6.2: Grupos simétricos

Observación

A lo largo de este curso, si estamos discutiendo un grupo\(S_n\text{,}\) debes asumir\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\)

Es importante para nosotros poder describir fácilmente elementos específicos de\(S_n\text{.}\) Sería engorroso describir,\(S_3\) por ejemplo, un elemento de diciendo que intercambia\(1\)\(2\) y arregla\(3\text{;}\) imaginar lo mucho más engorroso que podría ser describir un elemento de, digamos, \(S_{100}\text{!}\)Uno puede describir de manera algo concisa una permutación\(\sigma\) de\(S_n\) enumerando los elementos\(1,2,\ldots,n\) y escribiendo el elemento\(\sigma(i)\) debajo de cada uno\(i\)\(i=1,2,\ldots, n\text{.}\) para Por ejemplo, si\(\sigma\) envía\(1\) a\(2\text{,}\) escribiríamos el número a\(2\) continuación el número\(1\text{.}\) La convención es encerrar estas dos filas de números en un solo conjunto de paréntesis, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Podemos denotar el elemento\(\sigma\) de\(S_3\) que swaps\(1\) y\(2\) y corrige\(3\) por

\ begin {ecuación*}\ sigma =\ begin {pmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 1& 3\ end {pmatrix},\ end {ecuación*}

y el elemento\(\tau\) of \(S_3\) that sends \(1\) to \(3\text{,}\) \(2\) to \(1\text{,}\) and \(3\) to \(2\) by

\ begin {ecuación*}\ tau =\ begin {pmatrix} 1& 2&3\\ 3& 1& 2\ end {pmatrix}. \ end {ecuación*}

Entonces

\ begin {ecuación*}\ sigma\ tau =\ begin {pmatrix} 1& 2& 3\\ 3& 2&1\ end {pmatrix}\ end {ecuación*}

\ begin {ecuación*}\ tau\ sigma =\ begin {pmatrix} 1& 2& 3\\ 1& 3& 2\ end {pmatrix}. \ end {ecuación*}

Pero incluso esta notación es innecesariamente engorrosa. En su lugar, usamos notación de ciclo.

Definición: Ciclo, Notación de Ciclo y Transposición

Una permutación\(\sigma\) en\(S_n\) se llama un\(k\) ciclo o un ciclo de longitud \(k\)(o, menos específicamente, un ciclo) si existen elementos distintos\(a_1, a_2,\ldots, a_k\) en\(\{1,2,\ldots,n\}\) tal que

\(\sigma(a_i)=a_{i+1}\)para cada\(i=1,2,\ldots, k-1\text{;}\)
\(\sigma(a_k)=a_1\text{;}\)
\(\sigma(x)=x\)para cada otro elemento de\(\{1,2,\ldots, n\}\text{.}\)

Utilizamos la notación de ciclo\(\sigma = (a_1 a_2 \cdots a_k)\) para describir dicho ciclo. A\(2\) -ciclo a menudo se llama transposición.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La permutación\(\tau\) en\(S_3\) que envía\(1\)\(3\text{,}\)\(2\) a\(1\text{,}\) y\(3\) a\(2\) es un ciclo. Se puede denotar por\(\tau =(132)\text{.}\) Similarmente, el ciclo\(\rho\) en\(S_3\) swapping\(1\) y\(3\) puede ser denotado por\(\rho=(13)\text{.}\) Por otro lado, la permutación en\(S_4\) que swaps\(1\) con\(2\) y\(3\) con no\(4\) es un ciclo.

Observación

Dado un\(k\) ciclo\(\sigma=(a_1 a_2\cdots a_k)\text{,}\) hay\(k\) diferentes expresiones para\(\sigma\text{.}\) Indeed, tenemos

\ begin {ecuación*}\ sigma= (a_1 a_2\ cdots a_k) = (a_2 a_3\ cdots a_k a_1) = (a_3 a_4\ cdots a_k a_1 a_2) =\ cdots = (a_k a_1\ cdots a_ {k-1}). \ end {ecuación*}

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

La permutación\(\tau\) descrita en Ejemplo también se\(6.2.2\) puede escribir como\((321)\) y como\((213)\text{.}\)

Sin embargo, por convención, usualmente “iniciamos” un ciclo\(\sigma\) con el menor de los números que\(\sigma\) no arregla: por ejemplo, escribiríamos\(\sigma=(213)\) como\((132)\text{.}\)

Definición: Desarticulación Disjunta y Mutua

Dos ciclos\(\sigma=(a_1 a_2 \cdots a_k)\) y\(\tau=(b_1 b_2 \cdots b_m)\) se dice que son disjuntos si\(a_i \neq b_j\) para todos\(i\) y los\(j\text{.}\) Ciclos\(\sigma_1\text{,}\)\(\sigma_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(\sigma_m\) son disjuntos si\(\sigma_i\) y\(\sigma_j\) son disjuntos para cada uno\(i \neq j\text{.}\) (Aviso: esta versión de la desarticulación es lo que solemos denominar desarticulación mutua.)

