. Demuestra que cada campo contiene un subcampo primo único.
2. Si$$F$$ es un campo de característica 0, probar que el subcampo primo de$$F$$ es isomórfico al campo de números racionales,$${\mathbb Q}\text{.}$$
3. Si$$F$$ es un campo de característica$$p\text{,}$$ demostrar que el subcampo primo de$$F$$ es isomórfico a$${\mathbb Z}_p\text{.}$$

## 11

Vamos$${\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.}$$

1. Demostrar que$${\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]$$ es un dominio integral.
2. Encuentra todas las unidades en$${\mathbb Z}[\sqrt{2}\, ]\text{.}$$
3. Determinar el campo de fracciones de$${\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\text{.}$$
4. Demostrar que$${\mathbb Z}[ \sqrt{2} i ]$$ es un dominio euclidiano bajo la valoración euclidiana$$\nu( a + b \sqrt{2}\, i) = a^2 + 2b^2\text{.}$$

## 12

Que$$D$$ sea una UFD. Un elemento$$d \in D$$ es un divisor más común de$$a$$ y$$b$$ en$$D$$ if$$d \mid a$$ y$$d \mid b$$ y$$d$$ es divisible por cualquier otro elemento que divide ambos$$a$$ y$$b\text{.}$$

1. Si$$D$$ es un PID$$a$$ y y$$b$$ son ambos elementos distintos de cero de$$D\text{,}$$ probar existe un único mayor divisor común de$$a$$ y$$b$$ hasta asociados. Es decir, si$$d$$ y$$d'$$ son ambos mayores divisores comunes de$$a$$ y$$b\text{,}$$ entonces$$d$$ y$$d'$$ son asociados. Escribimos$$\gcd( a, b)$$ para el mayor divisor común de$$a$$ y$$b\text{.}$$
2. Dejar$$D$$ ser un PID y$$a$$ y$$b$$ ser elementos distintos de cero de$$D\text{.}$$ Demostrar que existen elementos$$s$$ y$$t$$ en$$D$$ tal que$$\gcd(a, b) = as + bt\text{.}$$

## 13

$$D$$Sea un dominio integral. Definir una relación sobre$$D$$ por$$a \sim b$$ si$$a$$ y$$b$$ son asociados en$$D\text{.}$$$$\sim$$ Probarse que es una relación de equivalencia en$$D\text{.}$$

## 14

Dejar$$D$$ ser un dominio euclidiano con valuación euclidiana$$\nu\text{.}$$ Si$$u$$ es una unidad en$$D\text{,}$$ mostrar que$$\nu(u) = \nu(1)\text{.}$$

## 15

Dejar$$D$$ ser un dominio euclidiano con valoración euclidiana$$\nu\text{.}$$ Si$$a$$ y$$b$$ son asociados en$$D\text{,}$$ demostrar que$$\nu(a) = \nu(b)\text{.}$$

## 16

Demostrar que no$${\mathbb Z}[\sqrt{5}\, i]$$ es un dominio de factorización único.

## 17

Demostrar o desmentir: Cada subdominio de una UFD también es una UFD.

## 18

Se dice que un ideal de un anillo$$R$$ conmutativo se genera finitamente si existen elementos$$a_1, \ldots, a_n$$ de$$R$$ tal manera que cada elemento$$r$$ en el ideal pueda escribirse como$$a_1 r_1 + \cdots + a_n r_n$$ para algunos$$r_1, \ldots, r_n$$ en$$R\text{.}$$ Prove que$$R$$ satisface la condición de cadena ascendente si y solo si cada ideal de$$R$$ se genera finitamente.

## 19

Dejar$$D$$ ser un dominio integral con una cadena descendente de ideales$$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots\text{.}$$ Supongamos que existe$$N$$ tal que$$I_k = I_N$$ para todos$$k \geq N\text{.}$$ A anillo que satisface esta condición se dice que satisface la condición de cadena descendente, o DCC. Los anillos que satisfacen el DCC se llaman anillos artinianos, después de Emil Artin. Mostrar que si$$D$$ satisface la condición de cadena descendente, debe satisfacer la condición de cadena ascendente.

## 20

Que$$R$$ sea un anillo conmutativo con identidad. Definimos un subconjunto multiplicativo de$$R$$ ser un subconjunto$$S$$ tal que$$1 \in S$$ y$$ab \in S$$ si$$a, b \in S\text{.}$$

1. Definir una relación$$\sim$$ en$$R \times S$$ por$$(a, s) \sim (a', s')$$ si existe$$s^\ast \in S$$ tal que$$s^\ast(s' a -s a') = 0\text{.}$$ Mostrar que$$\sim$$ es una relación de equivalencia en$$R \times S\text{.}$$
2. Dejar$$a/s$$ denotar la clase de equivalencia de$$(a,s) \in R \times S$$ y dejar$$S^{-1}R$$ ser el conjunto de todas las clases de equivalencia con respecto a$$\sim\text{.}$$ Definir las operaciones de suma y multiplicación en$$S^{-1} R$$ por

\ begin {align*}\ frac {a} {s} +\ frac {b} {t} & =\ frac {at + b s} {s t}\\ frac {a} {s}\ frac {b} {t} & =\ frac {a b} {s t}\ text {,}\ end {align*}

respectivamente. Demostrar que estas operaciones están bien definidas$$S^{-1}R$$ y que$$S^{-1}R$$ es un anillo con identidad bajo estas operaciones. El anillo$$S^{-1}R$$ se llama el anillo de cocientes de$$R$$ con respecto a$$S\text{.}$$

3. Mostrar que el mapa$$\psi : R \rightarrow S^{-1}R$$ definido por$$\psi(a) = a/1$$ es un homomorfismo de anillo.
4. Si no$$R$$ tiene cero divisores y$$0 \notin S\text{,}$$ muestra que$$\psi$$ es uno a uno.
5. Demostrar que$$P$$ es un ideal primo de$$R$$ si y solo si$$S = R \setminus P$$ es un subconjunto multiplicativo de$$R\text{.}$$
6. Si$$P$$ es un ideal primo de$$R$$ y$$S = R \setminus P\text{,}$$ demostrar que el anillo de cocientes$$S^{-1}R$$ tiene un ideal máximo único. Cualquier anillo que tenga un ideal máximo único se llama anillo local.

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