Observación

Tenga en cuenta que si los ciclos\(\sigma\) y\(\tau\) son disjuntos, entonces\(\sigma\) y\(\tau\) conmutar; es decir,\(\sigma \tau=\tau \sigma\text{.}\)

Nota

Si los ciclos\(\sigma\) y no\(\tau\) son disjuntos entonces no pueden conmutar. Por ejemplo, véase el Ejemplo 6.2.3, donde\(\sigma\tau \neq \tau \sigma\text{.}\)

Nótese que cualquier permutación de\(S_n\) es un producto de ciclos disjuntos (donde por “producto” nos referimos a la permutación resultante de la multiplicación por permutación).

Definición: Notación de Ciclo (Disjoint)

Escribir una permutación en notación de ciclo (disjunta) significa escribirla como un producto de ciclos disjuntos, donde cada ciclo está escrito en notación de ciclo.

Observación

Tenga en cuenta que si\(\sigma\) in\(S_n\) está escrito en notación de ciclo y el número no\(a\in \{1,2,\ldots, n\}\) aparece en ninguna parte en\(\sigma\) la representación de, esto significa que\(\sigma\) corrige\(a\text{.}\) La única permutación que realmente no podemos escribir en notación de ciclo es el elemento de identidad del\(S_n\text{,}\) que en adelante denotan por\(e\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

La permutación

\ begin {ecuación*}\ sigma =\ begin {pmatrix} 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 1& 2&6& 5& 5& 4\ end {pmatrix}\ end {ecuación*}

es el producto de ciclos disjuntos\((132)\) and \((46)\text{,}\) so in cycle notation we have

\ begin {ecuación*}\ sigma= (132) (46). \ end {ecuación*}

Tenga en cuenta que también podríamos escribir\(\sigma\) as \((321)(46)\text{,}\) \((213)(64)\text{,}\) \((64)(132)\text{,}\) etc.

Si bien es cierto que también tenemos\(\sigma=(13)(23)(46)\text{,}\) esta no es una representación de ciclo disjunta de\(\sigma\) ya que ambos\((13)\) y\((23)\) “mueven” el elemento\(3\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

En\(S_4\text{,}\) let\(\sigma=(243)\) y\(\tau=(13)(24)\text{.}\) Entonces\(\sigma \tau=(123)\) y\(\tau \sigma = (134).\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

En\(S_9\text{,}\) let\(\sigma=(134)\text{,}\)\(\tau=(26)(17)\text{,}\) y\(\rho=(358)(12)\text{.}\) Encuentra lo siguiente, escribiendo tus respuestas usando notación de ciclo disjunta.

\(\sigma^{-1}\)
\(\sigma^{-1}\tau\sigma\)
\(\sigma^2\)
\(\sigma^3\)
\(\rho^2\)
\(\rho^{-2}\)
\(\sigma \tau\)
\(\sigma \rho\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Expresar explícitamente todos los elementos de\(S_4\) la notación de ciclo disjunta.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Cualquier\(k\) ciclo tiene orden\(k\) en\(S_n\text{.}\) Más generalmente, si la permutación se\(\sigma\) puede escribir en notación de ciclo disjunta como\(\sigma=\sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_m\text{,}\) entonces

\ begin {align*} o (\ sigma) & =\ texto {lcm} (o (\ sigma_1), o (\ sigma_2),\ ldots, o (\ sigma_m))\\ & =\ texto {lcm} (\ mathrm {longitud} (\ sigma_1),\ mathrm {longitud} (\ sigma_2),\ ldots,\ mathrm rm {longitud} (\ sigma_m)),\ end {align*}

donde\(\text{lcm}\) denotes the least common multiple.

Nota

La permutación\(\sigma\) debe estar en notación de ciclo disjunta para que se mantenga la fórmula anterior. Por ejemplo, deja\(\sigma=(12)(23)\) entrar\(S_3\text{.}\) Las transposiciones\((12)\) y\((23)\) ambas tienen orden\(2\text{,}\) sino\(o(\sigma)\neq \text{lcm}(2,2)=2\text{.}\) más bien,\(o(\sigma)=3\text{,}\) ya que en la notación de ciclo disjunta se\(\sigma\) puede escribir como\(\sigma=(123)\text{.}\) Debes escribir una permutación usando notación de ciclo disjunta antes de intentar ¡usa este método para calcular su orden!

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Encuentra las órdenes de cada uno de los elementos en Ejemplo\(6.2.6\), incluyendo\(\sigma\text{,}\)\(\tau\text{,}\) y\(\rho\) ellos mismos.
Enumerar explícitamente los elementos de\(\langle \sigma\rangle\text{,}\)\(\langle \tau\rangle\text{,}\) y\(\langle \rho\rangle\text{.}\)